Guide de l'enseignant: Loi normale centrée réduite

Découvre la loi normale centrée réduite N(0, 1), comment centrer et réduire n'importe quelle loi normale et comment lire la table pour les aires à gauche, à droite et entre deux valeurs.

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Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Distributions de probabilité. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Décrire la loi normale centrée réduite N(0, 1) et sa variable Z
Centrer et réduire une valeur de n'importe quelle loi normale avec z = (x - μ) / σ
Lire les aires cumulées à gauche dans la table grâce à la ligne et à la colonne
Trouver les aires à droite et entre deux valeurs avec 1 - Φ(z) et Φ(b) - Φ(a)
Utiliser la symétrie pour les z négatifs et contrôler les résultats avec la règle 68-95-99,7

Prérequis

• Introduction à la loi normale : courbe en cloche, moyenne, écart-type et règle 68-95-99,7
• Scores z : calculer à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne
• Nombres décimaux et soustraction d'un décimal à 1
• La probabilité comme nombre entre 0 et 1

Amorces de discussion

1. Pourquoi est-il utile que toute loi normale puisse être ramenée à la même courbe ?
2. La table donne 0,9332 pour z = 1,5. Sans calculer, quelle est à peu près l'aire à droite, et pourquoi ?
3. Pourquoi Φ(0) doit-il valoir exactement 0,5 ?
4. Comment la règle 68-95-99,7 peut-elle te montrer qu'un résultat lu dans la table est faux ?

Idées reçues courantes

La valeur de la table est la probabilité cherchée, quelle que soit la zone demandée

Remédiation: Faire esquisser la courbe et hachurer la zone avant chaque lecture. Demander : ma zone est-elle à gauche de z ? Sinon, quelle règle transforme l'aire à gauche en ce que je cherche ?

Un score z négatif donne une probabilité négative

Remédiation: Montrer sur la courbe interactive qu'en faisant passer z sous 0, l'aire hachurée reste positive, juste inférieure à la moitié. Relier à la symétrie : la queue gauche en -z est le reflet de la queue droite en z.

L'aire entre a et b vaut Φ(b - a)

Remédiation: Comparer P(1 < Z < 2) et Φ(1) : l'une est une fine bande (0,1359), l'autre presque toute la courbe (0,8413). Hachurer les deux rend la différence évidente.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par des z positifs et des aires à gauche, puis ajouter les aires à droite
• Toujours esquisser et hachurer avant de lire la table
• Donner une table réduite avec seulement les lignes 0,0 à 2,0

Pour les élèves au niveau:

• Mélanger aires à gauche, à droite, entre deux valeurs et z négatifs
• Centrer et réduire d'abord des valeurs brutes simples, puis utiliser la table
• Contrôler chaque résultat avec la règle 68-95-99,7

Pour les élèves avancés:

• Travailler à rebours : trouver z pour une aire à gauche donnée (par exemple 0,975 donne 1,96)
• Trouver l'aire extérieure P(|Z| > z) et la comparer à la règle 68-95-99,7
• Expliquer pourquoi 1,96 et 2,58 apparaissent si souvent en statistique

Alignement aux standards

HSS-ID.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.4)
Utiliser la moyenne et l'écart-type d'une série pour l'ajuster à une loi normale et estimer des pourcentages de la population ; utiliser calculatrices, tableurs et tables pour estimer des aires sous la courbe normale
HSS-IC.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.B.4)
Utiliser les données d'un sondage pour estimer une moyenne ou une proportion de la population ; établir une marge d'erreur à l'aide de simulations d'échantillonnage aléatoire

Ressources de la leçon

visualTable interactive
Déplacer z sur la courbe et voir s'allumer la ligne et la colonne correspondantes de la table
activityHachurer l'aire
Les élèves esquissent les aires à gauche, à droite et entre deux valeurs avant de lire la table, puis comparent avec la courbe interactive
worksheetExercices sur la table
Problèmes d'aires à gauche, à droite, entre deux valeurs et avec z négatif, chacun avec un contrôle 68-95-99,7

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

La loi normale centrée réduite est la loi normale de moyenne

\mu = 0

et d'écart-type

\sigma = 1

. On la note

N(0, 1)

et on appelle sa variable

Z

Centrer et réduire

Toute variable normale

X

de moyenne

\mu

et d'écart-type

\sigma

devient une loi normale centrée réduite quand tu la centres et la réduis :

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

Une seule table suffit donc pour toutes les lois normales : d'abord tu calcules

z

, ensuite tu lis l'aire.

La table de la loi normale

La table de la loi normale donne l'aire cumulée à gauche de

z

\Phi(z) = P(Z \le z)

La ligne donne

z

avec une décimale (par exemple

1{,}2

), la colonne donne la deuxième décimale (par exemple

0{,}03

). À leur croisement tu lis

\Phi(1{,}23) = 0{,}8907

Trois règles pour toutes les aires

**À gauche de $z$ ** : lecture directe, $P(Z < z) = \Phi(z)$
**À droite de $z$ ** : l'aire totale vaut 1, donc $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$
**Entre $a$ et $b$ ** : $P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)$

La courbe est symétrique par rapport à 0, donc

\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

. Pour une variable continue,

P(Z < z)

P(Z \le z)

sont le même nombre.

Exemples résolus

Calcule

P(Z \le 1{,}23)

pour la variable

Z

qui suit la loi normale centrée réduite.

Découpe $z$ en ligne et colonne

1{,}23 = 1{,}2 + 0{,}03

→ Ligne

1{,}2

, colonne

0{,}03

Lis la valeur au croisement de la ligne et de la colonne

Ligne

1{,}2

, colonne

0{,}03

0{,}8907

→

\Phi(1{,}23) = 0{,}8907

Vérifie que c'est cohérent

z = 1{,}23

est un peu plus grand que 1, et

\Phi(1) = 0{,}8413

→ Une valeur un peu au-dessus de

0{,}8413

est logique

Réponse: $P(Z \le 1{,}23) = 0{,}8907$ : environ 89,07 % de l'aire se trouve à gauche de $z = 1{,}23$ .

Erreurs courantes

Prendre la valeur de la table comme aire à droite : $P(Z > 1{,}5) = 0{,}9332$

Pourquoi c'est faux: La table donne toujours l'aire à GAUCHE de $z$ . Une aire de $0{,}9332$ à droite d'un $z$ positif est impossible, car plus de la moitié de la courbe serait à sa droite.

Correct: Pour une aire à droite, soustrais de 1 : $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$ .

Croire qu'un $z$ négatif donne une aire négative ou la même aire : $\Phi(-0{,}75) = -0{,}7734$ ou $0{,}7734$

Pourquoi c'est faux: Une aire n'est jamais négative. Un $z$ négatif est à gauche de la moyenne, donc l'aire à sa gauche est inférieure à $0{,}5$ .

Correct: Utilise la symétrie : $\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266$ .

Soustraire les valeurs de z au lieu des aires : $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2 - (-1)) = \Phi(3)$

Pourquoi c'est faux: La table transforme des valeurs de z en aires. L'aire entre deux points est la différence des deux aires à gauche, pas l'aire de la différence.

Correct: $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$ .

Chercher la valeur brute dans la table : $P(X < 60)$ lu à la ligne 60

Pourquoi c'est faux: La table ne sert que pour $Z$ , de moyenne 0 et d'écart-type 1. Une valeur brute doit d'abord être centrée et réduite.

Correct: Calcule d'abord $z = \frac{60 - 50}{8} = 1{,}25$ , puis lis $\Phi(1{,}25) = 0{,}8944$ .

Pourquoi c'est important

La loi normale centrée réduite est la courbe unique à laquelle on ramène tout problème de loi normale :

Une table pour tout : tailles, notes, temps de réaction et erreurs de mesure ont des moyennes et des dispersions différentes, mais une fois centrées et réduites, elles utilisent toutes la même table
Des valeurs exactes au lieu d'estimations : la règle 68-95-99,7 ne marche que pour des écarts-types entiers ; la table donne l'aire pour n'importe quel $z$ , comme $z = 1{,}23$
Statistique et sciences : intervalles de confiance, tests et limites de tolérance (comme $\pm 1{,}96$ ou $\pm 3$ ) se lisent tous sur la loi normale centrée réduite
Un contrôle intégré : si un résultat de la table est loin de 68 %, 95 % ou 99,7 % alors qu'il devrait en être proche, tu sais qu'une étape est fausse

Dès que tu sais lire la table et appliquer les trois règles d'aire, chaque problème de loi normale devient une routine courte.

Applications dans le monde réel

Contrôle qualité

Les usines centrent et réduisent chaque mesure et rejettent les pièces trop éloignées de la cote visée, par exemple à plus de 2 écarts-types.

Exemple:

Une pièce avec $z = -2{,}3$ est à 2,3 écarts-types sous la longueur visée, elle est donc rejetée.

1Essaie par toi-même

Les erreurs d'une machine, une fois centrées et réduites, suivent la loi normale centrée réduite. Une pièce est rejetée si $Z < -2$ ou $Z > 2$ . Table : $\Phi(2) = 0{,}9772$ .

Quelle proportion de pièces est rejetée ? Donne un nombre décimal.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Deux queues égales : $2 \times (1 - 0{,}9772)$

Résultats d'examens standardisés

Certains examens donnent les résultats directement en scores z, pour que chaque élève voie tout de suite à quelle distance de la moyenne il se trouve.

Exemple:

Un score de $z = 0$ est exactement la moyenne ; $z = 1$ est un écart-type au-dessus de la moyenne.

2Essaie par toi-même

Les résultats d'un examen sont donnés en scores z et suivent la loi normale centrée réduite. Table : $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ .

Quelle proportion d'élèves a un score z supérieur à $0{,}5$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Aire à droite : $1 - \Phi(0{,}5)$

Erreurs des prévisions météo

Les prévisionnistes vérifient de combien leurs prévisions de température se trompent. Pour une prévision bien calibrée, l'erreur en °C peut suivre la loi normale centrée réduite : moyenne 0, écart-type 1.

Exemple:

Une erreur de $-1{,}2$ °C signifie que la température réelle était 1,2 degré plus basse que prévu.

3Essaie par toi-même

Les erreurs des prévisions du lendemain (en °C) suivent la loi normale centrée réduite. Table : $\Phi(1{,}5) = 0{,}9332$ .

Quelle est la probabilité qu'une prévision se trompe de moins de 1,5 °C, donc $-1{,}5 < Z < 1{,}5$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Entre : $\Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5)$

Points clés

1La loi normale centrée réduite $N(0, 1)$ a pour moyenne 0 et pour écart-type 1 ; sa variable s'appelle $Z$
2Centre et réduis toute valeur normale avec $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ , puis utilise l'unique table
3La table donne l'aire à GAUCHE : $\Phi(z) = P(Z \le z)$ ; ligne = première décimale, colonne = deuxième décimale
4Aire à droite : $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$ ; entre : $P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)$
5Symétrie : $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ et $\Phi(0) = 0{,}5$
6Contrôle chaque résultat avec la règle 68-95-99,7 : par exemple $\Phi(1) - \Phi(-1) = 0{,}6826 \approx 68\,\%$

Questions fréquentes

Pourquoi une seule table marche-t-elle pour toutes les lois normales ?

Centrer ramène la moyenne à 0 et réduire ramène la dispersion à 1. La forme reste la même, donc l'aire à gauche de

x

pour une loi normale de moyenne

\mu

et d'écart-type

\sigma

est égale à l'aire à gauche de

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

pour

N(0, 1)

Ma table n'a pas de valeurs de z négatives. Que faire ?

Utilise la symétrie :

\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

. Par exemple

\Phi(-1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151

. Beaucoup de livres impriment une deuxième table pour les

z

négatifs ; les deux donnent les mêmes nombres.

Y a-t-il une différence entre $P(Z < z)$ et $P(Z \le z)$ ?

Non.

Z

est continue, donc la probabilité de tomber exactement sur une valeur vaut 0. Les deux se lisent dans la même case de la table.

Et si mon $z$ dépasse la table, comme $z = 4$ ?

La plupart des tables s'arrêtent vers

3{,}49

, où

\Phi

vaut déjà

0{,}9998

. Au-delà, l'aire à gauche vaut pratiquement 1 et la queue droite pratiquement 0.

Glossaire

Loi normale centrée réduite: La loi normale de moyenne 0 et d'écart-type 1, notée $N(0, 1)$
Centrer et réduire: Transformer une valeur $x$ en $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ , le nombre d'écarts-types par rapport à la moyenne
Table de la loi normale: Table des aires cumulées $\Phi(z) = P(Z \le z)$ à gauche de chaque $z$
Aire cumulée $\Phi(z)$: L'aire sous la courbe de la loi normale centrée réduite à gauche de $z$ ; elle est égale à la probabilité $P(Z \le z)$
Queue: L'aire à une extrémité de la courbe, par exemple à droite de $z = 2$

Carte des formules

Centrer et réduire

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Transforme toute valeur normale en valeur de $Z$

Aire à gauche

P(Z < z) = \Phi(z)

Se lit directement dans la table

Aire à droite

P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

L'aire totale sous la courbe vaut 1

Entre deux valeurs

P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)

Grande aire à gauche moins petite aire à gauche

Symétrie

\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

Pour les valeurs de z négatives

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Définition

Centrer et réduire

La table de la loi normale

Trois règles pour toutes les aires

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Contrôle qualité

Résultats d'examens standardisés

Erreurs des prévisions météo

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Centrer et réduire

Aire à gauche

Aire à droite

Entre deux valeurs

Symétrie

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