Les scores z (cote z)

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Des notes ont une moyenne $\mu = 50$ et un écart-type $\sigma = 5$ . Quel est le score z d'une note de $60$ ?
1. a)-2
2. b)10
3. c)2
4. d)0,5
Réponse: 2
$z = \frac{60 - 50}{5} = \frac{10}{5} = 2$ . La note est 2 écarts-types au-dessus de la moyenne. $10$ n'est que l'écart en points.
2.
Une distribution a $\mu = 40$ et $\sigma = 4$ . Trouve le score z de $x = 46$ .
Réponse: 1.5
$z = \frac{46 - 40}{4} = \frac{6}{4} = 1{,}5$ : la valeur est 1,5 écart-type au-dessus de la moyenne.
3.
Une valeur $x = 18$ provient d'une distribution avec $\mu = 12$ et $\sigma = 3$ . Trouve son score z.
Réponse: 2
1. Combien vaut $x - \mu = 18 - 12$ ? 6
2. Divise par $\sigma = 3$ . Combien vaut z ? 2
4.
Une valeur a un score z de $z = -1{,}5$ . Qu'est-ce que cela signifie ?
1. a)Elle est 1,5 écart-type au-dessous de la moyenne
2. b)Elle est 15 % au-dessous de la moyenne
3. c)Elle est 1,5 point au-dessous de la moyenne
4. d)Elle est 1,5 écart-type au-dessus de la moyenne
Réponse: Elle est 1,5 écart-type au-dessous de la moyenne
Un score z compte des écarts-types, pas des points ni des pourcentages. Le signe moins veut dire au-dessous de la moyenne, donc $z = -1{,}5$ est 1,5 écart-type au-dessous de la moyenne.
5.
Dans un groupe d'adultes, les masses ont $\mu = 65$ kg et $\sigma = 10$ kg. Quel est le score z d'une personne de $47$ kg ?
Réponse: -1.8
$z = \frac{47 - 65}{10} = \frac{-18}{10} = -1{,}8$ : 1,8 écart-type au-dessous de la moyenne.
6.
Une distribution a $\mu = 60$ et $\sigma = 5$ . Quelle valeur a pour score z $z = -2$ ?
Réponse: 50
1. Combien vaut $z\sigma = (-2) \times 5$ ? -10
2. Combien vaut $x = \mu + z\sigma = 60 + (-10)$ ? 50
7.
Quatre élèves ont passé des épreuves différentes. Qui a fait le mieux par rapport aux autres élèves de la même épreuve ?
1. a)Ben : 85 points (μ = 75, σ = 10)
2. b)Ana : 78 points (μ = 70, σ = 4)
3. c)Cleo : 90 points (μ = 84, σ = 6)
4. d)Dan : 66 points (μ = 60, σ = 5)
Réponse: Ana : 78 points (μ = 70, σ = 4)
Ana : $\frac{78 - 70}{4} = 2$ . Ben : $\frac{85 - 75}{10} = 1$ . Cleo : $\frac{90 - 84}{6} = 1$ . Dan : $\frac{66 - 60}{5} = 1{,}2$ . Ana a le plus grand score z, même si Cleo a le plus de points.
8.
Les scores d'un test national ont $\mu = 500$ et $\sigma = 100$ . Quel score a pour score z $z = -1{,}2$ ?
Réponse: 380
$x = 500 + (-1{,}2) \times 100 = 500 - 120 = 380$ .
9.
Nora court 5 km en $24$ min (son club : $\mu = 27$ min, $\sigma = 2$ min) et nage 100 m en $75$ s (son club : $\mu = 80$ s, $\sigma = 4$ s). Les temps les plus courts sont les meilleurs. Dans quel sport est-elle relativement meilleure ? Donne le score z de ce sport.
Réponse: -1.5
1. Quel est son score z en course, $\frac{24 - 27}{2}$ ? -1.5
2. Quel est son score z en natation, $\frac{75 - 80}{4}$ ? -1.25
3. Plus bas c'est mieux, donc le plus petit z gagne. Entre le plus petit score z. -1.5
10.
Les scores de QI ont $\mu = 100$ et $\sigma = 15$ . Quel score est inhabituel ( $|z| > 2$ ) ?
1. a)75
2. b)85
3. c)134
4. d)120
Réponse: 134
$z(120) \approx 1{,}33$ , $z(134) = \frac{34}{15} \approx 2{,}27$ , $z(85) = -1$ , $z(75) \approx -1{,}67$ . Seul 134 a $|z| > 2$ ; l'intervalle habituel va de 70 à 130.
11.
Au 100 m d'un lycée, les temps ont $\mu = 13{,}5$ s et $\sigma = 0{,}6$ s. Trouve le score z d'un temps de $12{,}6$ s.
Réponse: -1.5
$z = \frac{12{,}6 - 13{,}5}{0{,}6} = \frac{-0{,}9}{0{,}6} = -1{,}5$ . En course, c'est un bon résultat : 1,5 écart-type plus rapide que la moyenne.
12.
Une batterie de téléphone dure en moyenne $\mu = 40$ heures avec $\sigma = 3$ heures. Une batterie ne dure que $33{,}4$ heures. Est-ce inhabituel ?
Réponse: -2.2
1. Combien vaut $33{,}4 - 40$ ? -6.6
2. Divise par $\sigma = 3$ . Combien vaut z ? -2.2
3. A-t-on $|z| > 2$ , donc cette autonomie est-elle inhabituelle ? Oui
13.
La fréquence cardiaque au repos des adolescents a $\mu = 72$ battements par minute et $\sigma = 8$ . Trouve l'intervalle des valeurs habituelles, de $z = -2$ à $z = 2$ .
Réponse: [56, 88]
1. Combien vaut $2\sigma = 2 \times 8$ ? 16
2. Borne inférieure : $72 - 16$ ? 56
3. Borne supérieure : $72 + 16$ ? 88
14.
Une professeure ajoute 5 points bonus à la note de chaque élève. Que devient le score z de chaque élève ?
1. a)Il diminue de 5
2. b)Il augmente de 5/σ
3. c)Il augmente de 5
4. d)Il ne change pas
Réponse: Il ne change pas
Chaque note et la moyenne augmentent de 5, donc $x - \mu$ ne change pas. La dispersion ne change pas non plus, donc $\sigma$ reste le même. Ainsi $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ ne change pas.
15.
Une épreuve a une moyenne $\mu = 80$ . Une note de $92$ a pour score z $z = 1{,}5$ . Quel est l'écart-type $\sigma$ ?
Réponse: 8
$1{,}5 = \frac{92 - 80}{\sigma} = \frac{12}{\sigma}$ , donc $\sigma = \frac{12}{1{,}5} = 8$ .
16.
Les scores d'un concours d'entrée ont $\mu = 1050$ et $\sigma = 200$ . Une bourse demande un score z d'au moins $1{,}75$ . Quel est le plus petit score qui suffit ?
Réponse: 1400
1. Combien vaut $z\sigma = 1{,}75 \times 200$ ? 350
2. Combien vaut $x = 1050 + 350$ ? 1400
17.
Dans une classe, une note de $78$ a pour score z $z = 1{,}5$ et l'écart-type vaut $\sigma = 6$ . Quelle est la moyenne $\mu$ de la classe ?
Réponse: 69
1. De combien de points 78 dépasse-t-il la moyenne ? Calcule $z\sigma = 1{,}5 \times 6$ . 9
2. Combien vaut $\mu = 78 - 9$ ? 69
18.
À une épreuve, une note de $70$ a $z = -1$ et une note de $94$ a $z = 2$ . Trouve l'écart-type $\sigma$ et la moyenne $\mu$ . Donne $\mu$ comme réponse finale.
Réponse: 78
1. De combien d'écarts-types les deux notes sont-elles éloignées ? ( $2 - (-1)$ ) 3
2. De combien de points sont-elles éloignées ? ( $94 - 70$ ) 24
3. Donc $3\sigma = 24$ . Combien vaut $\sigma$ ? 8
4. 70 est un écart-type au-dessous de la moyenne. Combien vaut $\mu = 70 + 8$ ? 78