Guide de l'enseignant: Les scores z (cote z)

Apprends ce que dit un score z, comment le calculer, comment revenir à la valeur de départ et comment comparer des résultats obtenus à des épreuves différentes.

Présenter la leçon Partager dans Classroom Voir la page élève

Utiliser cette leçon en classe

Gratuit, sans compte élève.

Partager avec les élèves

Les élèves ouvrent la leçon et s'entraînent avec une correction immédiate.

Fiche d'exercices à imprimer

Tous les exercices sur papier, avec un corrigé séparé.

Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Distributions de probabilité. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Calculer un score z avec $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
Interpréter le signe et la valeur d'un score z dans un contexte
Retrouver une valeur à partir d'un score z donné avec $x = \mu + z\sigma$
Comparer des valeurs de distributions différentes à l'aide des scores z
Repérer les valeurs inhabituelles avec la règle $|z| > 2$

Prérequis

• Introduction à la loi normale (moyenne, écart-type, règle 68-95-99,7)
• Calculer la moyenne et l'écart-type d'une série de données
• Résoudre des équations du premier degré simples
• Calculer avec des nombres négatifs et des décimaux

Amorces de discussion

1. Tu as eu 70 points à un contrôle. Sans rien savoir d'autre, peux-tu dire si c'est bien ? Que voudrais-tu savoir de plus ?
2. Deux élèves sont tous les deux 8 points au-dessus de la moyenne de leur classe. Comment l'un des deux peut-il quand même avoir fait relativement mieux ?
3. Dans une course, un score z de $-2$ est-il bon ou mauvais ? Et à un contrôle ?
4. Pourquoi un score z n'a-t-il pas d'unité, et pourquoi est-ce utile ?

Idées reçues courantes

Une note brute plus élevée est toujours le meilleur résultat

Remédiation: Utilise l'exemple de Mia et Leo : Leo a plus de points mais un score z plus petit. Demande aux élèves d'expliquer avec leurs mots pourquoi la dispersion compte.

Un score z négatif est un mauvais résultat

Remédiation: Montre un contexte où plus bas est mieux (temps de course, prix, erreurs) et laisse les élèves décider quand un z négatif est bon.

Un score z est un pourcentage ou une probabilité

Remédiation: Insiste sur le fait que z compte des écarts-types. Relie $z = 1$ à la règle 68-95-99,7 de la leçon précédente pour montrer que le pourcentage est une étape à part.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par des scores z entiers (valeurs à exactement 1 ou 2 écarts-types)
• Tracer une droite graduée avec la moyenne et des pas d'un écart-type
• Faire les deux étapes séparément : d'abord l'écart à la moyenne, ensuite la division

Pour les élèves au niveau:

• Calculer et interpréter des scores z décimaux dans différents contextes
• Retrouver des valeurs à partir de scores z avec $x = \mu + z\sigma$
• Comparer des résultats de deux ou trois distributions différentes

Pour les élèves avancés:

• Trouver $\sigma$ ou $\mu$ quand une valeur et son score z sont donnés
• Trouver $\mu$ et $\sigma$ à partir de deux valeurs et de leurs scores z
• Expliquer pourquoi ajouter le même nombre à toutes les valeurs ne change pas les scores z

Alignement aux standards

HSS-ID.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.4)
Utiliser la moyenne et l'écart-type d'une série pour l'ajuster à une loi normale et estimer des pourcentages de la population
HSS-ID.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.2)
Utiliser des indicateurs adaptés à la forme de la distribution pour comparer le centre et la dispersion de deux séries ou plus

Ressources de la leçon

visualExplorateur de score z
Faire glisser une note le long de la courbe en cloche et voir son score z changer sur l'axe des z aligné
activityQui a fait mieux ?
Les élèves comparent des résultats de deux classes avec des moyennes et des dispersions différentes, d'abord en points, puis en scores z
worksheetScores z en contexte
Calculer, interpréter et inverser des scores z pour des notes, des tailles, des temps de sprint et des données d'usine

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un score z (aussi appelé cote z ou valeur centrée réduite) indique de combien d'écarts-types une valeur se trouve au-dessus ou au-dessous de la moyenne.

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

$x$ est la valeur étudiée
$\mu$ (mu) est la moyenne (l'espérance) de la distribution
$\sigma$ (sigma) est l'écart-type

Comment le lire :

$z > 0$ : la valeur est au-dessus de la moyenne
$z < 0$ : la valeur est au-dessous de la moyenne
$z = 0$ : la valeur est exactement la moyenne
$|z|$ indique à quelle distance elle se trouve, mesurée en écarts-types

Exemple : à un contrôle de maths avec

\mu = 74

\sigma = 6

, une note de

82

a pour score

z = \frac{82 - 74}{6} = \frac{8}{6} \approx 1{,}33

. La note est à

1{,}33

écart-type au-dessus de la moyenne.

Revenir de z à x : isole

x

dans la formule :

x = \mu + z\sigma

Comme les unités se simplifient (des points divisés par des points), un score z n'a pas d'unité. C'est justement ce qui le rend si utile : tu peux comparer une note, une taille et un temps de course sur une même échelle. Une valeur avec

|z| > 2

est souvent dite inhabituelle, car elle se trouve à plus de 2 écarts-types de la moyenne.

Exemples résolus

À un contrôle de maths, les notes ont une moyenne

\mu = 74

points et un écart-type

\sigma = 6

points. Mia a obtenu

82

. Quel est son score z ?

Écris la formule

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

→

x = 82

\mu = 74

\sigma = 6

Soustrais la moyenne (écart à la moyenne)

82 - 74 = 8

→ Mia est 8 points au-dessus de la moyenne

Divise par l'écart-type

z = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33

→

z \approx 1{,}33

Réponse: $z \approx 1{,}33$ : Mia se situe environ 1,33 écart-type au-dessus de la moyenne de la classe.

Erreurs courantes

Soustraire dans le mauvais ordre : $\frac{\mu - x}{\sigma}$

Pourquoi c'est faux: Cela inverse le signe. Une valeur au-dessus de la moyenne aurait un score z négatif, ce qui dit le contraire de la réalité.

Correct: Toujours valeur moins moyenne : $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ . Pour $x = 82$ , $\mu = 74$ , $\sigma = 6$ : $z = \frac{8}{6} \approx 1{,}33$ , et non $-1{,}33$ .

Oublier les parenthèses : taper $82 - 74 / 6$ à la calculatrice

Pourquoi c'est faux: La calculatrice divise d'abord et trouve $82 - 12{,}33 = 69{,}67$ , ce qui n'est pas du tout un score z.

Correct: D'abord soustraire, ensuite diviser : $(82 - 74) / 6 \approx 1{,}33$ .

Comparer directement des notes brutes d'épreuves différentes

Pourquoi c'est faux: 88 points à une épreuve avec $\mu = 80$ , $\sigma = 8$ ne valent pas forcément mieux que 82 points à une épreuve avec $\mu = 74$ , $\sigma = 6$ . Les épreuves n'ont ni la même moyenne ni la même dispersion.

Correct: Convertis d'abord chaque valeur en score z, puis compare : $1$ contre $1{,}33$ , donc le 82 est relativement meilleur.

Croire qu'un score z négatif signifie un mauvais résultat

Pourquoi c'est faux: Le signe indique seulement si la valeur est au-dessous ou au-dessus de la moyenne. Que ce soit bien ou non dépend du contexte.

Correct: Pour des temps de course ou des prix, plus bas c'est mieux, donc $z = -2$ peut être un excellent résultat. Pour des notes, plus haut c'est mieux.

Pourquoi c'est important

Un nombre brut seul ne dit souvent pas grand-chose. Est-ce que 82 points, c'est une bonne note ? Cela dépend de la façon dont les autres ont réussi. Le score z répond à cette question en un seul nombre.

École et examens : comparer des résultats de classes, de matières ou d'années différentes, même si les épreuves n'avaient pas la même difficulté
Médecine : les courbes de croissance des enfants et les mesures de densité osseuse sont données en scores z, un enfant avec $z = -2{,}5$ pour la taille est examiné par un médecin
Sport : comparer des athlètes de disciplines différentes, comme un sprinteur et un sauteur en longueur
Contrôle qualité : les usines signalent les produits dont les mesures ont $|z| > 2$ ou $|z| > 3$
Finance et sciences : repérer les valeurs inhabituelles (valeurs aberrantes) dans des données

Dans les prochaines leçons, tu utiliseras les scores z pour trouver des aires et des probabilités sous la courbe en cloche : c'est donc l'étape clé.

Applications dans le monde réel

Sport : comparer des temps de sprint

Les entraîneurs comparent les athlètes avec des scores z. En course, un temps plus court est meilleur, donc un score z négatif veut dire plus rapide que la moyenne.

Exemple:

Dans une course régionale de 100 m, les temps ont $\mu = 11{,}0$ s et $\sigma = 0{,}2$ s. Un temps de $11{,}3$ s a $z = \frac{0{,}3}{0{,}2} = 1{,}5$ : plus lent que la moyenne.

1Essaie par toi-même

Dans la même course ( $\mu = 11{,}0$ s, $\sigma = 0{,}2$ s), Sara court en $10{,}6$ s.

Quel est le score z de Sara ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $\frac{10{,}6 - 11{,}0}{0{,}2}$ :

Médecine : courbes de croissance

Les pédiatres donnent la taille ou le poids d'un enfant sous forme de score z par rapport aux enfants du même âge. Les valeurs sous $z = -2$ sont examinées de plus près.

Exemple:

Un enfant avec un score z de taille $z = 0$ est exactement dans la moyenne de son âge, avec $z = 1$ il est un écart-type plus grand que la moyenne.

2Essaie par toi-même

Chez les enfants de 8 ans, la taille a $\mu = 128$ cm et $\sigma = 5{,}5$ cm. Une médecin examine chaque enfant avec $z < -2$ .

En dessous de quelle taille (en cm) un enfant est-il examiné ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $x = \mu + z\sigma$ avec $z = -2$ :

Contrôle qualité : boîtes de céréales

Une usine remplit des boîtes de céréales. Les boîtes dont le poids a $|z| > 2$ sont retirées de la chaîne et contrôlées.

Exemple:

La machine de remplissage donne $\mu = 500$ g et $\sigma = 4$ g. Une boîte de $504$ g a $z = 1$ : tout à fait normal.

3Essaie par toi-même

Une boîte sur la chaîne pèse $489$ g ( $\mu = 500$ g, $\sigma = 4$ g).

Quel est le score z de cette boîte ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $\frac{489 - 500}{4}$ :

Points clés

1Un score z indique de combien d'écarts-types une valeur est éloignée de la moyenne : $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
2z positif : au-dessus de la moyenne, z négatif : au-dessous de la moyenne, $z = 0$ : exactement la moyenne
3Pour revenir de z à une valeur, utilise $x = \mu + z\sigma$
4Un score z n'a pas d'unité, on peut donc comparer des valeurs de distributions différentes : le plus grand z est relativement le plus haut
5Une valeur avec $|z| > 2$ est en général dite inhabituelle, elle est à plus de 2 écarts-types de la moyenne
6Toujours soustraire d'abord, puis diviser : $(x - \mu) / \sigma$

Questions fréquentes

Un score z peut-il être décimal ou plus grand que 3 ?

Oui. La plupart des scores z sont décimaux, comme

1{,}33

-0{,}75

. Des valeurs au-delà de

3

ou de

-3

sont possibles, mais très rares dans une loi normale.

Faut-il des données normales pour calculer un score z ?

Tu peux calculer un score z pour toutes les données qui ont une moyenne et un écart-type. Le transformer en pourcentage (comme avec la règle 68-95-99,7) ne marche bien que si les données suivent à peu près une loi normale.

Pourquoi le score z de la moyenne vaut-il toujours 0 ?

Parce que

x - \mu = 0

quand

x = \mu

, et

0

divisé par

\sigma

donne

0

. La moyenne est à zéro écart-type d'elle-même.

Quelle est la différence entre un score z et un centile ?

Un score z mesure une distance en écarts-types, un centile dit quel pourcentage des valeurs se trouve en dessous. Les deux sont liés (pour des données normales,

z = 1

correspond à peu près au 84e centile), et tu apprendras à passer de l'un à l'autre dans les prochaines leçons.

Glossaire

Score z (cote z): Le nombre d'écarts-types dont une valeur se trouve au-dessus (positif) ou au-dessous (négatif) de la moyenne
Moyenne (μ): Le centre de la distribution, la valeur moyenne (l'espérance pour une variable aléatoire)
Écart-type (σ): Une mesure de la dispersion des valeurs autour de la moyenne
Centrer-réduire: Transformer une valeur $x$ en son score z avec $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
Valeur inhabituelle: Une valeur à plus de 2 écarts-types de la moyenne, donc $|z| > 2$

Carte des formules

Score z

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

De combien d'écarts-types x est éloigné de la moyenne

Valeur à partir d'un score z

x = \mu + z\sigma

Revenir d'un score z à l'unité de départ

Valeurs inhabituelles

|z| > 2

À plus de 2 écarts-types de la moyenne

Plus sur ce sujet

Guide de l'enseignant: Les scores z (cote z)

Utiliser cette leçon en classe

Pour les enseignants

Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

Pour les élèves avancés:

Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Sport : comparer des temps de sprint

Médecine : courbes de croissance

Contrôle qualité : boîtes de céréales

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Score z

Valeur à partir d'un score z

Valeurs inhabituelles

Plus sur ce sujet

Introduction aux distributions de probabilités

Probabilité binomiale

Distributions discrètes vs continues

Espérance mathématique