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Guide de l'enseignant: Interpréter la corrélation

Lis la force et le sens d'une corrélation à partir de r et d'un nuage de points, puis décris-la dans une phrase claire.

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Quiz de classe

10 questions sur Corrélation. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Déterminer le sens et la force d'une corrélation à partir de la valeur de rr
  • Décrire la corrélation visible dans un nuage de points et estimer si ∣r∣\lvert r \rvert est grand ou petit
  • Rédiger une phrase d'interprétation qui donne la force, le sens et les deux variables dans leur contexte
  • Expliquer pourquoi rr n'a pas d'unité et ne change pas quand on change d'unités
  • Reconnaître que rr ne mesure que les relations linéaires et que les valeurs aberrantes peuvent beaucoup le modifier
Prérequis
  • • Introduction à la corrélation : corrélation positive, négative ou nulle dans les nuages de points
  • • Coefficient de corrélation : ce qu'est rr et que −1≤r≤1-1 \le r \le 1
  • • Valeur absolue d'un nombre
  • • Lire des points dans un nuage de points
Amorces de discussion
  • 1. Laquelle est la plus forte, r=−0,75r = -0{,}75 ou r=0,55r = 0{,}55 ? Comment le sais-tu ?
  • 2. À ton avis, pourquoi les limites entre "forte" et "faible" varient-elles d'un manuel à l'autre ?
  • 3. Si tu mesurais les températures en °F au lieu de °C, le nuage de points serait-il différent ? rr changerait-il ?
  • 4. Connais-tu deux variables clairement liées qui auraient pourtant un rr proche de 00 ?
  • 5. Un camarade a saisi une valeur par erreur, 400 au lieu de 40. Quel effet cela pourrait-il avoir sur rr ?
Idées reçues courantes

Un rr négatif signifie une corrélation faible ou mauvaise

Remédiation: Place des valeurs sur une droite de −1-1 à 11 et marque la distance à 00. Montre que −0,9-0{,}9 est aussi loin de 00 que 0,90{,}9 : tout aussi forte, seulement dans l'autre sens.

r=0r = 0 signifie que les variables n'ont rien à voir l'une avec l'autre

Remédiation: Montre le nuage D (engrais et tomates) : r=0r = 0 mais le motif est une courbe nette. Entraîne-toi avec la classe à dire "aucune relation linéaire".

rr se mesure dans les unités des données

Remédiation: Convertis avec la classe une série de °C en °F ou de cm en m et calcule rr les deux fois avec un outil numérique : la valeur est identique.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Commencer seulement par le signe : trier des cartes de valeurs de rr en positives et négatives
  • • Donner un tableau de force imprimé à utiliser pendant tous les exercices
  • • Utiliser une phrase à trous : "Il y a une corrélation linéaire ___ ___ entre ___ et ___"

Pour les élèves au niveau:

  • • Classer des séries de valeurs de rr de la plus forte à la plus faible
  • • Associer des nuages de points à des valeurs de rr
  • • Rédiger des phrases d'interprétation pour des données réelles tirées de l'actualité

Pour les élèves avancés:

  • • Utiliser un tableur pour voir comment l'ajout ou le déplacement d'un point change rr
  • • Montrer avec la formule de rr pourquoi rr ne change pas sous x→ax+bx \to ax + b avec a>0a > 0
  • • Trouver une vraie série de données avec un motif courbe et expliquer pourquoi rr est trompeur
Alignement aux standards
  • HSS.ID.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.8)

    Calculer (avec un outil numérique) et interpréter le coefficient de corrélation d'un ajustement linéaire

  • 8.SP.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.1)

    Construire et interpréter des nuages de points pour des données à deux variables ; décrire des motifs comme les regroupements, les valeurs aberrantes, une association positive ou négative, linéaire ou non linéaire

  • HSS.ID.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6)

    Représenter des données sur deux variables quantitatives par un nuage de points et décrire comment les variables sont liées

Ressources de la leçon
  • visualCinq nuages de points

    Nuages A à E : positive forte, négative faible, aucune corrélation, une courbe avec r=0r = 0 et l'effet d'une valeur aberrante

  • activityDevine le r

    Les élèves estiment rr pour des nuages de points imprimés, puis comparent avec les valeurs calculées et les classent par force

  • worksheetPhrases d'interprétation

    Les élèves rédigent des phrases d'interprétation complètes pour des valeurs de rr données dans différents contextes

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Interpréter une corrélation, c'est transformer le nombre rr (ou un nuage de points) en une phrase claire sur deux variables. Toute interprétation répond à deux questions :
  • Le sens (le signe de rr) : r>0r > 0 est positif (quand xx augmente, yy a tendance à augmenter), r<0r < 0 est négatif (quand xx augmente, yy a tendance à diminuer).
  • La force (la valeur de ∣r∣|r|) : plus ∣r∣|r| est proche de 11, plus les points sont proches d'une droite.
Règle pratique pour la force :
∣r∣\lvert r \rvertForce
de 0,70{,}7 à 11forte
de 0,40{,}4 à un peu moins de 0,70{,}7modérée
moins de 0,40{,}4faible (très proche de 00 : presque aucune relation linéaire)
C'est un repère, pas une loi : selon les manuels, les limites sont placées à des endroits un peu différents.
Trois faits à retenir :
  • rr n'a pas d'unité et ne change pas quand tu changes d'unités (°C en °F, cm en m, euros en centimes).
  • rr ne mesure que les relations linéaires (en ligne droite). Une courbe très nette peut avoir r=0r = 0.
  • Une seule valeur aberrante peut beaucoup changer rr : regarde donc toujours aussi le nuage de points.

Exemples résolus

Un fournisseur d'énergie trouve r=−0,86r = -0{,}86 entre la température extérieure et la quantité de gaz que les foyers utilisent pour se chauffer. Décris la corrélation.
1

Regarde le signe pour le sens

r=−0,86r = -0{,}86 est négatif → Négatif : les jours plus chauds vont avec moins de gaz
2

Prends la valeur absolue pour la force

∣−0,86∣=0,86\lvert -0{,}86 \rvert = 0{,}86 → ∣r∣=0,86\lvert r \rvert = 0{,}86
3

Compare avec la règle pratique

0,86≥0,70{,}86 \ge 0{,}7 → Forte
4

Réunis le sens et la force

négative + forte → Corrélation linéaire négative forte

Erreurs courantes

Penser que r=−0,8r = -0{,}8 est plus faible que r=0,5r = 0{,}5 parce que −0,8-0{,}8 est un nombre plus petit

Pourquoi c'est faux: Le signe indique seulement le sens. La force est la distance à 00, c'est-à-dire ∣r∣\lvert r \rvert.

Correct: Compare ∣−0,8∣=0,8\lvert -0{,}8 \rvert = 0{,}8 avec ∣0,5∣=0,5\lvert 0{,}5 \rvert = 0{,}5 : r=−0,8r = -0{,}8 est la corrélation la plus forte.

Conclure "aucune relation" dès que rr est proche de 00

Pourquoi c'est faux: rr ne mesure que les relations en ligne droite. Une courbe en colline ou en U peut avoir r=0r = 0 (nuage D).

Correct: Dis "aucune relation linéaire" et cherche toujours des courbes dans le nuage de points.

Croire que rr change quand tu changes d'unités, par exemple des cm aux pouces

Pourquoi c'est faux: Changer d'unités multiplie chaque valeur par le même nombre positif (et ajoute parfois une constante). La forme du nuage de points reste la même.

Correct: rr n'a pas d'unité : les mêmes données en cm, en m ou en pouces donnent le même rr.

Interpréter rr sans chercher de valeurs aberrantes

Pourquoi c'est faux: Un seul point inhabituel peut faire paraître faible une corrélation forte (nuage E) ou forte une corrélation faible.

Correct: Représente d'abord les données. S'il y a une valeur aberrante, donne rr avec et sans elle.

Pourquoi c'est important

Les journaux, les articles scientifiques et les analyses sportives citent souvent une corrélation : "r=0,5r = 0{,}5", "un lien fort", "aucun lien". Savoir lire rr te permet de vérifier si ces affirmations ont du sens :
  • Santé : le lien entre le temps d'écran et le sommeil est-il fort ou faible ? La réponse change les conseils qui ont du sens.
  • Commerce : un magasin qui voit un lien positif fort entre la température et la vente de boissons peut prévoir son stock.
  • Sciences : avant de croire un résultat, les chercheurs cherchent dans le nuage de points les courbes et les valeurs aberrantes que rr seul cache.
  • Projets scolaires : quand tu récoltes tes propres données, une bonne phrase d'interprétation transforme un nombre en conclusion.
Bien lire rr est aussi la première étape vers les prochaines leçons sur la régression et les prévisions.

Applications dans le monde réel

Prévoir la consommation d'énergie

Les fournisseurs d'énergie utilisent la corrélation entre la température et la consommation de gaz pour prévoir la quantité de gaz nécessaire en hiver.

Exemple:

Avec r=−0,86r = -0{,}86, les jours plus froids vont nettement avec une plus forte consommation de gaz : une prévision de froid est donc un bon signal d'alerte.

1Essaie par toi-même

Un fournisseur d'énergie trouve r=−0,86r = -0{,}86 entre la température extérieure et la consommation quotidienne de gaz de 200 foyers.

Comment décrirais-tu cette corrélation ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Choisis la description :

Consommation de carburant et vitesse

Les ingénieurs automobiles savent que la consommation est élevée à très basse et à très haute vitesse, et minimale entre les deux. Ce motif courbe trompe $r$.

Exemple:

Des vitesses de 30, 50, 70, 90, 110, 130 et 150 km/h donnent une consommation de 8,0 ; 6,5 ; 5,5 ; 5,2 ; 5,5 ; 6,5 et 8,0 litres aux 100 km : une courbe en U.

2Essaie par toi-même

Les données sont 30, 50, 70, 90, 110, 130, 150 km/h avec une consommation de 8,0 ; 6,5 ; 5,5 ; 5,2 ; 5,5 ; 6,5 ; 8,0 litres aux 100 km. Le motif est parfaitement symétrique autour de 90 km/h.

Que vaut le coefficient de corrélation rr pour ces données ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Entre rr :

Vérifier les données pour trouver les valeurs aberrantes

Les analystes de données vérifient toujours les nuages de points avant de donner une corrélation, car une seule valeur fausse ou inhabituelle peut beaucoup changer $r$.

Exemple:

Dans le nuage E, six élèves donnent r≈0,999r \approx 0{,}999, mais un élève malade avec 7 heures d'entraînement et une note de 40 fait descendre rr à environ 0,140{,}14.

3Essaie par toi-même

Une enseignante donne r≈0,14r \approx 0{,}14 entre les heures d'entraînement et les notes au quiz de 7 élèves. Sans l'élève malade, r≈0,999r \approx 0{,}999.

Arrondi à deux décimales, de combien rr augmente-t-il quand on enlève la valeur aberrante ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule 1,00−0,141{,}00 - 0{,}14 :

Points clés

  • 1Le signe de rr donne le sens : positif signifie que les deux variables ont tendance à augmenter ensemble, négatif que l'une a tendance à diminuer quand l'autre augmente
  • 2La valeur de ∣r∣\lvert r \rvert donne la force. Règle pratique : 0,70{,}7 ou plus forte, de 0,40{,}4 à 0,70{,}7 modérée, moins de 0,40{,}4 faible
  • 3Une bonne phrase d'interprétation donne la force, le sens, les deux variables et utilise "ont tendance à"
  • 4rr n'a pas d'unité et ne change pas quand tu changes les unités de xx ou de yy
  • 5rr ne mesure que les relations linéaires : une courbe nette peut avoir r=0r = 0
  • 6Une valeur aberrante peut beaucoup changer rr : regarde toujours le nuage de points et donne rr avec et sans elle

Questions fréquentes

r=−0,9r = -0{,}9 est-il une corrélation faible parce qu'il est négatif ?

Non. Le signe moins indique seulement que le sens est négatif. ∣−0,9∣=0,9\lvert -0{,}9 \rvert = 0{,}9 : c'est donc une corrélation négative forte, plus forte que r=0,5r = 0{,}5.

Pourquoi les manuels n'ont-ils pas tous le même tableau de force ?

L'endroit où commence "forte" est une convention, pas un fait mathématique. Cette leçon utilise 0,70{,}7 et 0,40{,}4 comme règle pratique. D'autres tableaux, comme celui de la leçon Coefficient de corrélation, utilisent plus de niveaux, par exemple "très forte" à partir de 0,80{,}8 : dans cette leçon, "très forte" fait simplement partie de forte. Dans tous les tableaux, un ∣r∣\lvert r \rvert plus grand signifie une relation linéaire plus forte.

Si je mesure la taille en mètres au lieu de centimètres, rr change-t-il ?

Non. Diviser chaque taille par 100100 ne change pas la forme du nuage de points, seulement les nombres sur l'axe. rr n'a pas d'unité, il reste donc exactement le même.

Une valeur aberrante peut-elle faire paraître une corrélation plus forte ?

Oui. Un nuage de points sans motif (rr proche de 00) avec un point très éloigné en haut à droite peut donner rr supérieur à 0,90{,}9. C'est pour cela que tu vérifies toujours le graphique.

Glossaire

Sens d'une corrélation
Positif (r>0r > 0) ou négatif (r<0r < 0), donné par le signe de rr
Force d'une corrélation
La proximité des points avec une droite, donnée par ∣r∣\lvert r \rvert (plus proche de 11 signifie plus forte)
Relation linéaire
Une relation dont le nuage de points suit une droite
Relation non linéaire
Une relation dont le nuage de points suit une courbe ; rr peut être proche de 00 même si elle est forte
Valeur aberrante
Un point de données loin du motif des autres points ; elle peut beaucoup changer rr
Phrase d'interprétation
Une phrase qui donne la force, le sens et le contexte, par exemple : "Il y a une corrélation linéaire positive forte entre ... et ..."

Carte des formules

Force (règle pratique)

∣r∣≥0,7\lvert r \rvert \ge 0{,}7 forte,   0,4≤∣r∣<0,7\; 0{,}4 \le \lvert r \rvert < 0{,}7 modérée,   ∣r∣<0,4\; \lvert r \rvert < 0{,}4 faible

Le signe de $r$ donne le sens, $\lvert r \rvert$ donne la force.

Phrase d'interprétation

correˊlation lineˊaire + [sens] + [force] entre x et y\text{corrélation linéaire + [sens] + [force] entre } x \text{ et } y

Ajoute le contexte : "quand $x$ augmente, $y$ a tendance à augmenter (ou à diminuer)".

Changer d'unités

r(ax+b,  cy+d)=r(x,y)r(ax + b,\; cy + d) = r(x, y) pour a>0, c>0a > 0,\ c > 0

Multiplier par un nombre positif et ajouter une constante (cm en m, °C en °F) ne change jamais $r$.

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