Interpréter la corrélation

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Lors d'une randonnée en montagne, la corrélation entre l'altitude et la température de l'air est $r = -0{,}92$ . Comment la décris-tu ?
1. a)Négative faible
2. b)Positive forte
3. c)Négative forte
4. d)Aucune corrélation linéaire
Réponse: Négative forte
$r$ est négatif, donc le sens est négatif. $|-0{,}92| = 0{,}92 \ge 0{,}7$ , donc elle est forte : plus tu montes, plus il a tendance à faire froid.
2.
Quelle valeur de $r$ montre la relation linéaire la plus faible ?
1. a) $0{,}47$
2. b) $-0{,}08$
3. c) $0{,}56$
4. d) $-0{,}85$
Réponse: $-0{,}08$
Les valeurs absolues sont $0{,}85$ , $0{,}47$ , $0{,}08$ et $0{,}56$ . La plus petite est $0{,}08$ , donc $r = -0{,}08$ est la plus faible (presque aucune relation linéaire).
3.
La corrélation entre le nombre d'heures d'utilisation d'un téléphone par jour et la batterie restante le soir est $r = -0{,}54$ . Que vaut $|r|$ , le nombre qui donne la force ?
Réponse: 0.54
$|-0{,}54| = 0{,}54$ . Comme $0{,}4 \le 0{,}54 < 0{,}7$ , c'est une corrélation négative modérée.
4.
Quatre études donnent $r = 0{,}35$ , $r = -0{,}81$ , $r = 0{,}57$ et $r = -0{,}18$ . Écris la valeur de $r$ qui montre la relation linéaire la plus forte.
Réponse: -0.81
Les valeurs absolues sont $0{,}35$ , $0{,}81$ , $0{,}57$ et $0{,}18$ . La plus grande est $0{,}81$ , donc $r = -0{,}81$ est la plus forte (une corrélation négative forte).
5.
Pour 30 élèves, la corrélation entre le temps de révision par semaine et la note à l'examen final est $r = 0{,}78$ . Décris la corrélation étape par étape.
Réponse: 0.78
1. $r$ est-il positif ou négatif ? positif
2. Que vaut $|r|$ ? 0.78
3. La corrélation est-elle forte, modérée ou faible ? forte
6.
Dans une enquête auprès de 80 familles, la corrélation entre la distance maison-école (km) et le nombre de jours par semaine où les enfants vont à l'école à pied est $r = -0{,}47$ . Trouve la force étape par étape.
Réponse: 0.47
1. Que vaut $|r|$ ? 0.47
2. A-t-on $|r| \ge 0{,}7$ ? Écris 1 pour oui, 0 pour non. 0
3. A-t-on $|r| \ge 0{,}4$ ? Écris 1 pour oui, 0 pour non. 1
4. La corrélation est donc : modérée
7.
Pour 50 adolescents, la corrélation entre les heures de sommeil et le score à un test de réaction (plus haut, c'est mieux) est $r = 0{,}52$ . Quelle phrase est la meilleure interprétation ?
1. a)52 % des adolescents qui dorment plus ont un meilleur score.
2. b)Il y a une corrélation négative modérée : les adolescents qui dorment plus ont tendance à avoir un moins bon score.
3. c)Il y a une corrélation linéaire positive modérée : les adolescents qui dorment plus ont tendance à avoir un meilleur score.
4. d)Il y a une corrélation positive forte, donc dormir plus cause de meilleurs scores.
Réponse: Il y a une corrélation linéaire positive modérée : les adolescents qui dorment plus ont tendance à avoir un meilleur score.
$0{,}4 \le 0{,}52 < 0{,}7$ et $r > 0$ : positive modérée. "Forte" et "cause" affirment trop, "52 %" lit $r$ à tort comme un pourcentage, et "négative" a le mauvais sens.
8.
Un nuage de points montre une forme en U très nette, mais la calculatrice donne $r \approx 0{,}01$ . Quelle conclusion est correcte ?
1. a)La valeur de $r$ a forcément été mal calculée
2. b)Il n'y a presque aucune relation linéaire, mais une forte relation courbe
3. c)Il n'y a aucune relation entre les variables
4. d)Il y a une corrélation linéaire positive forte
Réponse: Il n'y a presque aucune relation linéaire, mais une forte relation courbe
$r$ ne mesure que les relations en ligne droite. Une forme en U descend puis monte : les deux parties se compensent et $r$ est proche de $0$ , alors que la relation courbe est forte.
9.
Pour 25 adultes, la corrélation entre la taille en cm et le poids en kg est $r = 0{,}71$ . Une chercheuse convertit les tailles en mètres et les poids en grammes. Que vaut $r$ maintenant ?
Réponse: 0.71
Les tailles sont divisées par $100$ et les poids multipliés par $1000$ : ce sont des nombres positifs, le motif reste le même. $r$ n'a pas d'unité et reste $0{,}71$ .
10.
D'après la règle pratique ( $|r| \ge 0{,}7$ est forte), combien de ces valeurs montrent une corrélation forte ? $0{,}72$ ; $-0{,}91$ ; $0{,}59$ ; $-0{,}45$ ; $0{,}70$ ; $0{,}38$
Réponse: 3
Fortes : $0{,}72$ , $-0{,}91$ (car $|-0{,}91| = 0{,}91$ ) et $0{,}70$ . Pas fortes : $0{,}59$ , $-0{,}45$ , $0{,}38$ . Cela fait $3$ .
11.
L'étude A trouve $r = -0{,}74$ entre le prix d'un billet de concert et le nombre de billets vendus. L'étude B trouve $r = 0{,}56$ entre les dépenses de publicité et les billets vendus. Quelle corrélation est la plus forte ?
Réponse: -0.74
1. Que vaut $|r|$ pour l'étude A ? 0.74
2. Que vaut $|r|$ pour l'étude B ? 0.56
3. Écris la valeur de $r$ (avec son signe) de la corrélation la plus forte. -0.74
12.
Pour 40 courses de taxi, la corrélation entre la distance en km et le prix en € est $r = 0{,}83$ . L'entreprise écrit ensuite chaque prix en centimes et chaque distance en miles.
Réponse: 0.83
1. Par quel nombre multiplies-tu un prix pour l'écrire en centimes ? 100
2. Que vaut $r$ une fois les prix écrits en centimes ? 0.83
3. 1 mile vaut environ 1,609 km, donc chaque distance est divisée par 1,609. Que vaut $r$ après les deux changements ? 0.83
13.
Pour 60 élèves, la corrélation entre les heures de jeux vidéo par semaine et la moyenne des notes (plus haut, c'est mieux) est $r = -0{,}58$ . Construis une phrase d'interprétation.
Réponse: -0.58
1. Sens de la corrélation : négatif
2. Force de la corrélation : modérée
3. Quelle fin convient à une phrase d'interprétation ? les élèves qui jouent plus ont tendance à avoir de moins bonnes notes
14.
Huit points forment un nuage rond sans motif, $r \approx 0{,}05$ . On ajoute un nouveau point très loin, en haut à droite du nuage de points. Que devient $r$ ?
1. a)Il devient fortement négatif
2. b)Il devient fortement positif
3. c)Il reste environ $0{,}05$
4. d)Il devient exactement $0$
Réponse: Il devient fortement positif
Le nouveau point est très au-dessus et à droite de tous les autres : il tire le motif vers une droite qui monte et $r$ devient fortement positif. Une valeur aberrante peut créer une corrélation forte que les autres données ne justifient pas.
15.
Les points $(-2\,;\,4)$ , $(-1\,;\,1)$ , $(0\,;\,0)$ , $(1\,;\,1)$ , $(2\,;\,4)$ sont exactement sur la courbe $y = x^2$ . Ici $\bar{x} = 0$ et $\bar{y} = 2$ , et le numérateur de $r$ est $\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y})$ . Que vaut $r$ ?
Réponse: 0
Les produits sont $(-2)(2) = -4$ , $(-1)(-1) = 1$ , $0 \times (-2) = 0$ , $1 \times (-1) = -1$ , $2 \times 2 = 4$ . Leur somme vaut $0$ , donc $r = 0$ , alors que chaque point est exactement sur une courbe : $r$ ne mesure que les relations linéaires.
16.
On lance une balle vers le haut. Sa hauteur (m) après $0, 1, 2, 3, 4$ secondes est $0, 3, 4, 3, 0$ . Trouve $r$ entre le temps et la hauteur, puis interprète-le.
Réponse: 0
1. Que vaut le temps moyen $\bar{x}$ ? 2
2. Que vaut la hauteur moyenne $\bar{y}$ ? 2
3. Calcule $\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y})$ . 0
4. Que vaut donc $r$ ? 0
5. Que montre le nuage de points ? une relation courbe
17.
Nuage E : six élèves donnent $r \approx 0{,}999$ entre les heures d'entraînement et la note au quiz. Avec le septième élève, le point $(7\,;\,40)$ , $r \approx 0{,}14$ . Analyse la valeur aberrante.
Réponse: 1
1. Force sans la valeur aberrante ( $r \approx 0{,}999$ ) : forte
2. Force avec la valeur aberrante ( $r \approx 0{,}14$ ) : faible
3. Combien de points ont causé le changement ? 1
4. Le 40 était une faute de frappe : la vraie note était 90. Le point $(7\,;\,90)$ prolonge le motif. Le nouveau $r$ est-il plus proche de $0$ ou de $1$ ? Écris ce nombre. 1
18.
Un glacier trouve $r = 0{,}9$ entre la température du jour en °C et le nombre de glaces vendues. La patronne convertit les températures en °F avec $F = 1{,}8C + 32$ , puis échange aussi les axes.
Réponse: 0.9
1. Convertis $25\,°C$ en °F. 77
2. Que vaut $r$ entre la température en °F et les glaces vendues ? 0.9
3. Maintenant, les glaces vendues sont sur l'axe des $x$ et la température sur l'axe des $y$ . Que vaut $r$ ? 0.9