Faire des prédictions à partir de données

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Une droite de régression est $\hat{y} = 4x + 10$ . Quelle est la valeur prédite pour $x = 5$ ?
1. a)14
2. b)40
3. c)30
4. d)20
Réponse: 30
$\hat{y} = 4(5) + 10 = 20 + 10 = 30$ . La réponse 20 oublie l'ordonnée à l'origine, et 14 ajoute la pente à l'ordonnée à l'origine ( $4 + 10$ ) en oubliant $x$ .
2.
La droite de régression d'une série de données est $\hat{y} = 3x + 12$ . Prédis $\hat{y}$ pour $x = 6$ .
Réponse: 30
$\hat{y} = 3(6) + 12 = 18 + 12 = 30$ .
3.
Les données d'un nuage de points ont des valeurs de $x$ de $2$ à $10$ . Pour quelle valeur de $x$ une prédiction est-elle une interpolation ?
1. a)12
2. b)7
3. c)15
4. d)0
Réponse: 7
Seul $7$ est dans l'intervalle : $2 \le 7 \le 10$ . Les valeurs $0$ , $12$ et $15$ sont en dehors, les prédictions y sont donc des extrapolations.
4.
La hauteur d'une plante en mm suit $\hat{y} = 2{,}5x + 40$ , où $x$ est le nombre de jours (données du jour 1 au jour 10). Prédis la hauteur au jour $4$ .
Réponse: 50
$\hat{y} = 2{,}5(4) + 40 = 10 + 40 = 50$ mm. Le jour 4 est à l'intérieur des données, c'est donc une interpolation.
5.
Une boutique modélise ses ventes quotidiennes de parapluies par $\hat{y} = 6x + 20$ , où $x$ est la pluie en mm (données de 0 à 12 mm). Prédis les ventes un jour avec $7$ mm de pluie.
Réponse: 62
1. Multiplie la pente par x : combien fait $6 \times 7$ ? 42
2. Ajoute l'ordonnée à l'origine 20. Quel est le nombre de parapluies prédit ? 62
6.
Quatre séries de données ont chacune une droite de régression. Quel coefficient de corrélation donne les prédictions les plus fiables ?
1. a)r = -0,95
2. b)r = 0,1
3. c)r = 0,25
4. d)r = 0,5
Réponse: r = -0,95
$|-0{,}95| = 0{,}95$ est le plus proche de $1$ , donc les points sont très proches de la droite. Le signe négatif signifie seulement que la droite descend.
7.
Un modèle prédit une note avec $\hat{y} = 4x + 18$ , où $x$ est le nombre d'heures d'entraînement (données de 2 à 15 heures). Pour quelle valeur de $x$ la note prédite est-elle $50$ ?
Réponse: 8
1. Écris $50 = 4x + 18$ et soustrais 18 des deux côtés. Combien fait $50 - 18$ ? 32
2. Divise par la pente : combien fait $32 \div 4$ ? 8
8.
Avec $\hat{y} = 5x + 52$ ( $x$ = heures de révision, $\hat{y}$ = note), combien d'heures de révision prédisent une note de $87$ ?
Réponse: 7
$87 - 52 = 35$ et $35 \div 5 = 7$ , donc $x = 7$ heures.
9.
Une fête d'école modélise les visiteurs par $\hat{y} = 14{,}6x + 23$ , où $x$ est le nombre d'affiches (données de 2 à 10 affiches). Prédis le nombre de visiteurs pour $6$ affiches, arrondi à un nombre entier.
Réponse: 111
1. Calcule $14{,}6 \times 6$ 87.6
2. Ajoute l'ordonnée à l'origine 23. Combien vaut $\hat{y}$ ? 110.6
3. Arrondis à un nombre entier de visiteurs 111
10.
La droite $\hat{y} = 5x + 52$ a été ajustée à des données de 1 à 8 heures de révision. Pour 12 heures, elle prédit une note de $112$ sur $100$ . Quel est le problème ?
1. a)L'ordonnée à l'origine devrait être 0
2. b)12 heures est en dehors des données, et une note au-dessus de 100 est impossible
3. c)Rien, la prédiction est fiable
4. d)La pente devrait être négative
Réponse: 12 heures est en dehors des données, et une note au-dessus de 100 est impossible
Le calcul $5(12) + 52 = 112$ est juste, mais c'est une extrapolation : la tendance n'a été observée qu'entre 1 et 8 heures, et les notes s'arrêtent à 100.
11.
Pendant le jeu, le niveau de batterie d'un téléphone suit $\hat{y} = 100 - 12x$ (pourcentage), où $x$ est le nombre d'heures de jeu (données de 0 à 6 heures). Prédis le niveau de batterie après $4{,}5$ heures.
Réponse: 46
1. Calcule $12 \times 4{,}5$ 54
2. Soustrais de 100 : quel est le niveau de batterie prédit en pourcentage ? 46
12.
Avec le modèle de batterie $\hat{y} = 100 - 12x$ ( $x$ en heures, $\hat{y}$ en pourcentage), après combien d'heures le modèle prédit-il un niveau de $40\%$ ?
Réponse: 5
$40 = 100 - 12x \Rightarrow 12x = 60 \Rightarrow x = 5$ heures, ce qui est à l'intérieur des données de 0 à 6 heures.
13.
Un modèle de régression indique que Tom doit réviser $5{,}6$ heures pour atteindre sa note cible. Quel plan est le plus sensé ?
1. a)Réviser 5 heures
2. b)Réviser environ 6 heures
3. c)Réviser exactement 5,6 heures, pas une minute de plus
4. d)Réviser 0,6 heure
Réponse: Réviser environ 6 heures
Pour atteindre un objectif, on arrondit vers le haut : environ 6 heures. Avec 5 heures, la note prédite est trop basse, et 5,6 heures exactement fait comme si l'estimation était parfaitement précise.
14.
Une droite de régression a pour pente $m = 2{,}5$ et passe par le point moyen $(\bar{x}, \bar{y}) = (4, 30)$ . Prédis $\hat{y}$ pour $x = 6$ .
Réponse: 35
1. Trouve l'ordonnée à l'origine : $b = \bar{y} - m\bar{x} = 30 - 2{,}5 \times 4$ 20
2. Calcule $2{,}5 \times 6$ 15
3. Ajoute l'ordonnée à l'origine : combien vaut $\hat{y}$ ? 35
15.
Un modèle de croissance pour les enfants de 2 à 10 ans est $\hat{y} = 6x + 77$ (taille en cm, âge $x$ en années). Un élève l'utilise pour prédire la taille d'une personne de 40 ans.
Réponse: 317
1. Calcule $6 \times 40$ 240
2. Ajoute 77. Quelle taille en cm le modèle prédit-il ? 317
3. 317 cm est-il une taille réaliste pour un adulte ? non
16.
Une droite de régression est $\hat{y} = 2{,}4x + 15{,}6$ . Pour quelle valeur de $x$ la valeur prédite est-elle $39{,}6$ ?
Réponse: 10
$39{,}6 = 2{,}4x + 15{,}6 \Rightarrow 24 = 2{,}4x \Rightarrow x = 10$ . Vérification : $2{,}4(10) + 15{,}6 = 39{,}6$ .
17.
Une classe a deux modèles pour la note : heures de révision, $\hat{y} = 5x + 52$ avec $r \approx 0{,}99$ , et heures de sommeil, $\hat{y} = 2x + 59$ avec $r \approx 0{,}21$ . Les deux sont utilisés pour $x = 6$ heures.
Réponse: 82
1. Prédis avec le modèle des révisions pour $x = 6$ 82
2. Prédis avec le modèle du sommeil pour $x = 6$ 71
3. Quelle prédiction est la plus fiable ? le modèle des révisions
18.
Avec $\hat{y} = 5x + 52$ ( $x$ = heures de révision, données de 1 à 8 heures), Mia veut une note d'au moins $90$ . Combien d'heures entières doit-elle prévoir ?
Réponse: 8
1. Écris $90 = 5x + 52$ . Combien fait $90 - 52$ ? 38
2. Divise par la pente : combien fait $38 \div 5$ ? 7.6
3. De combien d'heures entières a-t-elle besoin pour atteindre au moins 90 ? 8