Guide de l'enseignant: Faire des prédictions à partir de données

Utilise une droite de régression pour prédire des valeurs, remonter jusqu'à un objectif et juger quand une prédiction est fiable.

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Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Régression. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Remplacer x par une valeur dans une équation de régression pour calculer une valeur prédite
Résoudre une équation de régression en x pour trouver l'entrée qui donne une valeur cible
Distinguer interpolation et extrapolation et expliquer pourquoi l'extrapolation est risquée
Arrondir les prédictions avec une précision et un sens adaptés au contexte
Juger la fiabilité d'une prédiction à partir de la force de la corrélation

Prérequis

• Introduction à la régression : la droite d'ajustement $y = mx + b$
• Régression linéaire : pente et ordonnée à l'origine d'une droite de régression
• Coefficient de corrélation : lire $r$ comme fort, modéré ou faible
• Interpréter les données et faire des prédictions : tendances générales dans les données
• Résoudre des équations du premier degré en deux étapes

Amorces de discussion

1. Une droite prédit une note de 112 sur 100. Qu'est-ce qui n'a pas marché, et comment aurais-tu pu le voir avant de calculer ?
2. Quand faut-il arrondir une prédiction vers le haut plutôt qu'à l'entier le plus proche ?
3. Deux droites donnent des prédictions avec la même méthode. Pourquoi peut-on faire beaucoup plus confiance à l'une qu'à l'autre ?
4. Les prévisions météo sont moins précises pour la semaine prochaine que pour demain. En quoi cela ressemble-t-il à une extrapolation ?

Idées reçues courantes

Une valeur prédite est ce qui va arriver à coup sûr

Remédiation: Montre le nuage de points : les vrais points sont au-dessus et en dessous de la droite. Compare la prédiction pour 7 heures avec les vraies notes de 62 et 88 dans les données faibles.

Si l'équation donne un nombre, ce nombre a forcément du sens

Remédiation: Fais extrapoler les élèves exprès (12 heures de révision, 15 heures de batterie) et compare les réponses avec la réalité : 112 points, -20 %.

Pour trouver x pour un objectif, on met l'objectif à la place de x

Remédiation: Demande d'abord : le nombre donné est-il une valeur de x ou de y ? Fais noter les unités (heures ou points) avant d'écrire l'équation.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer avec des pentes et des ordonnées à l'origine entières
• Donner un tableau avec l'intervalle des données écrit en haut de chaque exercice
• Pratiquer seulement la prédiction de y à partir de x avant de chercher x

Pour les élèves au niveau:

• Mélanger des questions de prédiction et de recherche de x avec des pentes décimales
• Classer chaque prédiction comme interpolation ou extrapolation
• Choisir le sens de l'arrondi à partir du contexte

Pour les élèves avancés:

• Comparer les prédictions de données fortes et faibles et expliquer la différence avec r
• Trouver la valeur de x à partir de laquelle un modèle donne un résultat impossible (batterie à 0 %, note à 100)
• Rechercher une vraie prévision et discuter jusqu'où elle extrapole

Alignement aux standards

8.SP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.3)
Utiliser l'équation d'un modèle linéaire pour résoudre des problèmes sur des données à deux variables, en interprétant la pente et l'ordonnée à l'origine
HSS.ID.B.6.A (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.A)
Ajuster une fonction aux données et utiliser les fonctions ajustées pour résoudre des problèmes dans le contexte des données
HSS.ID.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.8)
Calculer (avec un outil numérique) et interpréter le coefficient de corrélation d'un ajustement linéaire

Ressources de la leçon

visualCurseur de prédiction
Les élèves déplacent x le long de la droite de régression et voient changer la prédiction et la distance à l'intervalle des données
activityPrédire, puis vérifier
Les élèves prédisent des valeurs à partir de données de la classe, puis les comparent avec de vraies mesures pour des données fortes et faibles
worksheetInterpolation ou extrapolation ?
Exercices variés : prédire, trouver x, classer chaque prédiction et arrondir selon le contexte

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Dès que tu as une droite de régression

\hat{y} = mx + b

, tu peux t'en servir pour faire des prédictions. Le symbole

\hat{y}

(lu "y chapeau") est la valeur prédite : la valeur attendue par la droite, pas une valeur mesurée.

Il y a deux types de questions :

**Prédire $y$ à partir de $x$ ** : remplace $x$ par sa valeur et calcule $\hat{y} = mx + b$ .
**Trouver $x$ pour un objectif $y$ ** : pose $mx + b$ égal à l'objectif et résous : $x = \frac{y - b}{m}$ .

La position de la valeur de

x

compte :

Interpolation : $x$ est à l'intérieur de l'intervalle des données. La prédiction est en général raisonnable.
Extrapolation : $x$ est en dehors de l'intervalle des données. La tendance peut ne pas continuer, la prédiction est donc risquée.

La confiance que tu peux accorder à une prédiction dépend de la force de la corrélation : quand

r

est proche de

1

ou de

-1

, les points sont serrés autour de la droite et les prédictions sont fiables ; quand

r

est proche de

0

, ce ne sont que des estimations grossières.

Exemples résolus

Une classe a relevé les heures de révision (

x

, de 1 à 8 heures) et les notes à un contrôle (

y

, sur 100). La droite de régression est

\hat{y} = 5x + 52

. Prédis la note d'une élève qui révise

6{,}5

heures.

Vérifie où se trouve la valeur de x

Les données vont de

1

8

heures, et

1 \le 6{,}5 \le 8

→ À l'intérieur des données : interpolation

Remplace x par 6,5 dans l'équation

\hat{y} = 5(6{,}5) + 52

→

\hat{y} = 5 \times 6{,}5 + 52

Multiplie

5 \times 6{,}5 = 32{,}5

Ajoute l'ordonnée à l'origine

32{,}5 + 52 = 84{,}5

→

\hat{y} = 84{,}5

Réponse: La note prédite est $84{,}5$ , donc environ $85$ points. Comme $6{,}5$ heures est à l'intérieur des données, c'est une interpolation et la prédiction est raisonnable.

Erreurs courantes

Mettre la valeur cible de y à la place de x : pour une note cible de $80$ , calculer $5(80) + 52 = 452$

Pourquoi c'est faux: $80$ est une note, donc une valeur de $y$ . La mettre à la place de $x$ répond à une autre question (la note après 80 heures de révision).

Correct: Pose l'équation égale à l'objectif et isole $x$ : $80 = 5x + 52$ , donc $x = 5{,}6$ .

Faire confiance à l'extrapolation : prédire $112$ points pour $12$ heures de révision

Pourquoi c'est faux: La tendance n'a été observée qu'entre 1 et 8 heures. En dehors, elle peut changer, et ici la note ne peut même pas dépasser 100.

Correct: Vérifie toujours d'abord l'intervalle des données. Signale les prédictions en dehors comme des extrapolations et traite-les avec prudence.

Arrondir sans penser à la situation : donner $84{,}5$ points comme une valeur exacte, ou arrondir $5{,}6$ heures à $5$

Pourquoi c'est faux: Une prédiction est une estimation, et des décimales en trop font croire à une précision qu'elle n'a pas. Arrondir un objectif vers le bas peut ne pas suffire (5 heures ne prédisent que 77 points).

Correct: Arrondis à la précision des données, et arrondis vers le haut quand tu dois atteindre un objectif ou prévoir pour tout le monde (temps, chaises, bus).

Considérer toutes les prédictions comme également fiables

Pourquoi c'est faux: On peut toujours calculer une droite, même pour des données dispersées. Avec $r \approx 0{,}21$ , les vraies valeurs peuvent être loin de $\hat{y}$ .

Correct: Regarde d'abord le nuage de points ou $r$ : $|r|$ proche de 1 signifie une prédiction fiable, $|r|$ proche de 0 seulement une estimation grossière.

Pourquoi c'est important

Les prédictions sont la raison principale pour laquelle on ajuste une droite à des données :

Organisation : une fête d'école prévoit combien de visiteurs viendront, pour savoir combien de chaises installer.
Santé : les médecins comparent la taille d'un enfant avec des modèles de croissance pour voir si tout se passe bien.
Applis de livraison : elles estiment la durée de ta commande à partir de la distance jusqu'au restaurant.
Batteries : les téléphones estiment combien d'heures d'autonomie il reste selon la vitesse à laquelle la batterie se vide.

Une prédiction n'est utile que si tu sais aussi à quel point lui faire confiance. Distinguer interpolation et extrapolation, arrondir avec bon sens et vérifier la corrélation t'évite de croire à une note de 112 sur 100.

Applications dans le monde réel

Courbes de croissance des enfants

Les médecins comparent la taille d'un enfant avec des modèles de croissance. Un modèle simple pour les âges de 2 à 10 ans est $\hat{y} = 6x + 77$, où $x$ est l'âge en années et $\hat{y}$ la taille en cm. Le modèle ne vaut que pour ces âges : pour un adulte de 40 ans, il prédirait $317$ cm.

Exemple:

À 5 ans, le modèle prédit $6(5) + 77 = 107$ cm.

1Essaie par toi-même

Un modèle de croissance pour les âges de 2 à 10 ans est $\hat{y} = 6x + 77$ (taille en cm, âge $x$ en années).

Quelle taille le modèle prédit-il pour un enfant de 8 ans ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Remplace $x$ par $8$ :

Estimer les délais de livraison

Les services de livraison de repas ajustent des droites aux commandes passées pour estimer les délais. Une appli a trouvé $\hat{y} = 3x + 8$, où $x$ est la distance en km (commandes de 1 à 12 km) et $\hat{y}$ la durée en minutes.

Exemple:

Pour un restaurant à 5 km, l'appli prédit $3(5) + 8 = 23$ minutes.

2Essaie par toi-même

Le modèle de livraison est $\hat{y} = 3x + 8$ (minutes, distance $x$ en km, données de 1 à 12 km). L'appli veut promettre une livraison en 35 minutes.

Jusqu'à quelle distance en km l'appli peut-elle faire cette promesse ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $35 = 3x + 8$ pour trouver $x$ :

Prévisions de batterie du téléphone

Les téléphones estiment la batterie restante à partir de la vitesse à laquelle elle se vide. Des mesures en streaming vidéo ont donné $\hat{y} = 100 - 8x$, où $x$ est le nombre d'heures de vidéo (données de 0 à 10 heures) et $\hat{y}$ le niveau de batterie en pourcentage.

Exemple:

Après 6 heures de vidéo, le modèle prédit $100 - 8(6) = 52\%$ .

3Essaie par toi-même

Le modèle de batterie est $\hat{y} = 100 - 8x$ (pourcentage, $x$ en heures, données de 0 à 10 heures). Quelqu'un demande ce qu'affichera la batterie après 15 heures de vidéo.

Quelle valeur le modèle prédit-il pour 15 heures ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Remplace $x$ par $15$ :

Points clés

1Pour prédire $y$ , remplace $x$ dans $\hat{y} = mx + b$ ; $\hat{y}$ est une valeur prédite, pas une valeur mesurée
2Pour trouver le $x$ d'un objectif $y$ , pose $mx + b$ égal à l'objectif et résous : $x = \frac{y - b}{m}$
3L'interpolation prédit à l'intérieur de l'intervalle des données et est en général raisonnable
4L'extrapolation prédit en dehors de l'intervalle des données et est risquée : elle peut même donner des valeurs impossibles
5Arrondis les prédictions à une précision raisonnable, et vers le haut quand tu dois atteindre un objectif ou prévoir pour tout le monde
6Les prédictions sont fiables quand $|r|$ est proche de 1 et ne sont que des estimations grossières quand $r$ est proche de 0

Questions fréquentes

Pourquoi écrit-on $\hat{y}$ et pas $y$ ?

Le chapeau indique que la valeur vient de la droite et qu'il s'agit d'une prédiction. La vraie valeur mesurée est

y

. Les distinguer te rappelle qu'un vrai résultat peut être au-dessus ou en dessous de la prédiction.

L'extrapolation est-elle toujours fausse ?

Pas toujours. Un peu en dehors des données (par exemple

x = 0

x = 9

quand les données vont de 1 à 8), l'estimation peut encore être correcte. Plus tu t'éloignes, plus la tendance risque de changer, alors dis clairement que tu extrapoles.

À quel point $r$ doit-il être proche de 1 pour une bonne prédiction ?

Une règle pratique courante :

|r| \ge 0{,}7

est fort, de

0{,}4

0{,}7

est modéré et en dessous de

0{,}4

est faible. Même avec une corrélation forte, une prédiction isolée peut se tromper de quelques points.

Puis-je utiliser la même droite pour prédire $x$ à partir de $y$ ?

Résoudre

y = mx + b

pour

x

donne une bonne estimation pour s'organiser, comme dans l'exemple des heures de révision. Un statisticien qui ne voudrait prédire que

x

calculerait une autre droite avec

x

comme variable réponse, considère donc le résultat comme une estimation.

Glossaire

Valeur prédite $\hat{y}$: La valeur de $y$ que donne la droite de régression pour un $x$ choisi
Intervalle des données: L'intervalle allant de la plus petite à la plus grande valeur de $x$ dans les données
Interpolation: Prédiction pour une valeur de $x$ à l'intérieur de l'intervalle des données
Extrapolation: Prédiction pour une valeur de $x$ en dehors de l'intervalle des données ; risquée car la tendance peut changer
Variable explicative: La variable $x$ utilisée pour faire la prédiction (par exemple les heures de révision)
Variable réponse: La variable $y$ que l'on prédit (par exemple la note)

Carte des formules

Prédire y à partir de x

\hat{y} = mx + b

Remplace x par sa valeur et calcule

Trouver x pour un objectif y

x = \frac{y - b}{m}

Soustrais l'ordonnée à l'origine, puis divise par la pente

Test d'interpolation

x_{\min} \le x \le x_{\max}

Si x est dans l'intervalle des données, la prédiction est une interpolation ; sinon, c'est une extrapolation

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Courbes de croissance des enfants

Estimer les délais de livraison

Prévisions de batterie du téléphone

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Prédire y à partir de x

Trouver x pour un objectif y

Test d'interpolation

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