Coefficient de détermination (R²)

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Le coefficient de corrélation d'une série de données est $r = 0{,}6$ . Que vaut $R^2$ ?
1. a)1,2
2. b)0,36
3. c)0,6
4. d)0,06
Réponse: 0,36
$R^2 = 0{,}6^2 = 0{,}36$ . Une erreur fréquente est de garder $0{,}6$ ou de le doubler ; il faut élever $r$ au carré.
2.
La corrélation entre deux variables est $r = -0{,}5$ . Que vaut $R^2$ ? Donne ta réponse sous forme décimale (par exemple 0,3).
Réponse: 0.25
$R^2 = (-0{,}5)^2 = 0{,}25$ . $R^2$ n'est jamais négatif, même quand $r$ l'est.
3.
Une régression de la hauteur d'une plante en fonction des heures d'ensoleillement donne $R^2 = 0{,}72$ . Quelle affirmation est correcte ?
1. a)Le soleil cause 72 % de la hauteur d'une plante
2. b)72 % des points sont exactement sur la droite de régression
3. c)72 % de la variation de la hauteur est expliquée par la relation linéaire avec l'ensoleillement
4. d)La pente de la droite de régression vaut 0,72
Réponse: 72 % de la variation de la hauteur est expliquée par la relation linéaire avec l'ensoleillement
72 % de la variation de la hauteur est expliquée par la relation linéaire avec les heures d'ensoleillement. $R^2$ ne compte pas les points sur la droite, ne prouve pas la causalité et n'est pas la pente.
4.
Pour une droite de régression, $SS_{\text{tot}} = 200$ et $SS_{\text{res}} = 50$ . Que vaut $R^2$ ? Donne ta réponse sous forme décimale.
Réponse: 0.75
$R^2 = 1 - \frac{50}{200} = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$ : la droite explique donc 75 % de la variation.
5.
La corrélation entre les heures d'entraînement et les points marqués est $r = 0{,}9$ . Trouve $R^2$ et le pourcentage de variation expliquée.
Réponse: 81
1. Combien vaut $R^2 = 0{,}9^2$ ? (nombre décimal) 0.81
2. Quel pourcentage de la variation est expliqué ? (le nombre seul, par exemple 25) 81
6.
Pour la régression des ventes quotidiennes de pain d'une boulangerie en fonction de la température, $SS_{\text{tot}} = 60$ et $SS_{\text{res}} = 21$ . Trouve $R^2$ .
Réponse: 0.65
1. Combien vaut $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = \frac{21}{60}$ sous forme décimale ? 0.35
2. Combien vaut $R^2 = 1 - 0{,}35$ ? 0.65
7.
Laquelle de ces valeurs est IMPOSSIBLE pour le $R^2$ d'une droite des moindres carrés ?
1. a)1
2. b)0,5
3. c)0
4. d)1,2
Réponse: 1,2
$R^2$ est toujours entre $0$ et $1$ . $0$ (aucun ajustement linéaire) et $1$ (ajustement parfait) sont possibles, mais $1{,}2$ voudrait dire que plus de 100 % de la variation est expliquée, ce qui est impossible.
8.
Une droite de régression a une pente négative et $R^2 = 0{,}49$ . Que vaut le coefficient de corrélation $r$ ? Donne ta réponse sous forme décimale.
Réponse: -0.7
$\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ , et comme la pente est négative, $r = -0{,}7$ .
9.
Un modèle a $R^2 = 0{,}64$ . Quel pourcentage de la variation de $y$ n'est PAS expliqué par la relation linéaire avec $x$ ? Donne le pourcentage sous forme de nombre seul (par exemple 25).
Réponse: 36
$0{,}64 = 64\,\%$ est expliqué, donc $100\,\% - 64\,\% = 36\,\%$ ne l'est pas.
10.
Une régression de la charge de la batterie d'un téléphone en fonction des heures d'utilisation a une pente de $-2{,}5$ et $R^2 = 0{,}36$ . Trouve le coefficient de corrélation $r$ .
Réponse: -0.6
1. Combien vaut $\sqrt{0{,}36}$ ? 0.6
2. La pente est négative. Que vaut $r$ ? -0.6
11.
Les valeurs de $y$ d'une série sont $5, 9, 6, 12, 8$ . La droite de régression en fonction de $x$ a $SS_{\text{res}} = 12$ . Trouve $R^2$ .
Réponse: 0.6
1. Que vaut la moyenne $\bar{y}$ ? 8
2. Que vaut $SS_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2$ ? 30
3. Combien vaut $R^2 = 1 - \frac{12}{30}$ ? (nombre décimal) 0.6
12.
Les résidus d'une droite de régression sont $2, -2, 1, 0, -1$ et $SS_{\text{tot}} = 40$ . Trouve $R^2$ .
Réponse: 0.75
1. Que vaut $SS_{\text{res}}$ , la somme des carrés des résidus ? 10
2. Combien vaut $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ sous forme décimale ? 0.25
3. Que vaut $R^2$ ? 0.75
13.
Dans une étude estivale sur 30 villes, une régression du nombre de coups de soleil en fonction des ventes de glaces donne $R^2 = 0{,}85$ . Quelle est la meilleure conclusion ?
1. a)La droite explique 85 % de la variation, mais une troisième variable comme le beau temps peut influencer les deux
2. b)Vendre moins de glaces éviterait les coups de soleil
3. c)Manger des glaces cause 85 % des coups de soleil
4. d)85 % des villes sont exactement sur la droite de régression
Réponse: La droite explique 85 % de la variation, mais une troisième variable comme le beau temps peut influencer les deux
La droite explique 85 % de la variation, mais $R^2$ ne peut pas montrer une causalité. Le temps chaud et ensoleillé est une variable confondante qui augmente à la fois les ventes de glaces et les coups de soleil.
14.
Les résidus d'une droite de régression sont $3, -1, -2, 1, -1$ et $SS_{\text{tot}} = 80$ . Que vaut $R^2$ ? Donne ta réponse sous forme décimale.
Réponse: 0.8
$SS_{\text{res}} = 9 + 1 + 4 + 1 + 1 = 16$ , donc $R^2 = 1 - \frac{16}{80} = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$ .
15.
Une droite ajustée à des données a $R^2 = 0{,}95$ , mais le graphique des résidus montre un U très net. Que dois-tu conclure ?
1. a)La droite est un modèle parfait car $R^2$ est très élevé
2. b)Le calcul de $R^2$ doit être faux
3. c) $x$ cause 95 % des variations de $y$
4. d)Les données suivent une courbe, donc un modèle non linéaire conviendrait mieux
Réponse: Les données suivent une courbe, donc un modèle non linéaire conviendrait mieux
Des résidus en U signifient que les données sont courbes : un modèle non linéaire conviendrait mieux, même si $R^2$ est élevé. $R^2$ ne remplace pas l'analyse des résidus et ne prouve jamais une causalité.
16.
Les données $(1, 3)$ , $(2, 2)$ , $(3, 6)$ , $(4, 10)$ , $(5, 9)$ ont pour droite de régression $\hat{y} = 2x$ . Calcule $R^2$ .
Réponse: 0.8
1. Que vaut la moyenne $\bar{y}$ ? 6
2. Que vaut $SS_{\text{tot}}$ ? 50
3. Que vaut $SS_{\text{res}}$ ? 10
4. Que vaut $R^2$ ? (nombre décimal) 0.8
17.
Le modèle A a $r = -0{,}8$ et le modèle B a $r = 0{,}7$ pour la même variable réponse. Quel modèle explique le plus de variation de $y$ , et de combien de points de pourcentage ?
Réponse: 15
1. Que vaut $R^2$ pour le modèle A ? (nombre décimal) 0.64
2. Que vaut $R^2$ pour le modèle B ? (nombre décimal) 0.49
3. Le modèle A explique plus. De combien de points de pourcentage ? (le nombre seul) 15
18.
Une régression a $SS_{\text{tot}} = 250$ et $R^2 = 0{,}92$ . Trouve $SS_{\text{res}}$ et la variation expliquée $SS_{\text{tot}} - SS_{\text{res}}$ .
Réponse: 230
1. Combien vaut $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = 1 - R^2$ ? (nombre décimal) 0.08
2. Que vaut $SS_{\text{res}}$ ? 20
3. Que vaut la variation expliquée $SS_{\text{tot}} - SS_{\text{res}}$ ? 230