Guide de l'enseignant: Coefficient de détermination (R²)

Découvre ce que R² dit d'une droite de régression, comment le calculer à partir de r ou des sommes des carrés, et pourquoi un R² élevé ne prouve pas la causalité.

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Quiz de classe

10 questions sur Régression. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Calculer $R^2$ à partir du coefficient de corrélation avec $R^2 = r^2$
Calculer $R^2$ à partir de $SS_{\text{res}}$ et $SS_{\text{tot}}$ avec $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$
Interpréter $R^2$ dans le contexte comme le pourcentage de la variation de $y$ expliquée par la relation linéaire avec $x$
Trouver $r$ à partir de $R^2$ grâce au signe de la pente
Expliquer pourquoi un $R^2$ élevé ne prouve ni la causalité ni un modèle correct, et utiliser les résidus pour vérifier l'ajustement

Prérequis

• Coefficient de corrélation : ce que mesure $r$ et pourquoi $-1 \le r \le 1$
• Régression linéaire : trouver et utiliser une droite d'ajustement $\hat{y} = mx + b$
• Résidus : valeurs observées moins valeurs prédites et graphiques des résidus
• Nuages de points, ainsi que carrés de nombres décimaux, racines carrées et pourcentages

Amorces de discussion

1. Deux modèles ont $R^2 = 0{,}64$ , l'un avec $r = 0{,}8$ et l'autre avec $r = -0{,}8$ . Qu'ont-ils en commun et en quoi sont-ils différents ?
2. Pourquoi, à ton avis, élève-t-on les résidus au carré avant de les additionner au lieu de simplement les additionner ?
3. Un modèle avec $R^2 = 0{,}30$ est-il inutile ? Quand pourrait-il quand même servir ?
4. Les ventes de glaces et les coups de soleil ont un $R^2$ élevé. Les glaces causent-elles les coups de soleil ? Qu'est-ce qui pourrait l'expliquer ?
5. Comment des données courbes peuvent-elles quand même donner un $R^2$ élevé pour une droite ?

Idées reçues courantes

$R^2$ est le pourcentage de points situés sur la droite de régression

Remédiation: Montre un jeu de données où aucun point n'est exactement sur la droite, mais où $R^2 = 0{,}81$ . Explique que $R^2$ compare la variation restante à la variation totale, il ne compte pas les points.

$R^2 = r$ , donc $r = 0{,}7$ signifie que 70 % est expliqué

Remédiation: Fais calculer $0{,}7^2 = 0{,}49$ et comparer 49 % avec 70 %. Recommence avec $r = 0{,}3$ ( $R^2 = 0{,}09$ ) pour montrer à quelle vitesse la part expliquée diminue.

Un $R^2$ élevé signifie que $x$ cause $y$ et que la droite est le bon modèle

Remédiation: Utilise les données courbes $y = x^2$ ( $R^2$ élevé, résidus en U) et un exemple avec variable confondante comme les glaces et les coups de soleil. Demande ce que $R^2$ ne peut pas voir.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer uniquement par $R^2 = r^2$ , avec la calculatrice pour les carrés
• Proposer une phrase à trous : "___ % de la variation de ___ est expliquée par la relation linéaire avec ___"
• Donner directement $SS_{\text{res}}$ et $SS_{\text{tot}}$ avant de demander aux élèves de les calculer

Pour les élèves au niveau:

• Calculer $SS_{\text{tot}}$ , $SS_{\text{res}}$ et $R^2$ pour de petits jeux de 5 points
• Revenir de $R^2$ à $r$ grâce au signe de la pente
• Comparer deux modèles des mêmes données et décider lequel explique le plus de variation

Pour les élèves avancés:

• Montrer que pour la droite des moindres carrés $SS_{\text{tot}} = SS_{\text{res}} + SS_{\text{reg}}$ et que $R^2 = \frac{SS_{\text{reg}}}{SS_{\text{tot}}}$
• Étudier comment une seule valeur aberrante modifie $R^2$
• Ajuster une courbe aux données $y = x^2$ et comparer son $R^2$ et ses résidus avec ceux de la droite

Alignement aux standards

HSS.ID.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.8)
Calculer (avec un outil numérique) et interpréter le coefficient de corrélation d'un ajustement linéaire
HSS.ID.B.6.B (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.B)
Évaluer de façon informelle l'ajustement d'une fonction en représentant et en analysant les résidus
HSS.ID.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.9)
Distinguer corrélation et causalité

Ressources de la leçon

visualNuages de points : bon et faible ajustement
Deux nuages de points avec droite de tendance et résidus : l'un avec $r = 0{,}9$ ( $R^2 = 0{,}81$ ), l'autre avec $r = 0{,}3$ ( $R^2 = 0{,}09$ )
activityExpliqué ou pas ?
Les élèves recueillent des données de la classe (envergure et taille, pointure et note), calculent $R^2$ à la calculatrice et argumentent pour dire quelle relation est la plus forte
worksheetExercices sur R²
Passer de $r$ à $R^2$ et inversement, calculer $R^2$ à partir des sommes des carrés et rédiger des interprétations en contexte

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Le coefficient de détermination, noté

R^2

, indique quelle part de la variation de la variable réponse

y

est expliquée par la relation linéaire avec la variable explicative

x

Pour une régression linéaire simple (un

x

, un

y

), c'est le carré du coefficient de corrélation :

R^2 = r^2

On peut aussi le calculer à partir de deux sommes de carrés :

R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

$SS_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2$ est la variation totale des valeurs de $y$ autour de leur moyenne
$SS_{\text{res}} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ est la variation qui reste après avoir utilisé la droite de régression (la somme des carrés des résidus, notée SCR dans le cours Résidus)

R^2

est toujours compris entre

0

1

. Si

R^2 = 0{,}81

, alors **81 % de la variation de

y

est expliquée par la relation linéaire avec

x

**, et les 19 % restants ne sont pas expliqués par la droite.

Exemples résolus

Dans un groupe d'élèves, la corrélation entre le temps d'écran quotidien (

x

, en heures) et les heures de sommeil (

y

) vaut

r = -0{,}7

. Calcule

R^2

et interprète-le.

Élève le coefficient de corrélation au carré

R^2 = r^2 = (-0{,}7)^2 = 0{,}49

→

R^2 = 0{,}49

Écris-le en pourcentage

0{,}49 = 49\,\%

→ 49 %

Interprète dans le contexte

49 % de la variation des heures de sommeil est expliquée par la relation linéaire avec le temps d'écran. Les 51 % restants viennent d'autres facteurs. → 49 % expliqués, 51 % non expliqués

Réponse: $R^2 = 0{,}49$ : 49 % de la variation du sommeil est expliquée par la relation linéaire avec le temps d'écran. Le carré fait disparaître le signe moins, donc $R^2$ n'est jamais négatif.

Erreurs courantes

Utiliser $r$ comme pourcentage : " $r = 0{,}5$ , donc 50 % de la variation est expliquée"

Pourquoi c'est faux: Le pourcentage de variation expliquée vient de $R^2$ , pas de $r$ . Il faut d'abord élever au carré.

Correct: $R^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25$ , donc seulement 25 % de la variation est expliquée.

Oublier le signe en passant de $R^2$ à $r$

Pourquoi c'est faux: $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ est toujours positif, mais $r$ peut être négatif. $R^2$ cache le sens de la relation.

Correct: Prends le signe de la pente : si la pente est négative, $r = -\sqrt{R^2}$ , par exemple $r = -0{,}7$ .

Penser qu'un $R^2$ élevé prouve que $x$ cause $y$

Pourquoi c'est faux: $R^2$ mesure seulement si une droite s'ajuste bien aux données. Une variable confondante peut influencer à la fois $x$ et $y$ .

Correct: Dis "81 % de la variation de $y$ est expliquée par la relation linéaire avec $x$ ", jamais " $x$ cause 81 % de $y$ ". Pour la causalité, il faut une expérience contrôlée.

Penser qu'un $R^2$ élevé signifie qu'une droite est le bon modèle

Pourquoi c'est faux: Des données courbes peuvent aussi donner $R^2 = 0{,}96$ . $R^2$ ne montre pas les motifs dans les résidus.

Correct: Regarde toujours le graphique des résidus. Une répartition au hasard soutient la droite ; un U ou un autre motif signifie qu'un autre modèle convient mieux.

Pourquoi c'est important

Une fois que tu as une droite de régression, la question suivante est : est-elle bonne ?

R^2

répond avec un seul nombre.

Sciences : les chercheurs donnent $R^2$ pour montrer à quel point un modèle décrit bien leurs mesures
Entreprise : les analystes comparent des modèles de ventes et gardent celui qui explique le plus de variation
Sport : les entraîneurs vérifient quelle part de la variation des temps de sprint est expliquée par les heures d'entraînement
Médecine : les médecins voient à quel point une dose est liée à une variation de la tension artérielle

Savoir ce que

R^2

ne dit pas est tout aussi important : un

R^2

élevé ne prouve pas que

x

cause

y

, et il ne prouve pas qu'une droite soit le bon modèle. Tu dois quand même regarder les résidus.

Applications dans le monde réel

Analyse sportive

Les entraîneurs comparent les données d'entraînement aux résultats en course pour voir quelle part de la différence de performance est liée à l'entraînement.

Exemple:

Si la corrélation entre les heures d'entraînement par semaine et le temps au 100 m est $r = -0{,}85$ , alors $R^2 = 0{,}7225$ : environ 72 % de la variation des temps est expliquée par la relation linéaire avec les heures d'entraînement.

1Essaie par toi-même

Dans un club de natation, la corrélation entre les heures d'entraînement par semaine et le temps au 50 m est $r = -0{,}9$ .

Que vaut $R^2$ ? Donne-le sous forme décimale.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Élève le coefficient de corrélation au carré :

Prix de l'immobilier

Les analystes immobiliers construisent des modèles de régression pour le prix des logements et utilisent $R^2$ pour juger si un modèle est assez bon pour des estimations.

Exemple:

Un modèle du prix en fonction de la surface avec $R^2 = 0{,}70$ explique 70 % de la variation des prix ; les 30 % restants viennent de l'emplacement, de l'état et d'autres facteurs.

2Essaie par toi-même

Pour un modèle du prix des appartements en fonction de la surface, la variation totale est $SS_{\text{tot}} = 500$ et la somme des carrés des résidus est $SS_{\text{res}} = 75$ (les deux en milliers d'euros au carré).

Que vaut $R^2$ ? Donne-le sous forme décimale.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ :

Médecine et dosage

Dans les études cliniques, les chercheurs vérifient à quel point la dose d'un médicament est liée à la variation d'une mesure comme la tension artérielle.

Exemple:

Si une dose plus forte va avec une tension plus basse (pente négative) et que $R^2 = 0{,}36$ , alors $r = -0{,}6$ : une relation linéaire négative modérée.

3Essaie par toi-même

Une étude montre qu'une dose plus forte va avec une tension artérielle plus basse. La droite de régression a une pente négative et $R^2 = 0{,}64$ .

Que vaut le coefficient de corrélation $r$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Prends la racine carrée et choisis le signe grâce à la pente :

Points clés

1Le coefficient de détermination $R^2$ est la part de la variation de $y$ expliquée par la relation linéaire avec $x$
2Pour une régression linéaire simple, $R^2 = r^2$ : élever le coefficient de corrélation au carré donne $R^2$
3 $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ compare la variation restante à la variation totale
4 $R^2$ est compris entre $0$ et $1$ : $R^2 = 0{,}81$ signifie que 81 % de la variation de $y$ est expliquée
5Pour revenir de $R^2$ à $r$ , prends $\sqrt{R^2}$ avec le signe de la pente
6Un $R^2$ élevé ne prouve ni la causalité ni un modèle correct : vérifie toujours le graphique des résidus

Questions fréquentes

R² peut-il être négatif ?

Pas pour une droite de régression obtenue par la méthode des moindres carrés, comme dans ce cours :

SS_{\text{res}}

n'est jamais plus grand que

SS_{\text{tot}}

, donc

R^2

reste entre

0

1

. Élever

r

au carré donne aussi toujours un nombre égal à

0

ou plus grand.

Qu'est-ce qu'un bon R² ?

Cela dépend du domaine. En physique, des valeurs au-dessus de

0{,}95

sont courantes. Quand on étudie des personnes (comportement, santé, économie), un

R^2

0{,}30

peut déjà être utile, car les personnes sont influencées par beaucoup de facteurs.

R² est-il toujours égal à r² ?

Oui pour une régression linéaire simple avec une seule variable explicative, ce qui est le sujet de ce cours. Avec plusieurs variables explicatives, il n'y a pas un seul

r

, mais

R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

fonctionne toujours.

Pourquoi R² ne dit-il rien sur le sens de la relation ?

Parce que le carré supprime le signe :

r = 0{,}8

r = -0{,}8

donnent tous les deux

R^2 = 0{,}64

. Pour connaître le sens, regarde la pente de la droite de régression ou

r

lui-même.

Glossaire

Coefficient de détermination ( $R^2$ ): La part de la variation de $y$ expliquée par la relation linéaire avec $x$ ; un nombre de $0$ à $1$
Somme des carrés totale ( $SS_{\text{tot}}$ ): $\sum (y_i - \bar{y})^2$ : la variation totale des valeurs de $y$ autour de leur moyenne
Somme des carrés des résidus ( $SS_{\text{res}}$ , aussi SCR): $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ : la variation qui reste après avoir utilisé la droite de régression
Résidu: La différence entre une valeur observée et une valeur prédite : $y_i - \hat{y}_i$
Variation expliquée: La part de la variation totale de $y$ prise en compte par la droite de régression : $SS_{\text{tot}} - SS_{\text{res}}$

Carte des formules

R² à partir de r

R^2 = r^2

Pour une régression linéaire simple, élève le coefficient de corrélation au carré

R² à partir des sommes des carrés

R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

Un moins la part de la variation qui reste

Somme des carrés totale

SS_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2

Carrés des écarts des valeurs de y à leur moyenne

Somme des carrés des résidus

SS_{\text{res}} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2

Carrés des écarts des valeurs de y à la droite de régression

r à partir de R²

r = \pm\sqrt{R^2}

Utilise le signe de la pente de la droite de régression

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Pour les élèves au niveau:

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Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

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Prix de l'immobilier

Médecine et dosage

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

R² à partir de r

R² à partir des sommes des carrés

Somme des carrés totale

Somme des carrés des résidus

r à partir de R²

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