Résidus

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Un point de données est en dessous de la droite de régression. Quel est le signe de son résidu ?
1. a)négatif
2. b)cela dépend de la pente
3. c)nul
4. d)positif
Réponse: négatif
En dessous de la droite, $y < \hat{y}$ , donc $e = y - \hat{y}$ est négatif.
2.
Quelle formule donne le résidu d'un point de données ?
1. a) $y \cdot \hat{y}$
2. b) $y + \hat{y}$
3. c) $\hat{y} - y$
4. d) $y - \hat{y}$
Réponse: $y - \hat{y}$
Le résidu est toujours observé moins prédit : $e = y - \hat{y}$ . L'ordre compte, car $\hat{y} - y$ a le signe opposé.
3.
Un graphique des résidus montre une courbe en U très nette. Qu'est-ce que cela t'indique ?
1. a)Il n'y a aucune relation entre x et y
2. b)La somme des résidus n'est pas 0
3. c)Un modèle courbe conviendrait mieux qu'une droite
4. d)Le modèle linéaire convient bien
Réponse: Un modèle courbe conviendrait mieux qu'une droite
Une forme courbe dans les résidus signifie que les données se courbent et qu'une droite rate cette courbure : un modèle courbe conviendrait mieux. La somme des résidus de la droite des moindres carrés vaut quand même $0$ .
4.
Que peut-on dire de la somme des résidus de la droite de régression des moindres carrés ?
1. a)Elle change pour chaque série de données
2. b)Elle vaut toujours 0
3. c)Elle est égale à la somme des carrés des résidus
4. d)Elle est toujours positive
Réponse: Elle vaut toujours 0
Pour la droite des moindres carrés, les résidus positifs et négatifs se compensent toujours exactement : $\sum e = 0$ , pour toute série de données. C'est pourquoi une petite somme ne dit rien sur l'ajustement.
5.
Quatre droites ont été tracées dans le même nuage de points. Leurs sommes des carrés des résidus sont indiquées ci-dessous. Laquelle est la droite de régression des moindres carrés ?
1. a)Droite B (SCR = 34)
2. b)Droite A (SCR = 40)
3. c)Droite D (SCR = 61)
4. d)Droite C (SCR = 53)
Réponse: Droite B (SCR = 34)
La droite des moindres carrés est celle qui a la plus petite somme des carrés des résidus. $34$ est la plus petite valeur, donc la droite B est la droite des moindres carrés.
6.
La droite de régression est $\hat{y} = 5x + 50$ . Un point de données est $(2, 58)$ . Quel est son résidu ?
Réponse: -2
$\hat{y} = 5(2) + 50 = 60$ , donc $e = 58 - 60 = -2$ . Le point est 2 unités en dessous de la droite.
7.
La note observée d'une élève est $80$ et la droite de régression prédit $74{,}5$ . Quel est le résidu ?
Réponse: 5.5
$e = 80 - 74{,}5 = 5{,}5$ . Le résidu est positif, donc l'élève a obtenu $5{,}5$ points de plus que prévu.
8.
Un point a un résidu de $-4$ et sa valeur prédite est $\hat{y} = 30$ . Quelle est la valeur observée $y$ ?
Réponse: 26
$y = \hat{y} + e = 30 + (-4) = 26$ . Un résidu négatif signifie que la valeur observée est inférieure à la prédiction.
9.
On a ajusté une droite des moindres carrés à $5$ points. Quatre des résidus valent $3$ , $-1$ , $2$ et $-5$ . Quel est le cinquième résidu ?
Réponse: 1
$3 + (-1) + 2 + (-5) = -1$ . Les cinq doivent avoir une somme de $0$ , donc le cinquième résidu vaut $1$ .
10.
Les résidus d'une droite de régression sont $1$ , $-3$ , $2$ , $0$ , $-1$ et $1$ . Quelle est la somme des carrés des résidus ?
Réponse: 16
$1^2 + (-3)^2 + 2^2 + 0^2 + (-1)^2 + 1^2 = 1 + 9 + 4 + 0 + 1 + 1 = 16$ .
11.
La droite de régression est $\hat{y} = 3x + 4$ . Calcule le résidu du point $(5, 21)$ .
Réponse: 2
1. Combien vaut $3 \times 5$ ? 15
2. Quelle est la valeur prédite $\hat{y}$ ? 19
3. Quel est le résidu $e = y - \hat{y}$ ? 2
12.
La droite de régression est $\hat{y} = 2x + 10$ . Calcule le résidu du point $(6, 19)$ et dis où se trouve le point.
Réponse: -3
1. Quelle est la valeur prédite $\hat{y}$ ? 22
2. Quel est le résidu $e = y - \hat{y}$ ? -3
3. Où se trouve le point ? en dessous
13.
Un café modélise ses ventes de chocolat chaud par $\hat{y} = 0{,}5x + 20$ , où $x$ est le nombre de clients. Un jour avec $40$ clients, il a vendu $38$ chocolats chauds. Calcule le résidu.
Réponse: -2
1. Combien vaut $0{,}5 \times 40$ ? 20
2. Quelle est la valeur prédite $\hat{y}$ ? 40
3. Quel est le résidu $e = y - \hat{y}$ ? -2
14.
La droite des moindres carrés pour les points $(1, 6)$ , $(2, 7)$ et $(3, 14)$ est $\hat{y} = 4x + 1$ . Calcule chaque résidu et leur somme.
Réponse: 0
1. Résidu de $(1, 6)$ ? 1
2. Résidu de $(2, 7)$ ? -2
3. Résidu de $(3, 14)$ ? 1
4. Quelle est la somme des trois résidus ? 0
15.
Pour les points $(1, 4)$ , $(2, 4)$ et $(3, 8)$ et la droite $\hat{y} = 2x + 1$ , calcule la somme des carrés des résidus.
Réponse: 3
1. Résidu de $(1, 4)$ ? 1
2. Résidu de $(2, 4)$ ? -1
3. Résidu de $(3, 8)$ ? 1
4. Quelle est la somme des carrés des résidus ? 3
16.
Pour les points $(1, 3)$ , $(2, 5)$ et $(3, 4)$ , compare la droite A : $\hat{y} = 0{,}5x + 3$ et la droite B : $\hat{y} = x + 2$ . Laquelle est la droite des moindres carrés ?
Réponse: A
1. Droite A : quel est le résidu de $(2, 5)$ ? 1
2. Droite A : quelle est la somme des carrés des résidus ? 1.5
3. Droite B : quelle est la somme des carrés des résidus ? 2
4. Quelle droite est la droite des moindres carrés ? A
17.
La droite des moindres carrés pour quatre points est $\hat{y} = 2x + 5$ . Les résidus des trois premiers points sont $2$ , $-1$ et $-3$ . Le quatrième point a $x = 8$ . Quelle est sa valeur observée $y$ ?
Réponse: 23
1. Quelle est la somme des trois premiers résidus ? -2
2. Combien doit valoir le quatrième résidu ? 2
3. Combien vaut $\hat{y}$ pour $x = 8$ ? 21
4. Quelle est la valeur observée $y$ ? 23
18.
Les téléchargements d'une application (en milliers) pendant les mois $1$ à $6$ étaient $20, 24, 31, 41, 54, 70$ . La droite des moindres carrés est $\hat{y} = 10x + 5$ . Vérifie avec les résidus si une droite convient.
Réponse: 5, -1, -4, -4, -1, 5
1. Résidu pour le mois $1$ ? 5
2. Résidu pour le mois $3$ ? -4
3. Résidu pour le mois $6$ ? 5
4. Les six résidus sont $5, -1, -4, -4, -1, 5$ . Quelle forme dessinent-ils dans le graphique des résidus ? courbe en U