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Guide de l'enseignant: Résidus

Apprends ce qu'est un résidu, comment calculer les résidus dans un tableau et comment un graphique des résidus montre si une droite convient aux données.

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Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Régression. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Calculer un résidu comme valeur observée moins valeur prédite
  • Interpréter le signe d'un résidu comme un point au-dessus ou en dessous de la droite de régression
  • Organiser les résidus dans un tableau et vérifier que leur somme est nulle pour la droite des moindres carrés
  • Utiliser un graphique des résidus pour décider si un modèle linéaire est adapté
  • Expliquer les moindres carrés comme la minimisation de la somme des carrés des résidus
Prérequis
  • • Nuages de points et lecture de points comme couples (x, y)
  • • Droite d'ajustement et son équation y^=mx+b\hat{y} = mx + b
  • • Faire des prédictions en remplaçant xx dans la droite de régression
  • • Additionner et élever au carré des nombres négatifs
Amorces de discussion
  • 1. Si ton résidu dans un modèle de notes est −5-5, as-tu fait mieux ou moins bien que ce que le modèle attendait ?
  • 2. Pourquoi la somme des résidus d'une mauvaise droite peut-elle quand même être nulle ?
  • 3. À quoi ressemblerait un graphique des résidus si tous les points étaient exactement sur la droite ?
  • 4. Pourquoi le carré pénalise-t-il un grand écart plus que plusieurs petits ?
Idées reçues courantes

Le résidu est prédit moins observé

Remédiation: Ancre l'ordre avec un dessin : un point au-dessus de la droite doit être positif. Fais vérifier le signe sur le graphique à chaque fois.

Une somme des résidus nulle prouve que la droite convient bien

Remédiation: Montre les données de téléchargements : la somme vaut 00, mais le graphique des résidus forme un U très net. Compare ensuite la SCR de deux droites.

Une forte corrélation signifie qu'une droite est toujours le bon modèle

Remédiation: Des données courbes peuvent aussi avoir un rr élevé. Trace toujours le graphique des résidus et cherche une forme avant de faire confiance à un modèle linéaire.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Commencer par un seul résidu à la fois avec un graphique pour vérifier le signe
  • • Donner un tableau où les valeurs prédites sont déjà remplies
  • • Utiliser uniquement des résidus entiers

Pour les élèves au niveau:

  • • Compléter des tableaux de résidus entiers et vérifier que la somme est nulle
  • • Tracer des graphiques des résidus à la main et décrire leur forme
  • • Comparer deux droites avec la somme des carrés des résidus

Pour les élèves avancés:

  • • Montrer que décaler la droite des moindres carrés de cc vers le haut ajoute nc2n c^2 à la SCR
  • • Expliquer pourquoi la droite des moindres carrés passe toujours par (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y})
  • • Trouver des données réelles dont le graphique des résidus est courbe et proposer un meilleur modèle
Alignement aux standards
  • HSS.ID.B.6.B (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.B)

    Évaluer de façon informelle l'ajustement d'une fonction en représentant et en analysant les résidus

  • HSS.ID.B.6.C (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.C)

    Ajuster une fonction linéaire à un nuage de points qui suggère une relation linéaire

  • HSS.ID.C.7 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.7)

    Interpréter la pente et l'ordonnée à l'origine d'un modèle linéaire dans le contexte des données

Ressources de la leçon
  • visualNuage de points avec résidus

    Les élèves touchent les points et lisent chaque résidu comme un segment en pointillés entre le point et la droite

  • activityGraphique des résidus humain

    Les élèves mesurent leur taille et leur envergure, calculent leurs résidus par rapport à une droite de la classe et se placent sur une droite graduée au sol à leur résidu

  • worksheetTableaux de résidus

    Compléter les valeurs prédites, les résidus et leurs carrés pour de petites séries de données et comparer deux droites

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un résidu est l'écart vertical entre un point de données et la droite de régression. Il indique de combien la prédiction de la droite s'est trompée par rapport à la vraie valeur :
e=y−y^e = y - \hat{y}
  • yy est la valeur observée (ce qui s'est vraiment passé)
  • y^\hat{y} est la valeur prédite par la droite (on lit "y chapeau")
  • ee est le résidu, toujours observé moins prédit
Le signe d'un résidu t'indique où se trouve le point :
  • e>0e > 0 : le point est au-dessus de la droite (la droite a prédit trop peu)
  • e<0e < 0 : le point est en dessous de la droite (la droite a prédit trop)
  • e=0e = 0 : le point est exactement sur la droite
Un résidu a la même unité que yy. Pour la droite de régression des moindres carrés, la somme des résidus est toujours nulle : ∑e=0\sum e = 0.

Exemples résolus

La droite de régression entre les heures de révision (xx) et la note (yy) est y^=5x+50\hat{y} = 5x + 50. Mia a révisé 44 heures et a obtenu 7272. Calcule son résidu.
1

Calcule la note prédite

y^=5(4)+50=20+50\hat{y} = 5(4) + 50 = 20 + 50 → y^=70\hat{y} = 70
2

Soustrais : observé moins prédit

e=y−y^=72−70e = y - \hat{y} = 72 - 70 → e=2e = 2
3

Interprète le signe

e>0e > 0, donc le point de Mia est au-dessus de la droite → Elle a obtenu 2 points de plus que prévu

Erreurs courantes

Calculer prédit moins observé (y^−y\hat{y} - y)

Pourquoi c'est faux: Cela inverse tous les signes : les points au-dessus de la droite auraient des résidus négatifs et les points en dessous des résidus positifs.

Correct: Calcule toujours observé moins prédit : e=y−y^e = y - \hat{y}. Positif signifie au-dessus de la droite.

Juger une droite d'après la simple somme de ses résidus

Pourquoi c'est faux: Pour la droite des moindres carrés, la somme vaut toujours 00, même quand la droite convient mal, car les résidus positifs et négatifs se compensent.

Correct: Élève d'abord les résidus au carré et additionne-les (SCR), ou regarde le graphique des résidus.

Penser qu'un graphique des résidus courbe est correct parce que les points sont proches de zéro en moyenne

Pourquoi c'est faux: Une courbe nette (en U, en cloche) signifie que les données suivent une courbure qu'une droite ne peut pas suivre.

Correct: Un modèle linéaire convient seulement si le graphique des résidus ressemble à une dispersion aléatoire autour de 00, sans forme particulière.

Oublier l'unité ou la taille d'un résidu

Pourquoi c'est faux: Un résidu de −3-3 sur une note signifie 3 points, pas 3 %. Sa taille n'a de sens que dans l'unité de yy.

Correct: Dis-le dans le contexte : "La droite a surestimé la note de Léo de 3 points."

Pourquoi c'est important

Les résidus permettent aux statisticiens de vérifier un modèle au lieu de lui faire aveuglément confiance :
  • La droite est-elle bonne ? De petits résidus signifient que les prédictions sont proches de la réalité.
  • Une droite est-elle la bonne forme ? Un graphique des résidus (les résidus en fonction de x) montre un nuage aléatoire quand une droite convient et une courbe quand elle ne convient pas.
  • Quelle droite est la meilleure ? La droite des moindres carrés est celle qui a la plus petite somme des carrés des résidus.
  • Cas inhabituels : un très grand résidu signale un point qui ne suit pas la tendance, par exemple une faute de frappe dans les données ou un cas particulier.
Les services météo, les applications de livraison, les médecins et les scientifiques du sport comparent sans cesse des prédictions avec ce qui s'est réellement passé, et chacune de ces comparaisons est un résidu.

Applications dans le monde réel

Estimation des délais de livraison

Les applications de livraison prédisent la durée d'une commande à partir de la distance. Après chaque livraison, le résidu montre si l'estimation était trop courte ou trop longue.

Exemple:

Avec y^=2x+10\hat{y} = 2x + 10 minutes pour xx km, une commande de 5 km doit durer 2020 minutes. Si elle a pris 1818 minutes, le résidu est 18−20=−218 - 20 = -2.

1Essaie par toi-même

Le modèle de l'application est y^=2x+10\hat{y} = 2x + 10 (minutes, xx en km). Une commande sur 66 km a pris 2525 minutes.

Quel est le résidu pour cette commande ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Observé moins prédit :

Expériences sur la croissance des plantes

Les biologistes ajustent une droite à la hauteur des plantes au fil du temps. Une plante avec un grand résidu négatif manque peut-être de lumière ou d'eau.

Exemple:

Avec y^=1,5x+4\hat{y} = 1{,}5x + 4 cm après xx semaines, on s'attend à ce qu'une plante mesure 1010 cm après 4 semaines.

2Essaie par toi-même

Le modèle de croissance est y^=1,5x+4\hat{y} = 1{,}5x + 4 (cm, xx en semaines). Après 88 semaines, une plante mesure 14,514{,}5 cm.

Quel est le résidu pour cette plante ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Observé moins prédit :

Modèles en sciences du sport

Les entraîneurs prédisent la hauteur de saut d'un athlète à partir de données d'entraînement et jugent le modèle par sa somme des carrés des résidus : plus elle est petite, mieux c'est.

Exemple:

Si un modèle se trompe de 33 cm et de −3-3 cm pour deux athlètes, la somme des résidus vaut 00, mais la somme des carrés des résidus vaut 9+9=189 + 9 = 18.

3Essaie par toi-même

Un modèle des moindres carrés pour la hauteur de saut a des résidus de 22, −1-1 et −1-1 cm pour trois athlètes.

Quelle est la somme des carrés des résidus ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Élève chaque résidu au carré et additionne :

Points clés

  • 1Un résidu est observé moins prédit : e=y−y^e = y - \hat{y}
  • 2Un résidu positif signifie que le point est au-dessus de la droite, un résidu négatif qu'il est en dessous
  • 3Les résidus ont la même unité que yy et s'organisent facilement dans un tableau : xx, yy, y^\hat{y}, ee
  • 4La somme des résidus de la droite des moindres carrés est toujours égale à 00
  • 5Un graphique des résidus avec une dispersion aléatoire autour de 00 signifie qu'une droite convient ; une forme courbe signifie qu'elle ne convient pas
  • 6La droite des moindres carrés est la droite qui a la plus petite somme des carrés des résidus

Questions fréquentes

Pourquoi parle-t-on de résidu ?

"Résidu" veut dire "ce qui reste". C'est la partie de yy que la droite n'explique pas : la valeur qui reste quand on enlève la prédiction.

Pourquoi élève-t-on les résidus au carré au lieu de simplement les additionner ?

Les résidus simples se compensent (pour la droite des moindres carrés, leur somme vaut toujours 00). Le carré rend chaque écart positif et donne beaucoup plus de poids aux grands écarts.

Un grand résidu est-il une erreur ?

Pas forcément. Il signifie seulement que le point ne suit pas bien la tendance. Vérifie s'il y a une faute de frappe dans les données, mais les vraies données peuvent aussi contenir des cas inhabituels.

Quelle est la différence entre un graphique des résidus et un nuage de points ?

Un nuage de points montre yy en fonction de xx. Un graphique des résidus montre le résidu ee en fonction de xx, donc la droite de régression devient la droite horizontale e=0e = 0 et toute forme que la droite a manquée devient facile à voir.

Glossaire

Résidu
Valeur observée moins valeur prédite : e=y−y^e = y - \hat{y}
Valeur observée
La vraie valeur yy d'un point de données, mesurée ou relevée
Valeur prédite
La valeur y^\hat{y} que donne la droite de régression pour un certain xx
Graphique des résidus
Un graphique des résidus en fonction de xx, avec une droite horizontale en 00
Somme des carrés des résidus (SCR)
La somme ∑(y−y^)2\sum (y - \hat{y})^2 ; la droite des moindres carrés la rend la plus petite possible
Droite des moindres carrés
La droite de régression qui a la plus petite somme des carrés des résidus

Carte des formules

Résidu

e=y−y^e = y - \hat{y}

Observé moins prédit ; positif au-dessus de la droite, négatif en dessous

Somme des résidus

∑e=0\sum e = 0

Toujours vrai pour la droite de régression des moindres carrés

Somme des carrés des résidus

SCR=∑(y−y^)2\text{SCR} = \sum (y - \hat{y})^2

La droite des moindres carrés rend cette valeur la plus petite possible (aussi notée $SS_{\text{res}}$)

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