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Guide de l'enseignant: Identifier les valeurs aberrantes

Apprends ce qu'est une valeur aberrante, comment la repérer avec la règle 1,5 × IQR et comment elle modifie la moyenne, la médiane et l'étendue.

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Quiz de classe

10 questions sur Dispersion & Variabilité. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Expliquer ce qu'est une valeur aberrante dans une série de données
  • Calculer les bornes inférieure et supérieure avec la règle 1,5 × IQR et repérer les valeurs aberrantes
  • Représenter correctement les valeurs aberrantes dans une boîte à moustaches
  • Décrire l'effet d'une valeur aberrante sur la moyenne, la médiane, l'étendue et l'IQR
  • Décider si une valeur aberrante est une erreur à corriger ou une vraie valeur à garder
Prérequis
  • • Trouver la médiane, Q1, Q3 et l'IQR (Étendue et écart interquartile)
  • • Lire et tracer des boîtes à moustaches (Diagrammes en boîte (Boîte à moustaches))
  • • Calculer la moyenne d'une série de données
  • • Idée de base de l'écart type (Écart type), pour la remarque sur le score z
Amorces de discussion
  • 1. Un coureur bat le record du monde. Ce temps est-il une valeur aberrante ? Faut-il le retirer des données ?
  • 2. À ton avis, pourquoi les médias donnent-ils souvent le prix médian des maisons plutôt que le prix moyen ?
  • 3. Si tu retires une valeur aberrante d'une série, qu'est-ce qui change le plus : la moyenne ou la médiane ? Pourquoi ?
  • 4. Une valeur peut-elle être aberrante dans une série et normale dans une autre ? Donne un exemple.
  • 5. Qui devrait décider si une valeur étrange est une erreur, et de quelles informations cette personne a-t-elle besoin ?
Idées reçues courantes

Les valeurs aberrantes sont toujours des erreurs et doivent être supprimées

Remédiation: Montre de vraies valeurs aberrantes (un saut record, le revenu d'un gagnant du loto) à côté d'erreurs évidentes (une taille de 1630 cm). Demande aux élèves de les trier et d'expliquer pourquoi seules les erreurs peuvent être corrigées ou retirées.

Seules les très grandes valeurs peuvent être aberrantes

Remédiation: Utilise une série avec une valeur aberrante basse, comme les notes 3,12,13,…3, 12, 13, \ldots. Fais calculer les deux bornes à chaque fois, pas seulement la borne supérieure.

La plus grande valeur d'une série est forcément aberrante

Remédiation: Donne une série dont le maximum est sous la borne supérieure (par exemple 9595 avec une borne de 96,2596{,}25). Insiste sur le fait que ce sont les bornes qui décident, pas la place dans la liste.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Donner Q1 et Q3 directement pour ne travailler que les bornes
  • • Utiliser un modèle à compléter : IQR, 1,5 × IQR, borne inférieure, borne supérieure, valeurs aberrantes
  • • Montrer les bornes sur une droite graduée pour que les élèves voient quels points sont en dehors

Pour les élèves au niveau:

  • • Repérer les valeurs aberrantes dans des séries brutes de 8 à 12 valeurs
  • • Tracer des boîtes à moustaches avec les valeurs aberrantes en points isolés
  • • Comparer la moyenne et la médiane avec et sans valeur aberrante

Pour les élèves avancés:

  • • Comparer la règle 1,5 × IQR et la règle des 2 écarts types sur les mêmes données
  • • Trouver une valeur qui serait exactement sur une borne et expliquer pourquoi elle n'est pas aberrante
  • • Étudier une vraie série (températures d'une ville, résultats sportifs) et justifier pour chaque valeur aberrante s'il s'agit d'une erreur ou d'une vraie valeur
Alignement aux standards
  • 6.SP.B.5c (CCSS.MATH.CONTENT.6.SP.B.5.C)

    Donner des mesures de tendance centrale (médiane et/ou moyenne) et de dispersion (écart interquartile et/ou écart moyen absolu), et décrire la tendance générale et les écarts marquants par rapport à celle-ci

  • 6.SP.B.5d (CCSS.MATH.CONTENT.6.SP.B.5.D)

    Relier le choix des mesures de tendance centrale et de dispersion à la forme de la distribution et au contexte dans lequel les données ont été recueillies

  • HSS-ID.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.3)

    Interpréter les différences de forme, de centre et de dispersion dans le contexte des séries, en tenant compte de l'effet possible des valeurs extrêmes (valeurs aberrantes)

Ressources de la leçon
  • visualBoîte à moustaches interactive

    Les élèves ajoutent et retirent des valeurs et voient les valeurs aberrantes apparaître comme des points isolés

  • activityChasse aux données en classe

    Recueillir une série de la classe (par exemple l'empan de la main ou le temps de trajet), calculer les bornes et chercher les valeurs aberrantes

  • worksheetErreur ou réalité ?

    De courtes séries avec des valeurs aberrantes ; les élèves calculent les bornes et décident si chaque valeur aberrante est une erreur ou une vraie valeur

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une valeur aberrante est une donnée qui se trouve anormalement loin des autres données. Elle est beaucoup plus petite ou beaucoup plus grande que les autres valeurs.

La règle 1,5 × IQR

Pour décider de façon objective si une valeur est aberrante, on construit deux bornes à partir des quartiles :
Borne infeˊrieure=Q1−1,5×IQR\text{Borne inférieure} = Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}
Borne supeˊrieure=Q3+1,5×IQR\text{Borne supérieure} = Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}
où IQR=Q3−Q1\text{IQR} = Q_3 - Q_1 est l'écart interquartile. Toute valeur en dessous de la borne inférieure ou au-dessus de la borne supérieure est une valeur aberrante. Une valeur exactement égale à une borne n'est pas aberrante.

Comment repérer les valeurs aberrantes

  1. 1.Range les données et trouve Q1Q_1 et Q3Q_3 (médianes de la moitié inférieure et de la moitié supérieure, comme dans Étendue et écart interquartile)
  2. 2.Calcule IQR=Q3−Q1\text{IQR} = Q_3 - Q_1
  3. 3.Multiplie : 1,5×IQR1{,}5 \times \text{IQR}
  4. 4.Borne inférieure =Q1−1,5×IQR= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}, borne supérieure =Q3+1,5×IQR= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}
  5. 5.Toute valeur en dehors des bornes est une valeur aberrante

Les valeurs aberrantes dans une boîte à moustaches

Dans une boîte à moustaches, les valeurs aberrantes sont dessinées comme des points isolés. Les moustaches s'arrêtent à la plus petite et à la plus grande valeur qui ne sont pas aberrantes.

Pourquoi c'est important

Une valeur aberrante tire la moyenne et agrandit l'étendue, mais elle ne bouge presque pas la médiane ni l'écart interquartile. C'est pourquoi on dit que la médiane et l'IQR sont des mesures robustes.
Il existe aussi d'autres méthodes : avec l'écart type, une valeur située à plus de 2 ou 3 écarts types de la moyenne est souvent considérée comme inhabituelle (voir Écart type).

Exemples résolus

Une série a Q1=20Q_1 = 20 et Q3=30Q_3 = 30. Parmi les valeurs 22, 1818, 4444 et 5050, lesquelles sont aberrantes ?
1

Calcule l'IQR

IQR=Q3−Q1=30−20\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 30 - 20 → IQR=10\text{IQR} = 10
2

Multiplie l'IQR par 1,5

1,5×101{,}5 \times 10 → 1515
3

Calcule la borne inférieure

Q1−15=20−15Q_1 - 15 = 20 - 15 → Borne inférieure =5= 5
4

Calcule la borne supérieure

Q3+15=30+15Q_3 + 15 = 30 + 15 → Borne supérieure =45= 45
5

Compare chaque valeur aux bornes

2<52 < 5 (en dehors), 1818 et 4444 sont entre 55 et 4545 (à l'intérieur), 50>4550 > 45 (en dehors) → Valeurs aberrantes : 22 et 5050

Erreurs courantes

Calculer Q3+IQRQ_3 + \text{IQR} au lieu de Q3+1,5×IQRQ_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}

Pourquoi c'est faux: Sans le facteur 1,51{,}5, les bornes sont trop proches de la boîte, et des valeurs ordinaires sont marquées comme aberrantes.

Correct: Multiplie toujours d'abord : 1,5×IQR1{,}5 \times \text{IQR}, puis soustrais-le de Q1Q_1 et ajoute-le à Q3Q_3.

Construire les bornes à partir de la médiane, du minimum ou du maximum

Pourquoi c'est faux: La règle mesure la distance par rapport à la boîte, et la boîte s'arrête à Q1Q_1 et Q3Q_3.

Correct: Borne inférieure =Q1−1,5×IQR= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}, borne supérieure =Q3+1,5×IQR= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}. Ne pars jamais de la médiane ni des valeurs extrêmes.

Tracer la moustache jusqu'à la valeur aberrante

Pourquoi c'est faux: La valeur aberrante a alors l'air de faire partie de la dispersion normale, et la boîte à moustaches la cache.

Correct: La moustache s'arrête à la plus grande (ou plus petite) valeur qui n'est pas aberrante. Dessine chaque valeur aberrante comme un point isolé.

Supprimer automatiquement toutes les valeurs aberrantes

Pourquoi c'est faux: Une valeur aberrante peut être réelle et importante, comme un temps record ou une très grosse commande.

Correct: Ne retire ou ne corrige une valeur que si c'est une erreur (faute de frappe, instrument en panne, mauvaise unité). Garde les vraies valeurs aberrantes et signale-les, ou utilise la médiane et l'IQR.

Pourquoi c'est important

Les valeurs aberrantes apparaissent partout où l'on recueille des données :
  • Banques : un paiement par carte bien au-dessus de tes achats habituels est signalé comme une fraude possible
  • Usines : une bouteille contenant beaucoup moins de jus que les autres est une valeur aberrante que le contrôle qualité retire de la chaîne
  • Sciences : un thermomètre qui indique 52°C52°C par une journée douce a probablement un capteur en panne, ce n'est pas une canicule
  • Sport : un record du monde est une vraie valeur aberrante, et c'est la valeur la plus intéressante de toutes
  • Salaires : un seul salaire très élevé fait paraître le salaire moyen bien plus haut que ce que gagnent la plupart des gens
Repérer les valeurs aberrantes t'aide à trouver des erreurs, à remarquer quelque chose de spécial et à choisir la bonne mesure (moyenne ou médiane) pour décrire tes données honnêtement.

Applications dans le monde réel

Détecter la fraude à la carte

Les banques comparent chaque nouveau paiement par carte aux paiements habituels du client. Un paiement au-dessus de la borne supérieure peut déclencher un contrôle de sécurité.

Exemple:

Les paiements d'une cliente ont Q1=20Q_1 = 20 € et Q3=60Q_3 = 60 €. Un paiement de 450 € est bien au-dessus de la borne supérieure, donc la banque envoie un SMS pour le faire confirmer.

1Essaie par toi-même

Les paiements habituels d'une cliente ont Q1=20Q_1 = 20 € et Q3=60Q_3 = 60 €. Soudain, un paiement de 450 € apparaît.

Quelle est la borne supérieure des paiements de cette cliente (en €) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule Q3+1,5×IQRQ_3 + 1{,}5 \times \text{IQR} :

Contrôle qualité en usine

Les bouteilles de jus doivent toutes contenir à peu près la même quantité. Les bouteilles sous la borne inférieure sont retirées de la chaîne et vérifiées.

Exemple:

Si la plupart des bouteilles contiennent entre 498 mL et 502 mL, une bouteille de 480 mL est clairement sous-remplie, et la machine a peut-être besoin d'une réparation.

2Essaie par toi-même

Les volumes de remplissage des bouteilles de jus ont Q1=498Q_1 = 498 mL et Q3=502Q_3 = 502 mL.

Quelle est la borne inférieure (en mL) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule Q1−1,5×IQRQ_1 - 1{,}5 \times \text{IQR} :

Donner un salaire typique

Les médias donnent souvent le salaire médian plutôt que le salaire moyen, car quelques salaires très élevés tirent la moyenne vers le haut.

Exemple:

Dans une petite entreprise, cinq employés gagnent entre 30 et 38 milliers d'euros par an, et la patronne gagne 160 milliers d'euros. Son salaire est une valeur aberrante.

3Essaie par toi-même

Salaires annuels en milliers d'euros : 30,32,34,36,38,16030, 32, 34, 36, 38, 160.

Quel est le salaire moyen (en milliers d'euros) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Additionne les six salaires et divise par 6 :

Points clés

  • 1Une valeur aberrante est une valeur anormalement loin des autres données, très petite ou très grande
  • 2Règle 1,5 × IQR : borne inférieure =Q1−1,5×IQR= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}, borne supérieure =Q3+1,5×IQR= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}
  • 3Les valeurs sous la borne inférieure ou au-dessus de la borne supérieure sont aberrantes ; une valeur égale à une borne ne l'est pas
  • 4Dans une boîte à moustaches, les valeurs aberrantes sont des points isolés et les moustaches s'arrêtent aux dernières valeurs entre les bornes
  • 5Les valeurs aberrantes tirent la moyenne et agrandissent l'étendue, alors que la médiane et l'IQR changent à peine
  • 6Corrige ou retire une valeur aberrante seulement si c'est une erreur ; garde les vraies valeurs aberrantes et signale-les

Questions fréquentes

Pourquoi 1,5 et pas 1 ou 2 ?

Le facteur 1,51{,}5 a été choisi par le statisticien John Tukey parce qu'il fonctionne bien en pratique : il signale les valeurs vraiment inhabituelles sans marquer trop de valeurs ordinaires. Certains manuels utilisent aussi 3×IQR3 \times \text{IQR} pour les valeurs aberrantes "extrêmes".

Une série peut-elle n'avoir aucune valeur aberrante, ou en avoir plusieurs ?

Oui, les deux. Beaucoup de séries n'ont aucune valeur aberrante, d'autres en ont plusieurs, d'un seul côté ou des deux côtés (comme les températures 22 et 5252 dans les exemples).

Le minimum ou le maximum est-il toujours une valeur aberrante ?

Non. Le minimum et le maximum sont simplement la plus petite et la plus grande valeur. Ils ne sont aberrants que s'ils sont en dehors des bornes. Par exemple, dans 60,65,70,72,75,78,80,9560, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 95, la borne supérieure est 96,2596{,}25, donc le maximum 9595 n'est pas aberrant.

Existe-t-il une autre façon de repérer les valeurs aberrantes ?

Oui. Avec l'écart type, tu peux mesurer à combien d'écarts types de la moyenne se trouve une valeur (son score z). Les valeurs à plus de 2 ou 3 écarts types sont souvent considérées comme inhabituelles. On utilise la règle 1,5 × IQR pour les boîtes à moustaches parce qu'elle ne dépend pas de la moyenne, que les valeurs aberrantes faussent.

Glossaire

Valeur aberrante
Une donnée anormalement éloignée des autres valeurs ; selon la règle 1,5 × IQR, une valeur sous la borne inférieure ou au-dessus de la borne supérieure
Borne inférieure
La limite Q1−1,5×IQRQ_1 - 1{,}5 \times \text{IQR} ; les valeurs en dessous sont aberrantes
Borne supérieure
La limite Q3+1,5×IQRQ_3 + 1{,}5 \times \text{IQR} ; les valeurs au-dessus sont aberrantes
Règle 1,5 × IQR
Une méthode pour repérer les valeurs aberrantes : placer des bornes à 1,5 IQR sous Q1Q_1 et à 1,5 IQR au-dessus de Q3Q_3
Mesure robuste
Un indicateur qui change très peu quand on ajoute une valeur aberrante, comme la médiane et l'IQR

Carte des formules

Écart interquartile

IQR=Q3−Q1\text{IQR} = Q_3 - Q_1

La dispersion des 50 % centraux des données

Borne inférieure

Q1−1,5×IQRQ_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}

Les valeurs sous la borne inférieure sont aberrantes

Borne supérieure

Q3+1,5×IQRQ_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}

Les valeurs au-dessus de la borne supérieure sont aberrantes

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