Déphasage

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Comment la courbe de $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ est-elle décalée par rapport à $y = \sin(x)$ ?
1. a) $\frac{\pi}{6}$ vers le haut
2. b) $\frac{\pi}{6}$ vers la droite
3. c) $\frac{\pi}{6}$ vers la gauche
4. d) $6$ vers la droite
Réponse: $\frac{\pi}{6}$ vers la droite
$y = \sin(x - C)$ avec $C = \frac{\pi}{6} > 0$ décale la courbe de $\frac{\pi}{6}$ vers la droite. Le nombre $6$ n'est pas le décalage, et un décalage vers le haut serait un nombre ajouté hors du sinus.
2.
Quelle équation correspond à $y = \cos(x)$ décalée de $\frac{\pi}{4}$ vers la gauche ?
1. a) $y = \cos(x) - \frac{\pi}{4}$
2. b) $y = \cos(x) + \frac{\pi}{4}$
3. c) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$
4. d) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$
Réponse: $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$
Gauche signifie $C = -\frac{\pi}{4}$ , donc $\cos\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ . Ajouter ou soustraire $\frac{\pi}{4}$ hors du cosinus déplace la courbe vers le haut ou le bas.
3.
Quel est le déphasage de $y = \sin(3x - \pi)$ ?
1. a) $\frac{\pi}{3}$ vers la gauche
2. b) $\pi$ vers la droite
3. c) $3\pi$ vers la droite
4. d) $\frac{\pi}{3}$ vers la droite
Réponse: $\frac{\pi}{3}$ vers la droite
$3x - \pi = 3\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ , donc $C = \frac{\pi}{3}$ : la courbe se décale de $\frac{\pi}{3}$ vers la droite. Le décalage est $\frac{c}{B} = \frac{\pi}{3}$ , pas $\pi$ .
4.
Quelle équation a exactement la même courbe que $y = \cos(x)$ ?
1. a) $y = \sin(x + \pi)$
2. b) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$
3. c) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$
4. d) $y = \sin(x - \pi)$
Réponse: $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$
Le cosinus est le sinus décalé de $\frac{\pi}{2}$ vers la gauche : $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(x)$ . En $x = 0$ , les autres choix donnent $-1$ , $0$ et $0$ .
5.
Une sinusoïde a pour période $\pi$ et commence une période (en montant à travers sa ligne médiane) en $x = \frac{\pi}{3}$ . Quelle équation convient ?
1. a) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
2. b) $y = \sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$
3. c) $y = \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$
4. d) $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$
Réponse: $y = \sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$
La période $\pi$ donne $B = \frac{2\pi}{\pi} = 2$ , et le début donne $C = \frac{\pi}{3}$ . Donc $y = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right) = \sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$ . Le choix $\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ commence seulement en $\frac{\pi}{6}$ .
6.
Dans $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{5}\right)$ , quel est le déphasage $C$ ? (Tape pi pour $\pi$ , par exemple 3pi/4.)
Réponse: pi/5
$x - \frac{\pi}{5}$ est $x - C$ avec $C = \frac{\pi}{5}$ : un décalage de $\frac{\pi}{5}$ vers la droite.
7.
Dans $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ , quel est le déphasage $C$ ? Donne un nombre négatif pour un décalage vers la gauche. (Tape pi pour $\pi$ , par exemple -3pi/4.)
Réponse: -pi/2
$x + \frac{\pi}{2} = x - \left(-\frac{\pi}{2}\right)$ , donc $C = -\frac{\pi}{2}$ : le cosinus se décale de $\frac{\pi}{2}$ vers la gauche.
8.
Quel est le déphasage $C$ de $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ ? (Tape pi pour $\pi$ , par exemple 3pi/4.)
Réponse: pi/6
$2x - \frac{\pi}{3} = 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ , donc $C = \frac{\pi}{6}$ vers la droite, pas $\frac{\pi}{3}$ .
9.
Quel est le déphasage $C$ de $y = \cos(4x + \pi)$ ? Donne un nombre négatif pour un décalage vers la gauche. (Tape pi pour $\pi$ , par exemple -3pi/4.)
Réponse: -pi/4
$4x + \pi = 4\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 4\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$ , donc $C = -\frac{\pi}{4}$ : $\frac{\pi}{4}$ vers la gauche.
10.
Quel est le déphasage $C$ de $y = \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ ? (Tape pi pour $\pi$ , par exemple 3pi/4.)
Réponse: pi/2
$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ , donc $C = \frac{\pi/4}{1/2} = \frac{\pi}{2}$ vers la droite. Ici le décalage est plus grand que $c$ car $B < 1$ .
11.
Pour $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ , trouve où commence la première période et où se trouve son maximum. (Tape pi pour $\pi$ , par exemple 3pi/4.)
Réponse: 5pi/6
1. Quel est le déphasage $C$ ? pi/3
2. En quel $x$ commence la première période ? pi/3
3. $\sin(x)$ a son maximum en $\frac{\pi}{2}$ . En quel $x$ se trouve le nouveau maximum ? 5pi/6
12.
Pour $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ , trouve le déphasage et la nouvelle position du maximum que $\cos(x)$ atteint en $x = 0$ . (Tape pi pour $\pi$ , par exemple -3pi/4.)
Réponse: -pi/6
1. Écris $x + \frac{\pi}{6}$ sous la forme $x - C$ . Que vaut $C$ ? -pi/6
2. En quel $x$ se trouve le nouveau maximum ? -pi/6
3. Quelle est la valeur maximale $y$ ? 1
13.
Pour $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$ , trouve le déphasage, la période et où se termine la première période. (Tape pi pour $\pi$ , par exemple 3pi/4.)
Réponse: 5pi/4
1. Que vaut $B$ ? 2
2. Factorise : $2x - \frac{\pi}{2} = 2(x - C)$ . Que vaut $C$ ? pi/4
3. Quelle est la période ? pi
4. La période commence en $x = C$ . En quel $x$ se termine-t-elle ? 5pi/4
14.
Pour $y = \cos\left(3x + \frac{\pi}{2}\right)$ , trouve le déphasage et la période. (Tape pi pour $\pi$ , par exemple -3pi/4.)
Réponse: 2pi/3
1. Que vaut $B$ ? 3
2. Divise : combien vaut $\frac{\pi}{2} \div 3$ ? pi/6
3. Quel est le déphasage $C$ ? (Négatif pour la gauche.) -pi/6
4. Quelle est la période ? 2pi/3
15.
Trouve $c$ pour que $y = \sin(2x - c)$ soit la courbe de $y = \sin(2x)$ décalée de $\frac{\pi}{6}$ vers la droite. (Tape pi pour $\pi$ , par exemple 3pi/4.)
Réponse: pi/3
1. Quel est le déphasage $C$ ? pi/6
2. Que vaut $B$ ? 2
3. $\sin(2(x - C)) = \sin(2x - 2C)$ . Que vaut $c = 2C$ ? pi/3
16.
Trouve $C$ avec $-\pi \le C \le \pi$ tel que $\sin(x - C) = \cos(x)$ pour tout $x$ . (Tape pi pour $\pi$ , par exemple -3pi/4.)
Réponse: -pi/2
1. En quel $x$ la fonction $\cos(x)$ a-t-elle un maximum (le plus proche de $0$ ) ? 0
2. En quel $x$ la fonction $\sin(x)$ a-t-elle son premier maximum positif ? pi/2
3. Le sommet du sinus doit aller de $\frac{\pi}{2}$ à $0$ . Que vaut $C$ ? (Négatif pour la gauche.) -pi/2
4. Vérification : combien vaut $\sin\left(0 - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$ ? 1
17.
La hauteur d'une nacelle de grande roue au-dessus de l'axe est $h(t) = 10\sin\left(\frac{\pi}{15}(t - 5)\right)$ mètres, avec $t$ en secondes. À quel moment $t$ la nacelle atteint-elle pour la première fois son point le plus haut après $t = 0$ ?
Réponse: 12.5
1. Quel est le déphasage $C$ en secondes ? 5
2. Quelle est la période en secondes ? 30
3. Combien vaut un quart de la période ? 7.5
4. À quel moment $t$ la nacelle est-elle en haut ? 12.5
18.
Montre que $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ et $y = \sin\left(x + \frac{7\pi}{4}\right)$ ont la même courbe : de combien de périodes entières leurs décalages diffèrent-ils ? (Tape pi pour $\pi$ , par exemple -3pi/4.)
Réponse: 1
1. Quel est le décalage $C_1$ de $\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ ? pi/4
2. Quel est le décalage $C_2$ de $\sin\left(x + \frac{7\pi}{4}\right)$ ? -7pi/4
3. Combien vaut $C_1 - C_2$ ? 2pi
4. La période de $\sin(x)$ est $2\pi$ . Combien de périodes entières cela fait-il ? 1