Guide de l'enseignant: Déphasage

Apprends comment un déphasage décale les courbes de sinus et cosinus vers la gauche ou la droite, pourquoi un signe moins veut dire droite, et comment trouver le décalage dans sin(Bx - c).

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Quiz de classe

10 questions sur Graphiques trigonométriques. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Identifier le déphasage $C$ et son sens dans $y = \sin(B(x - C))$ et $y = \cos(B(x - C))$
Factoriser $Bx - c$ sous la forme $B\left(x - \frac{c}{B}\right)$ et trouver le déphasage $\frac{c}{B}$
Distinguer l'effet de $B$ (période) de l'effet de $C$ (décalage)
Trouver où commence et où finit une période d'une courbe décalée
Écrire le cosinus comme un sinus décalé et inversement

Prérequis

• Tracer la fonction sinus $y = \sin(x)$ (leçon Tracer la fonction sinus)
• Tracer la fonction cosinus $y = \cos(x)$ (leçon Tracer la fonction cosinus)
• Amplitude et période, y compris la période $\frac{2\pi}{|B|}$ (leçon Amplitude et période)
• Les radians et les fractions de $\pi$
• Mettre un nombre en facteur dans une expression

Amorces de discussion

1. Pourquoi $\sin(x - 1)$ se décale-t-elle vers la droite alors qu'il y a un signe moins ?
2. Si deux amis commencent le même tour de course à des moments différents, en quoi est-ce comme un déphasage ?
3. $\sin(2x - \pi)$ est-elle décalée de $\pi$ ou de $\frac{\pi}{2}$ ? Comment convaincre quelqu'un qui n'est pas d'accord ?
4. Combien de décalages différents transforment un sinus en cosinus ? Pourquoi y en a-t-il autant ?

Idées reçues courantes

Le signe indique directement le sens : moins veut dire gauche

Remédiation: Fais un tableau de valeurs pour $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ : la valeur $1$ que $\sin(x)$ atteint en $\frac{\pi}{2}$ n'apparaît qu'en $x = \pi$ . La courbe arrive plus tard, donc elle s'est déplacée vers la droite.

Le décalage de $\sin(Bx - c)$ est $c$

Remédiation: Trace $\sin(2x - \pi)$ et $\sin(2(x - \pi))$ ensemble. Elles sont différentes, et seule la forme factorisée montre le vrai décalage $\frac{\pi}{2}$ .

Le sinus et le cosinus sont des fonctions totalement différentes

Remédiation: Utilise l'activité de la cible : les élèves déplacent un sinus jusqu'à recouvrir un cosinus et découvrent $C = -\frac{\pi}{2}$ .

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer uniquement avec $B = 1$ et des décalages comme $\frac{\pi}{2}$ et $\pi$
• Suivre un seul point particulier (le début de la période) au lieu de toute la courbe
• Dire la règle à voix haute : moins veut dire droite, plus veut dire gauche

Pour les élèves au niveau:

• Factoriser $Bx - c$ et trouver le décalage $\frac{c}{B}$
• Trouver le début et la fin d'une période pour des courbes décalées
• Associer des équations à des courbes décalées

Pour les élèves avancés:

• Trouver tous les décalages entre $-2\pi$ et $2\pi$ qui transforment $\sin(x)$ en $\cos(x)$
• Modéliser l'heure de la pleine mer ou le jour le plus chaud avec un déphasage
• Expliquer pourquoi $\sin(x - \pi) = -\sin(x)$ et comment la réduction de bruit l'utilise

Alignement aux standards

HSF-BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Identifier l'effet sur la courbe du remplacement de f(x) par f(x + k), k f(x), f(kx) et f(x) + k pour des valeurs données de k
HSF-TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)
Choisir des fonctions trigonométriques pour modéliser des phénomènes périodiques d'amplitude, de fréquence et de ligne médiane données
HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)
Tracer des fonctions trigonométriques en montrant la période, la ligne médiane et l'amplitude

Ressources de la leçon

visualComparer sin(x) et sin(x - C)
Déplace le curseur C et regarde la deuxième courbe glisser vers la gauche ou la droite tout en gardant sa forme
gameAtteindre la cible
Règle B et C jusqu'à ce que la courbe recouvre une cible en pointillés, dont un cosinus atteint par un sinus décalé
visualLe piège c/B
Change c et B dans sin(Bx - c) et lis le vrai décalage c/B
worksheetExercices sur le déphasage
Des équations à lire, factoriser et esquisser, avec le début et la fin d'une période

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un déphasage (ou translation horizontale) décale une courbe de sinus ou de cosinus vers la gauche ou vers la droite sans changer sa forme. Dans la forme

y = \sin(B(x - C)) \quad \text{ou} \quad y = \cos(B(x - C))

le **déphasage est

C

** :

$C > 0$ : la courbe se déplace de $C$ unités vers la droite
$C < 0$ : la courbe se déplace de $|C|$ unités vers la gauche

Pourquoi un signe moins veut-il dire droite ? Le sinus ordinaire commence une période là où son argument vaut

0

. Dans

\sin(x - C)

, l'argument est

x - C

, qui vaut

0

x = C

. Chaque point de la courbe arrive donc

C

unités plus tard, c'est-à-dire plus à droite. Par exemple,

y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)

est

y = \sin(x)

décalée de

\frac{\pi}{3}

vers la droite, et

y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)

est décalée de

\frac{\pi}{4}

vers la gauche.

Attention : factorise d'abord $B$

Quand l'équation s'écrit

y = \sin(Bx - c)

, le décalage n'est pas

c

. Factorise

B

\sin(Bx - c) = \sin\left(B\left(x - \frac{c}{B}\right)\right) \quad \Rightarrow \quad \text{déphasage} = \frac{c}{B}

Exemple :

\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)

est décalée de

\frac{\pi}{4}

vers la droite, pas de

\frac{\pi}{2}

Décalage et période sont deux choses différentes

	Ce que cela change	Formule
$B$	la largeur d'une période	période $= \frac{2\pi}{	B	}$
$C$	l'endroit où la période commence	décalage $= C$

Une période de

y = \sin(B(x - C))

commence en

x = C

et se termine en

x = C + \frac{2\pi}{B}

. Un décalage d'une période entière redonne la même courbe :

\sin(x - 2\pi) = \sin(x)

Le sinus et le cosinus sont des décalages l'un de l'autre

\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \qquad \sin(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)

Le cosinus est un sinus décalé de

\frac{\pi}{2}

vers la gauche. Dans la forme complète

y = A\sin(B(x - C)) + D

, tu connais

A

B

grâce à la leçon sur l'amplitude et la période,

C

est l'objet de cette leçon, et

D

(la translation verticale) vient ensuite.

Exemples résolus

Décris la courbe de

y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)

par rapport à

y = \sin(x)

. Où commence la première période et où est son maximum ?

Compare avec $y = \sin(B(x - C))$

x - \frac{\pi}{4}

a déjà la forme

1 \cdot (x - C)

→

B = 1

C = \frac{\pi}{4}

Lis le sens

C

est positif → Décalage de

\frac{\pi}{4}

vers la droite

Trouve le début de la période

L'argument vaut

0

quand

x - \frac{\pi}{4} = 0

→ La période commence en

x = \frac{\pi}{4}

Déplace le maximum

\sin(x)

a son maximum en

\frac{\pi}{2}

, donc ajoute

\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}

→ Maximum en

x = \frac{3\pi}{4}

Réponse: La courbe est celle de $y = \sin(x)$ décalée de $\frac{\pi}{4}$ vers la droite. La première période commence en $x = \frac{\pi}{4}$ et son maximum $1$ est en $x = \frac{3\pi}{4}$ .

Erreurs courantes

Lire $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ comme un décalage vers la gauche

Pourquoi c'est faux: Le signe moins semble indiquer la gauche, comme sur une droite graduée. Mais la courbe atteint chaque valeur plus tard, quand $x - \frac{\pi}{3}$ vaut l'ancienne valeur de $x$ .

Correct: Un moins dans la parenthèse veut dire droite : $\sin(x - C)$ se décale de $C$ vers la droite, $\sin(x + C)$ de $C$ vers la gauche.

Dire que le décalage de $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$ est $\frac{\pi}{2}$

Pourquoi c'est faux: Le nombre $\frac{\pi}{2}$ est soustrait à $2x$ , pas à $x$ . Or le décalage concerne $x$ seul.

Correct: Factorise $B$ : $\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$ . Le décalage est $\frac{c}{B} = \frac{\pi}{4}$ vers la droite.

Penser qu'un déphasage change la période ou la hauteur

Pourquoi c'est faux: Déplacer une courbe sur le côté ne l'étire pas. Seul $B$ change la période et seul $A$ change l'amplitude.

Correct: Après un déphasage, la courbe a la même forme, la même période et la même amplitude. Seul l'endroit où chaque période commence change.

Penser que $y = \sin(x - 2\pi)$ est une courbe différente de $y = \sin(x)$

Pourquoi c'est faux: Le sinus se répète tous les $2\pi$ : un décalage d'une période entière pose chaque onde exactement sur la suivante.

Correct: Des décalages qui diffèrent d'une période entière donnent la même courbe : $\sin(x - 2\pi) = \sin(x)$ et $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)$ .

Pourquoi c'est important

Un déphasage te dit quand un phénomène qui se répète a lieu, pas seulement sa taille ou sa vitesse :

Marées : deux ports ont des marées de même période, mais la pleine mer arrive à des heures différentes. La différence est un déphasage.
Électricité : les trois fils d'une ligne triphasée portent la même tension sinusoïdale, décalée à chaque fois d'un tiers de période.
Casques à réduction de bruit : ils rejouent le bruit décalé d'une demi-période, et les deux ondes s'annulent.
Saisons : le jour le plus chaud de l'année arrive environ un mois après le jour le plus long. La courbe des températures est la courbe de durée du jour avec un déphasage.
Musique et son : deux haut-parleurs qui jouent le même son en décalage de phase peuvent affaiblir le son à certains endroits.

Lire correctement le déphasage (sens et valeur) permet de prévoir le prochain maximum.

Applications dans le monde réel

Prévoir la pleine mer

Les capitaineries modélisent la hauteur d'eau par un sinus décalé. Le déphasage leur indique quand l'eau passe par le niveau moyen, et à partir de là elles trouvent la pleine mer.

Exemple:

Si la hauteur d'eau est $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 2)\right)$ mètres au-dessus du niveau moyen, avec $t$ en heures après minuit, l'eau monte en passant par le niveau moyen en $t = 2$ , à 2 h.

1Essaie par toi-même

La hauteur d'eau dans un port est $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 2)\right)$ mètres au-dessus du niveau moyen, où $t$ est le temps en heures après minuit.

À quel moment $t$ (en heures après minuit) a lieu la première pleine mer ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Début de la période plus un quart de période :

Courant alternatif

En Europe, le réseau électrique fonctionne à 50 Hz. Deux tensions de même fréquence peuvent être décalées, et les ingénieurs mesurent cet écart comme un déphasage en secondes.

Exemple:

La tension $V_1 = \sin(100\pi t)$ a une période de $\frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50}$ seconde. Une deuxième tension $V_2 = \sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ atteint chaque maximum un peu plus tard.

2Essaie par toi-même

Deux tensions sont $V_1 = \sin(100\pi t)$ et $V_2 = \sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ , avec $t$ en secondes.

De combien de secondes $V_2$ est-elle décalée vers la droite par rapport à $V_1$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Divise $c$ par $B$ :

Casques à réduction de bruit

Un micro capte le bruit, et le casque joue la même onde décalée d'une demi-période. Quand le bruit monte, la copie descend, et les deux s'annulent.

Exemple:

Pour le bruit $y = \sin(x)$ , la copie est $y = \sin(x - \pi)$ , qui vaut $-\sin(x)$ . Leur somme est nulle partout.

3Essaie par toi-même

Un bruit est modélisé par $y = \sin(2x)$ . Le casque joue $y = \sin(2(x - C))$ .

Quel décalage $C$ , entre $0$ et une période, rend la copie exactement opposée au bruit ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

La moitié de la période :

Points clés

1Dans $y = \sin(B(x - C))$ et $y = \cos(B(x - C))$ , le déphasage est $C$
2Un moins dans la parenthèse veut dire droite, un plus veut dire gauche : $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ se décale de $\frac{\pi}{4}$ vers la gauche
3Pour $\sin(Bx - c)$ , factorise d'abord $B$ : le décalage est $\frac{c}{B}$ , pas $c$
4La période $\frac{2\pi}{|B|}$ et l'amplitude ne changent pas quand la courbe est décalée
5Une période commence en $x = C$ et finit en $x = C + \frac{2\pi}{B}$ ; un décalage d'une période entière donne la même courbe
6Le cosinus est un sinus décalé : $\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Questions fréquentes

Pourquoi parle-t-on de déphasage ?

La phase est la position à l'intérieur d'une période (début, sommet, zéro, creux). Un déphasage déplace chaque point de la période de la même quantité, donc toute l'onde commence plus tôt ou plus tard.

Le déphasage de $\sin(2x - \pi)$ vaut-il $\pi$ ou $\frac{\pi}{2}$ ?

Il vaut

\frac{\pi}{2}

vers la droite. Factorise

2

\sin(2x - \pi) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)

. Certains livres appellent

\pi

la phase à l'origine, mais la courbe se déplace de

\frac{\pi}{2}

sur l'axe des

x

Une courbe peut-elle avoir plusieurs déphasages corrects ?

Oui. Ajouter ou retrancher une période entière donne la même courbe, donc

\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)

\sin\left(x + \frac{5\pi}{3}\right)

sont identiques. En général, on donne le décalage le plus petit en valeur absolue.

L'ordre entre étirer et décaler a-t-il de l'importance ?

Oui.

\sin(2(x - 1))

\sin(2x - 1)

sont différentes : la première est décalée de

1

vers la droite, la seconde seulement de

\frac{1}{2}

. Écrire la fonction sous la forme

\sin(B(x - C))

évite la confusion.

Glossaire

Déphasage: La translation horizontale d'une courbe de sinus ou de cosinus ; vaut $C$ dans $y = \sin(B(x - C))$
Translation horizontale: Déplacer toute une courbe vers la gauche ou la droite sans changer sa forme
Phase: La position à l'intérieur d'une période d'une onde, comme le début, le sommet ou le creux
Période: La longueur d'un cycle complet ; vaut $\frac{2\pi}{|B|}$
Forme factorisée: Écrire l'argument de la fonction sous la forme $B(x - C)$ pour lire directement le décalage $C$

Carte des formules

Sinus et cosinus décalés

y = \sin(B(x - C))

y = \cos(B(x - C))

Déphasage $C$ : vers la droite si $C > 0$, vers la gauche si $C < 0$

Décalage à partir de la forme développée

\sin(Bx - c) = \sin\left(B\left(x - \frac{c}{B}\right)\right)

Le déphasage est $\frac{c}{B}$

Une période

C \le x \le C + \frac{2\pi}{B}

Où commence et où finit une période complète de la courbe décalée

Sinus et cosinus

\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)

Le cosinus est le sinus décalé de $\frac{\pi}{2}$ vers la gauche

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Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

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Contenu de la leçon

Définition

Attention : factorise d'abord BBB

Décalage et période sont deux choses différentes

Le sinus et le cosinus sont des décalages l'un de l'autre

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Prévoir la pleine mer

Courant alternatif

Casques à réduction de bruit

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Sinus et cosinus décalés

Décalage à partir de la forme développée

Une période

Sinus et cosinus

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