Translation verticale

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle est la ligne médiane de $y = 4\sin(x) - 3$ ?
1. a) $y = 4$
2. b) $y = -3$
3. c) $y = 0$
4. d) $y = 3$
Réponse: $y = -3$
Dans $y = 4\sin(x) - 3$ , on a $D = -3$ , donc la ligne médiane est $y = -3$ . Le 4 est l'amplitude, pas la translation.
2.
Quelle équation translate $y = \cos(x)$ de 5 unités vers le haut ?
1. a) $y = \cos(x) + 5$
2. b) $y = 5\cos(x)$
3. c) $y = \cos(x + 5)$
4. d) $y = \cos(x) - 5$
Réponse: $y = \cos(x) + 5$
Ajouter 5 à l'extérieur du cosinus augmente chaque valeur de 5 : $y = \cos(x) + 5$ . $\cos(x + 5)$ décale sur le côté, $5\cos(x)$ change l'amplitude et $\cos(x) - 5$ descend.
3.
Quelle est la valeur maximale de $y = 2\sin(x) + 5$ ?
Réponse: 7
$D = 5$ et $|A| = 2$ , donc le maximum vaut $5 + 2 = 7$ .
4.
La ligne médiane de $y = \cos(x) - 6$ est $y = \square$ . Quel nombre va dans la case ?
Réponse: -6
$y = \cos(x) - 6 = \cos(x) + (-6)$ , donc $D = -6$ et la ligne médiane est $y = -6$ .
5.
Quel est l'ensemble image de $y = 2\cos(x) + 3$ ?
1. a) $[3, 5]$
2. b) $[-1, 5]$
3. c) $[-2, 2]$
4. d) $[1, 5]$
Réponse: $[1, 5]$
$D = 3$ et $|A| = 2$ : minimum $3 - 2 = 1$ , maximum $3 + 2 = 5$ , donc l'ensemble image est $[1, 5]$ .
6.
Pour $y = 3\cos(x) + 1$ , trouve la valeur de la ligne médiane, l'amplitude, le maximum et le minimum.
Réponse: D = 1, |A| = 3, max = 4, min = -2
1. Que vaut D (la ligne médiane est $y = D$ ) ? 1
2. Quelle est l'amplitude $|A|$ ? 3
3. Que vaut le maximum $D + |A|$ ? 4
4. Que vaut le minimum $D - |A|$ ? -2
7.
La courbe de $y = \sin(x)$ est translatée de 3 unités vers le bas. Trouve la nouvelle ligne médiane, le nouveau maximum et le nouveau minimum.
Réponse: D = -3, max = -2, min = -4
1. La nouvelle fonction est $y = \sin(x) + D$ . Que vaut D ? -3
2. Quel est le nouveau maximum ? -2
3. Quel est le nouveau minimum ? -4
8.
Quelle est la valeur minimale de $y = -4\cos(x) + 1$ ?
Réponse: -3
$|A| = |-4| = 4$ et $D = 1$ , donc le minimum vaut $1 - 4 = -3$ . Il est atteint en $x = 0$ : $-4\cos(0) + 1 = -3$ .
9.
Quelle est la valeur maximale de $y = -3\sin(x) + 1$ ?
1. a) $-4$
2. b) $1$
3. c) $4$
4. d) $-2$
Réponse: $4$
$|A| = 3$ et $D = 1$ , donc le maximum vaut $1 + 3 = 4$ . Il est atteint en $x = \frac{3\pi}{2}$ : $-3\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 1 = -3 \cdot (-1) + 1 = 4$ .
10.
Une sinusoïde a pour maximum $8$ et pour minimum $-2$ . Trouve D et l'amplitude $|A|$ .
Réponse: D = 3, |A| = 5
1. Combien vaut maximum + minimum ? 6
2. Que vaut $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ ? 3
3. Combien vaut maximum - minimum ? 10
4. Que vaut $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ ? 5
11.
Une onde oscille entre un maximum de $10$ et un minimum de $2$ . Sa ligne médiane est $y = \square$ . Quel nombre va dans la case ?
Réponse: 6
$D = \frac{10 + 2}{2} = 6$ , donc la ligne médiane est $y = 6$ .
12.
Trouve l'ensemble image de $y = -2\sin(x) - 1$ .
Réponse: [-3, 1]
1. Que vaut D ? -1
2. Quelle est l'amplitude $|A|$ ? 2
3. Quel est le maximum ? 1
4. Quel est le minimum ? -3
13.
La température d'une ville est modélisée par $T(t) = 5\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 15$ en °C. Trouve la température moyenne, la température la plus haute et la plus basse, et l'écart entre elles.
Réponse: 15, 20, 10, 10
1. Quelle est la température moyenne (la valeur de la ligne médiane D) ? 15
2. Quelle est la température la plus haute ? 20
3. Quelle est la température la plus basse ? 10
4. Combien de degrés séparent la température la plus haute et la plus basse ? 10
14.
Une onde a pour maximum $7$ et pour minimum $-1$ . Quelle équation peut la décrire ?
1. a) $y = 4\sin(x) - 3$
2. b) $y = 8\sin(x) + 3$
3. c) $y = 4\sin(x) + 3$
4. d) $y = 3\sin(x) + 4$
Réponse: $y = 4\sin(x) + 3$
$D = \frac{7 + (-1)}{2} = 3$ et $|A| = \frac{7 - (-1)}{2} = 4$ , donc $y = 4\sin(x) + 3$ . Les autres ont pour ensembles images $[1, 7]$ , $[-5, 11]$ et $[-7, 1]$ .
15.
Une sinusoïde a pour ligne médiane $y = -2$ et pour maximum $3$ . Quel est son minimum ?
Réponse: -7
$|A| = 3 - (-2) = 5$ , donc le minimum vaut $-2 - 5 = -7$ .
16.
Une grande roue a un diamètre de 30 m et son centre est à 18 m au-dessus du sol. Une nacelle part du bas et un tour dure 12 minutes, donc $h(t) = -15\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 18$ . Analyse le modèle.
Réponse: |A| = 15, D = 18, max = 33, min = 3, h(6) = 33
1. Quelle est l'amplitude $|A|$ , en mètres ? 15
2. Que vaut D, en mètres ? 18
3. Quelle est la plus grande hauteur, en mètres ? 33
4. Quelle est la plus petite hauteur, en mètres ? 3
5. Quelle est la hauteur après 6 minutes, $h(6)$ , en mètres ? 33
17.
Dans un port, la marée haute est à 9{,}4 m et la marée basse à 1{,}6 m. Trouve la ligne médiane D et l'amplitude $|A|$ d'un modèle de marée.
Réponse: D = 5.5, |A| = 3.9
1. Combien vaut marée haute + marée basse, en mètres ? 11
2. Que vaut la ligne médiane $D$ ? 5.5
3. Combien vaut marée haute - marée basse, en mètres ? 7.8
4. Quelle est l'amplitude $|A|$ ? 3.9
18.
La fonction $y = A\sin(x) + D$ avec $A > 0$ a pour ensemble image $[-6, 2]$ . Trouve $D$ et $A$ , puis la valeur de $y$ en $x = \frac{7\pi}{6}$ .
Réponse: y = 4sin(x) - 2, y = -4
1. Que vaut $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ ? -2
2. Que vaut $A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ ? 4
3. Que vaut $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)$ ? -0.5
4. Que vaut $y = 4\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) - 2$ ? -4