Guide de l'enseignant: Translation verticale

Apprends comment la constante D dans y = A sin(x) + D déplace une courbe sinus ou cosinus vers le haut ou vers le bas, fixe sa ligne médiane et décide de son maximum, son minimum et son ensemble image.

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Quiz de classe

10 questions sur Graphiques trigonométriques. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Décrire comment la constante D dans $y = A\sin(x) + D$ et $y = A\cos(x) + D$ déplace la courbe
Identifier la ligne médiane $y = D$ à partir d'une équation ou d'une courbe
Trouver le maximum, le minimum et l'ensemble image d'une fonction sinus ou cosinus translatée
Calculer D et |A| à partir d'un maximum et d'un minimum donnés
Construire des modèles sinusoïdaux simples pour les marées, les grandes roues et la température de la journée

Prérequis

• Tracer $y = \sin(x)$ (leçon Tracer la fonction sinus)
• Tracer $y = \cos(x)$ (leçon Tracer la fonction cosinus)
• Amplitude $|A|$ et période $\frac{2\pi}{|B|}$ (leçon Amplitude et période)
• Valeur absolue et notation des intervalles

Amorces de discussion

1. Pourquoi la ligne médiane de la fonction hauteur d'une grande roue est-elle la hauteur de son centre ?
2. Si tu connais seulement la température la plus haute et la plus basse d'une journée, que sais-tu du modèle, et que manque-t-il encore ?
3. Qu'est-ce qui change le plus l'ensemble image : doubler A ou ajouter 2 à D ? Explique avec un exemple.
4. Deux équations différentes de la forme $y = A\sin(x) + D$ peuvent-elles avoir le même ensemble image ? Qu'ont-elles en commun ?

Idées reçues courantes

L'amplitude est la valeur maximale (dans $y = 2\sin(x) + 5$ , l'amplitude serait 7)

Remédiation: Tracer d'abord la ligne médiane, puis mesurer l'amplitude à partir d'elle avec une règle. Comparer $y = 2\sin(x)$ et $y = 2\sin(x) + 5$ : même hauteur d'onde, position différente.

Un A négatif donne un maximum égal à $D + A$

Remédiation: Tracer $y = -3\sin(x) + 1$ à côté de $y = 3\sin(x) + 1$ et faire lire les deux maximums sur le dessin. Ils sont égaux, donc la formule doit utiliser $|A|$ .

$\sin(x + 2)$ et $\sin(x) + 2$ sont la même translation

Remédiation: Faire un tableau de valeurs des deux pour $x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$ . Seule $\sin(x) + 2$ ajoute 2 à chaque valeur ; l'autre décale la courbe sur le côté.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer avec $A = 1$ et ne changer que D, en mode courbe cible pour voir toute la courbe glisser
• Toujours tracer la ligne médiane en pointillés avant de marquer le maximum et le minimum
• Utiliser un tableau à deux lignes : ligne médiane, puis ligne médiane plus et moins l'amplitude

Pour les élèves au niveau:

• Trouver A et D à partir du maximum et du minimum, puis vérifier sur la courbe
• Modéliser une grande roue de diamètre et de hauteur de plateforme donnés
• Écrire l'ensemble image de fonctions translatées sous forme d'intervalle

Pour les élèves avancés:

• Construire un modèle complet $y = A\sin(Bt) + D$ à partir d'un vrai annuaire des marées, période comprise
• Trouver toutes les valeurs de D pour lesquelles $y = 3\sin(x) + D$ ne touche jamais l'axe des abscisses
• Comparer un modèle sinus et un modèle cosinus pour la même grande roue

Alignement aux standards

HSF.TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)
Choisir des fonctions trigonométriques pour modéliser des phénomènes périodiques d'amplitude, de fréquence et de ligne médiane données
HSF.BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Identifier l'effet sur la courbe du remplacement de f(x) par f(x) + k pour des valeurs particulières de k
HSF.IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)
Tracer des fonctions trigonométriques en montrant la période, la ligne médiane et l'amplitude

Ressources de la leçon

visualAtteins la courbe cible
Les élèves déplacent les curseurs A et D jusqu'à ce que leur sinusoïde recouvre une courbe cible en pointillés
activityEnquête sur l'annuaire des marées
Les élèves lisent pleine mer et basse mer dans un vrai annuaire des marées et construisent un modèle avec A et D
worksheetLigne médiane, maximum, minimum
Douze équations : trouver la ligne médiane, les extremums et l'ensemble image, puis esquisser la courbe

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Quand tu ajoutes une constante

D

à une fonction sinus ou cosinus, toute la courbe se déplace vers le haut ou vers le bas. C'est une translation verticale :

y = A\sin(x) + D \qquad y = A\cos(x) + D

Si $D > 0$ , la courbe monte de $D$ unités vers le haut.
Si $D < 0$ , la courbe descend de $|D|$ unités vers le bas.
La forme, l'amplitude et la période ne changent pas.

La ligne médiane

La ligne médiane (aussi appelée droite d'équilibre) est la droite horizontale autour de laquelle la courbe oscille. Pour

y = \sin(x)

, c'est l'axe des abscisses (

y = 0

). Après la translation, c'est

\text{ligne médiane : } y = D

Maximum, minimum et ensemble image

La courbe monte de

|A|

unités au-dessus de la ligne médiane et descend de

|A|

unités en dessous :

Élément	Formule
Ligne médiane	$y = D$
Maximum	$D +	A
Minimum	$D -	A
Ensemble image	$[D -	A	,\ D +	A	]$

Dans l'autre sens : A et D à partir des données

Si tu connais la plus grande et la plus petite valeur, la ligne médiane se trouve exactement au milieu, et l'amplitude vaut la moitié de l'écart :

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2} \qquad |A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

Dans la forme générale

y = A\sin(B(x - C)) + D

, la translation verticale est toujours la dernière lettre,

D

. Dans cette leçon,

B = 1

C = 0

, sauf si une situation réelle demande une autre période.

Exemples résolus

Pour

y = 3\sin(x) + 2

, trouve la ligne médiane, le maximum, le minimum et l'ensemble image.

Identifier A et D

Compare avec

y = A\sin(x) + D

→

A = 3

D = 2

Écrire la ligne médiane

La ligne médiane est

y = D

→

y = 2

Calculer le maximum et le minimum

D + |A| = 2 + 3

D - |A| = 2 - 3

→ Maximum

5

, minimum

-1

Écrire l'ensemble image

Toutes les valeurs de y du minimum au maximum →

[-1, 5]

Réponse: Ligne médiane $y = 2$ , maximum $5$ , minimum $-1$ , ensemble image $[-1, 5]$ .

Erreurs courantes

Écrire que le maximum de $y = -3\sin(x) + 1$ vaut $1 + (-3) = -2$

Pourquoi c'est faux: La courbe monte et descend de l'amplitude autour de la ligne médiane, et l'amplitude est toujours positive. Le signe de $A$ ne fait que retourner la courbe.

Correct: Maximum $= D + |A| = 1 + 3 = 4$ , minimum $= D - |A| = 1 - 3 = -2$ .

Lire $y = \sin(x) - 2$ comme une translation de 2 vers le haut

Pourquoi c'est faux: Dans $y = A\sin(x) + D$ , la translation est $D$ avec son signe. Ici $D = -2$ .

Correct: $y = \sin(x) - 2$ déplace la courbe de 2 unités vers le bas, la ligne médiane est $y = -2$ .

Prendre le maximum pour l'amplitude : dans $y = 2\sin(x) + 5$ , l'amplitude serait 7

Pourquoi c'est faux: L'amplitude se mesure à partir de la ligne médiane, pas à partir de l'axe des abscisses. La translation élève la courbe mais ne la rend pas plus haute.

Correct: L'amplitude est $|A| = 2$ . Le maximum est $5 + 2 = 7$ .

Oublier de diviser par 2 : amplitude $= \text{max} - \text{min}$

Pourquoi c'est faux: $\text{max} - \text{min}$ est la hauteur totale du point le plus bas au point le plus haut, soit deux amplitudes.

Correct: $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ et $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ . Pour un maximum de 9 et un minimum de 3 : $|A| = 3$ , $D = 6$ .

Pourquoi c'est important

La plupart des oscillations réelles ne se font pas autour de zéro. Elles se font autour d'un niveau typique, et ce niveau est la translation verticale :

Marées : l'eau d'un port monte et descend autour d'une profondeur moyenne, par exemple entre 1 m et 5 m autour d'une ligne médiane de 3 m.
Grandes roues : une nacelle monte et descend autour de la hauteur du centre de la roue, sans jamais passer sous la plateforme d'embarquement.
Température de la journée : la température oscille autour de la moyenne du jour, par exemple entre 12°C et 24°C autour de 18°C.
Tension artérielle et battements du cœur : la pression oscille entre environ 80 et 120 autour d'une ligne médiane de 100.
Durée du jour : la durée du jour varie au cours de l'année autour d'environ 12 heures.

Avec la formule

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

, tu transformes deux mesures en un modèle utilisable, et l'ensemble image te dit d'un coup d'œil si le modèle est cohérent.

Applications dans le monde réel

Grandes roues

La hauteur d'une nacelle de grande roue monte et descend comme une courbe cosinus. La ligne médiane est la hauteur du centre de la roue.

Exemple:

Une roue de 40 m de diamètre dont la nacelle la plus basse est à 2 m du sol se modélise par $h(t) = -20\cos\left(\frac{\pi}{10}t\right) + 22$ (t en minutes) : amplitude 20, ligne médiane 22, ensemble image $[2, 42]$ .

1Essaie par toi-même

Une grande roue a un diamètre de 40 m. Son point le plus bas est à 2 m au-dessus du sol.

À quelle hauteur se trouve la ligne médiane de la fonction hauteur (le centre de la roue), en mètres ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Fais la moyenne de la plus grande et de la plus petite hauteur :

Marées

Les capitaineries et les marins modélisent le niveau de l'eau par une courbe sinus ou cosinus dont la ligne médiane est le niveau moyen.

Exemple:

Si la marée haute est à 5{,}2 m et la marée basse à 0{,}8 m, le niveau moyen est $\frac{5{,}2 + 0{,}8}{2} = 3$ m, donc le modèle a $D = 3$ .

2Essaie par toi-même

Dans un port, la marée haute est à 5{,}2 m et la marée basse à 0{,}8 m.

Quelle est l'amplitude du modèle de marée, en mètres ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Prends la moitié de l'écart entre marée haute et marée basse :

La température au cours d'une journée

Les météorologues modélisent la température sur 24 heures par une courbe cosinus autour de la température moyenne du jour.

Exemple:

Le modèle $T(t) = -6\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 18$ , avec t en heures après 3 h, est au plus froid à 3 h et au plus chaud 12 heures plus tard.

3Essaie par toi-même

La température d'une ville est modélisée par $T(t) = -6\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 18$ en °C.

Quelle est la température la plus élevée de la journée, en °C ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Ajoute l'amplitude à la ligne médiane :

Points clés

1Dans $y = A\sin(x) + D$ et $y = A\cos(x) + D$ , la constante $D$ déplace la courbe vers le haut ( $D > 0$ ) ou vers le bas ( $D < 0$ )
2La ligne médiane est la droite horizontale $y = D$ , à mi-chemin entre le maximum et le minimum
3Maximum $= D + |A|$ et minimum $= D - |A|$ , toujours avec la valeur absolue de $A$
4L'ensemble image est $[D - |A|,\ D + |A|]$
5À partir de données : $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ et $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
6Une translation verticale ne change ni l'amplitude ni la période, seulement la position de toute la courbe

Questions fréquentes

La translation verticale change-t-elle la période ou l'amplitude ?

Non.

D

déplace chaque point de la courbe de la même quantité vers le haut ou vers le bas, donc la courbe garde sa hauteur et sa largeur. Seuls la ligne médiane, le maximum, le minimum et l'ensemble image changent.

La translation verticale est-elle la même chose que la ligne médiane ?

Elles viennent du même nombre. La translation est le déplacement (par exemple 3 unités vers le haut), et la ligne médiane est la droite où se retrouve le milieu de la courbe (

y = 3

Pourquoi $\sin(x) + 2$ monte-t-elle, mais pas $\sin(x + 2)$ ?

Un nombre ajouté à l'extérieur de la fonction change la valeur de sortie, donc la courbe se déplace verticalement. Un nombre ajouté à l'intérieur, à

x

, change l'entrée, donc la courbe se déplace sur le côté. Ce déplacement latéral est le déphasage, qui fait l'objet de la leçon Déphasage.

Une sinusoïde translatée peut-elle rester entièrement au-dessus de l'axe des abscisses ?

Oui, quand

D > |A|

. Le minimum

D - |A|

est alors positif. Par exemple,

y = 2\sin(x) + 5

ne descend jamais sous

3

. Les hauteurs de grande roue et les profondeurs de marée se comportent ainsi.

Glossaire

Translation verticale: Déplacement de toute la courbe vers le haut ou vers le bas en ajoutant une constante $D$ à la fonction
Ligne médiane: La droite horizontale $y = D$ à mi-chemin entre la valeur maximale et la valeur minimale d'une oscillation (aussi appelée droite d'équilibre)
Maximum: La plus grande valeur de y de la courbe, $D + |A|$
Minimum: La plus petite valeur de y de la courbe, $D - |A|$
Ensemble image: Toutes les valeurs de y prises par la fonction : $[D - |A|,\ D + |A|]$ pour un sinus ou un cosinus translaté
Modèle sinusoïdal: Une fonction sinus ou cosinus qui décrit une situation réelle répétitive, comme les marées ou la température

Carte des formules

Sinus et cosinus translatés

y = A\sin(x) + D

y = A\cos(x) + D

D déplace la courbe vers le haut (D > 0) ou vers le bas (D < 0)

Ligne médiane

y = D

La droite autour de laquelle la courbe oscille

Maximum et minimum

D + |A|

D - |A|

Plus grande et plus petite valeur de la courbe

Ensemble image

[D - |A|,\ D + |A|]

Toutes les valeurs prises

À partir de données

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

Ligne médiane et amplitude à partir de la plus grande et de la plus petite valeur

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Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

Pour les élèves avancés:

Contenu de la leçon

Définition

La ligne médiane

Maximum, minimum et ensemble image

Dans l'autre sens : A et D à partir des données

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Grandes roues

Marées

La température au cours d'une journée

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Sinus et cosinus translatés

Ligne médiane

Maximum et minimum

Ensemble image

À partir de données

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