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Mathorio

Corrigé

Formules d'addition et de soustraction

Écris ta démarche pour chaque exercice.

  1. 1.
    Quelle expression est égale à sin⁡(A+B)\sin(A + B) ?
    1. a)sin⁡Asin⁡B+cos⁡Acos⁡B\sin A \sin B + \cos A \cos B
    2. b)cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B\cos A \cos B - \sin A \sin B
    3. c)sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin A \cos B + \cos A \sin B
    4. d)sin⁡A+sin⁡B\sin A + \sin B

    Réponse: sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin A \cos B + \cos A \sin B

    sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B. L'option sin⁡A+sin⁡B\sin A + \sin B est l'erreur classique, et cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B\cos A \cos B - \sin A \sin B est cos⁡(A+B)\cos(A + B).

  2. 2.
    Simplifie sans calculatrice : sin⁡70∘cos⁡20∘+cos⁡70∘sin⁡20∘\sin 70^\circ \cos 20^\circ + \cos 70^\circ \sin 20^\circ

    Réponse: 1

    C'est la formule d'addition du sinus à l'envers : sin⁡(70∘+20∘)=sin⁡90∘=1\sin(70^\circ + 20^\circ) = \sin 90^\circ = 1.

  3. 3.
    Utilise la formule de soustraction du cosinus pour calculer cos⁡(90∘−30∘)\cos(90^\circ - 30^\circ).

    Réponse: 12\frac{1}{2}

    1. Que vaut cos⁡90∘\cos 90^\circ ? 0
    2. Que vaut sin⁡90∘\sin 90^\circ ? 1
    3. Calcule cos⁡90∘cos⁡30∘+sin⁡90∘sin⁡30∘\cos 90^\circ \cos 30^\circ + \sin 90^\circ \sin 30^\circ. 1/2
  4. 4.
    Quelle expression est égale à cos⁡(A−B)\cos(A - B) ?
    1. a)sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B\sin A \cos B - \cos A \sin B
    2. b)cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B\cos A \cos B - \sin A \sin B
    3. c)cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos A \cos B + \sin A \sin B
    4. d)cos⁡A−cos⁡B\cos A - \cos B

    Réponse: cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos A \cos B + \sin A \sin B

    cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B. Avec un signe moins, ce serait cos⁡(A+B)\cos(A + B), et sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B\sin A \cos B - \cos A \sin B est sin⁡(A−B)\sin(A - B).

  5. 5.
    Simplifie sans calculatrice : cos⁡50∘cos⁡10∘−sin⁡50∘sin⁡10∘\cos 50^\circ \cos 10^\circ - \sin 50^\circ \sin 10^\circ

    Réponse: 1/2

    cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B=cos⁡(A+B)\cos A \cos B - \sin A \sin B = \cos(A + B), donc l'expression vaut cos⁡(50∘+10∘)=cos⁡60∘=12\cos(50^\circ + 10^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}.

  6. 6.
    Calcule sin⁡105∘\sin 105^\circ avec 105∘=60∘+45∘105^\circ = 60^\circ + 45^\circ.

    Réponse: 6+24\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

    1. Calcule sin⁡60∘cos⁡45∘=32⋅22\sin 60^\circ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (valeur exacte, comme sqrt(6)/4, ou avec 4 décimales). 0.6124
    2. Calcule cos⁡60∘sin⁡45∘=12⋅22\cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (valeur exacte ou 4 décimales). 0.3536
    3. Additionne les produits exacts 64+24\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} et n'arrondis qu'à la fin (la somme des produits arrondis donne 0,9660). Donne sin⁡105∘\sin 105^\circ arrondi à 4 décimales. 0.9659
  7. 7.
    Quelle est la valeur exacte de sin⁡75∘\sin 75^\circ ?
    1. a)3+14\frac{\sqrt{3} + 1}{4}
    2. b)12+22\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}
    3. c)6−24\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
    4. d)6+24\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

    Réponse: 6+24\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

    sin⁡75∘=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘=64+24=6+24≈0,9659\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659. L'option 12+22\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} vaut sin⁡30∘+sin⁡45∘≈1,21\sin 30^\circ + \sin 45^\circ \approx 1{,}21, plus grand que 1, donc ce n'est pas un sinus.

  8. 8.
    Utilise tan⁡(45∘−30∘)\tan(45^\circ - 30^\circ) avec tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1 et tan⁡30∘=33\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} pour calculer tan⁡15∘\tan 15^\circ. Arrondis à 4 décimales.

    Réponse: 0.2679

    tan⁡15∘=1−331+33=3−33+3=2−3≈0,2679\tan 15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}2679.

  9. 9.
    sin⁡A=513\sin A = \frac{5}{13} avec AA dans le quadrant I, et cos⁡B=−35\cos B = -\frac{3}{5} avec BB dans le quadrant II. Trouve sin⁡(A+B)\sin(A + B).

    Réponse: 3365\frac{33}{65}

    1. Que vaut cos⁡A\cos A ? 12/13
    2. Que vaut sin⁡B\sin B ? 4/5
    3. Calcule sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B sous forme de fraction. 33/65
  10. 10.
    Calcule cos⁡75∘\cos 75^\circ avec 75∘=45∘+30∘75^\circ = 45^\circ + 30^\circ.

    Réponse: 6−24\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

    1. Calcule cos⁡45∘cos⁡30∘=22⋅32\cos 45^\circ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} (valeur exacte ou 4 décimales). 0.6124
    2. Calcule sin⁡45∘sin⁡30∘=22⋅12\sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} (valeur exacte ou 4 décimales). 0.3536
    3. Soustrais le deuxième produit du premier. Donne cos⁡75∘\cos 75^\circ arrondi à 4 décimales. 0.2588
  11. 11.
    Quelle valeur est égale à cos⁡80∘cos⁡20∘+sin⁡80∘sin⁡20∘\cos 80^\circ \cos 20^\circ + \sin 80^\circ \sin 20^\circ ?
    1. a)cos⁡60∘\cos 60^\circ
    2. b)sin⁡100∘\sin 100^\circ
    3. c)cos⁡100∘\cos 100^\circ
    4. d)sin⁡60∘\sin 60^\circ

    Réponse: cos⁡60∘\cos 60^\circ

    cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B=cos⁡(A−B)\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A - B), donc l'expression vaut cos⁡(80∘−20∘)=cos⁡60∘\cos(80^\circ - 20^\circ) = \cos 60^\circ. Choisir cos⁡100∘\cos 100^\circ, c'est garder le signe par erreur.

  12. 12.
    sin⁡A=45\sin A = \frac{4}{5} et cos⁡B=1213\cos B = \frac{12}{13}, avec AA et BB dans le quadrant I. Trouve cos⁡(A+B)\cos(A + B) sous forme de fraction.

    Réponse: 16/65

    cos⁡(A+B)=35⋅1213−45⋅513=3665−2065=1665\cos(A + B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{36}{65} - \frac{20}{65} = \frac{16}{65}.

  13. 13.
    tan⁡A=2\tan A = 2 et tan⁡B=3\tan B = 3, avec AA et BB des angles aigus. Trouve tan⁡(A+B)\tan(A + B) et l'angle A+BA + B.

    Réponse: tan⁡(A+B)=−1\tan(A + B) = -1, A+B=135∘A + B = 135^\circ

    1. Que vaut le numérateur tan⁡A+tan⁡B\tan A + \tan B ? 5
    2. Que vaut le dénominateur 1−tan⁡Atan⁡B1 - \tan A \tan B ? -5
    3. Que vaut tan⁡(A+B)\tan(A + B) ? -1
    4. A+BA + B est entre 0∘0^\circ et 180∘180^\circ. Quel angle de cet intervalle a pour tangente −1-1 ? (en degrés) 135
  14. 14.
    sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} avec AA dans le quadrant I. Utilise cos⁡(A+B)\cos(A + B) avec B=AB = A pour trouver cos⁡2A\cos 2A.

    Réponse: 725\frac{7}{25}

    1. Que vaut cos⁡A\cos A ? 4/5
    2. Que vaut cos⁡Acos⁡A\cos A \cos A ? 16/25
    3. Que vaut sin⁡Asin⁡A\sin A \sin A ? 9/25
    4. Que vaut cos⁡2A=cos⁡Acos⁡A−sin⁡Asin⁡A\cos 2A = \cos A \cos A - \sin A \sin A ? 7/25
  15. 15.
    Quelle est la valeur exacte de cos⁡165∘\cos 165^\circ ? (Indice : 165∘=120∘+45∘165^\circ = 120^\circ + 45^\circ)
    1. a)6−24\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
    2. b)6+24\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
    3. c)2−64\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}
    4. d)−6+24-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

    Réponse: −6+24-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

    cos⁡165∘=cos⁡120∘cos⁡45∘−sin⁡120∘sin⁡45∘=−24−64=−6+24≈−0,9659\cos 165^\circ = \cos 120^\circ \cos 45^\circ - \sin 120^\circ \sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx -0{,}9659. La valeur doit être négative et proche de −1-1, car 165∘165^\circ est proche de 180∘180^\circ.

  16. 16.
    cos⁡A=−35\cos A = -\frac{3}{5} avec AA dans le quadrant II, et sin⁡B=−513\sin B = -\frac{5}{13} avec BB dans le quadrant III. Trouve sin⁡(A−B)\sin(A - B) sous forme de fraction.

    Réponse: -63/65

    sin⁡A=45\sin A = \frac{4}{5} et cos⁡B=−1213\cos B = -\frac{12}{13}. sin⁡(A−B)=45⋅(−1213)−(−35)⋅(−513)=−4865−1565=−6365\sin(A - B) = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) - \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{48}{65} - \frac{15}{65} = -\frac{63}{65}.

  17. 17.
    cos⁡A=−45\cos A = -\frac{4}{5} avec AA dans le quadrant III, et sin⁡B=1213\sin B = \frac{12}{13} avec BB dans le quadrant II. Trouve cos⁡(A+B)\cos(A + B).

    Réponse: 5665\frac{56}{65}

    1. Que vaut sin⁡A\sin A ? -3/5
    2. Que vaut cos⁡B\cos B ? -5/13
    3. Calcule cos⁡(A+B)=cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B sous forme de fraction. 56/65
  18. 18.
    Calcule tan⁡105∘\tan 105^\circ avec 105∘=60∘+45∘105^\circ = 60^\circ + 45^\circ.

    Réponse: −2−3-2 - \sqrt{3}

    1. Que vaut le numérateur tan⁡60∘+tan⁡45∘\tan 60^\circ + \tan 45^\circ ? (valeur exacte, comme sqrt(3)+1, ou 4 décimales) 2.7321
    2. Que vaut le dénominateur 1−tan⁡60∘tan⁡45∘1 - \tan 60^\circ \tan 45^\circ (valeur exacte ou 4 décimales) ? -0.7321
    3. Divise les valeurs exactes 3+11−3\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} et n'arrondis qu'à la fin (avec les valeurs arrondies on obtient -3,7319). Donne tan⁡105∘\tan 105^\circ arrondi à 4 décimales. -3.7321
Leçon interactive avec solutions pas à pas et plus d'exercices (gratuit) : mathorio.com/fr/learn/trigonometry/identities/sum-difference-identities
Défi du jourUn problème, trois essais