Guide de l'enseignant: Formules d'addition et de soustraction

Apprends les formules d'addition et de soustraction du sinus, du cosinus et de la tangente, trouve des valeurs exactes comme sin 75° et combine des angles de quadrants différents.

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Quiz de classe

10 questions sur Identités trigonométriques. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Énoncer les formules d'addition et de soustraction du sinus, du cosinus et de la tangente
Trouver les valeurs exactes d'angles comme 15°, 75°, 105° et 165° à partir des angles remarquables
Calculer sin(A + B), cos(A + B) et tan(A + B) à partir de valeurs données, en tenant compte des signes des quadrants
Reconnaître une expression développée comme sin 70° cos 20° + cos 70° sin 20° et la simplifier
Retrouver les formules de duplication à partir des formules d'addition

Prérequis

• Valeurs exactes de sin, cos et tan pour 30°, 45°, 60° et le cercle trigonométrique
• Identités pythagoriciennes : $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
• Signes des fonctions trigonométriques dans les quatre quadrants
• Angles complémentaires et parité des fonctions trigonométriques
• Simplifier des fractions avec des racines carrées

Amorces de discussion

1. Pourquoi sin 30° + sin 60° ne peut-il être le sinus d'aucun angle ?
2. Pourquoi la formule du cosinus inverse-t-elle le signe alors que celle du sinus le garde ? Teste A = B = 45°.
3. 75° = 45° + 30° et 75° = 120° - 45°. Les deux donnent-ils la même valeur exacte ? Pourquoi ?
4. Comment obtenir les formules de duplication à partir des formules d'addition en une seule étape ?
5. Dans quelles situations réelles deux angles s'additionnent-ils, et où aurais-tu besoin de ces formules ?

Idées reçues courantes

Les fonctions trigonométriques se distribuent sur une somme : $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

Remédiation: Teste avec $A = 30^\circ$ , $B = 60^\circ$ : le membre de gauche vaut 1, celui de droite environ 1,366. Utilise ensuite le graphique avec curseurs : la courbe rouge $\sin x + \sin b$ se sépare de $\sin(x + b)$ pour tout $b$ sauf $0^\circ$ .

Les signes de toutes les formules suivent le signe entre A et B

Remédiation: Fais tester aux élèves $\cos(45^\circ + 45^\circ) = \cos 90^\circ = 0$ avec les deux choix de signe. Seule la version avec moins donne 0. Résumé : le sinus garde, le cosinus inverse, la tangente garde en haut et inverse en bas.

Une valeur obtenue avec $\sqrt{1 - \sin^2 A}$ est toujours positive

Remédiation: Avant de calculer, placer l'angle dans son quadrant sur le cercle trigonométrique et écrire le signe en premier. Comparer la réponse finale à la calculatrice avec l'angle réel.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Donner une fiche de formules et un tableau des valeurs remarquables, commencer par le sinus et le cosinus d'une somme
• Travailler seulement les valeurs exactes (75°, 15°) avant les problèmes de quadrants
• Vérifier chaque résultat exact à la calculatrice pour prendre confiance

Pour les élèves au niveau:

• Trouver toutes les valeurs exactes de 15°, 75°, 105°, 165° pour le sinus, le cosinus et la tangente
• Résoudre des problèmes de quadrants pour sin(A ± B) et cos(A ± B)
• Simplifier des expressions en reconnaissant une formule développée

Pour les élèves avancés:

• Démontrer la formule de cos(A - B) avec la formule de distance sur le cercle trigonométrique
• Établir la formule de triplication sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A à partir de sin(2A + A)
• Écrire a cos t + b sin t comme une seule onde R sin(t + φ) et trouver R et φ

Alignement aux standards

F-TF.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C.9)
Démontrer les formules d'addition et de soustraction du sinus, du cosinus et de la tangente et les utiliser pour résoudre des problèmes
F-TF.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A.3)
Utiliser des triangles particuliers pour déterminer géométriquement le sinus, le cosinus et la tangente de π/3, π/4 et π/6

Ressources de la leçon

visualGraphique de la formule d'addition
Des curseurs pour a et b montrent que sin(a + b) est égal à sin a cos b + cos a sin b, mais pas à sin a + sin b
visualDémonstrations pas à pas
Démontre sin(x + 90°) = cos x, cos(180° - x) = -cos x et tan(x + 45°) règle par règle, avec une vérification numérique
activityChasse aux valeurs exactes
Les groupes construisent 15°, 75°, 105°, 165° de deux façons différentes à partir des angles remarquables et comparent leurs résultats
worksheetCombinaisons de quadrants
Avec sin A et cos B et leurs quadrants, trouver sin(A ± B), cos(A ± B) et le quadrant de A + B

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Les formules d'addition et de soustraction donnent le sinus, le cosinus et la tangente de

A + B

ou de

A - B

à partir des seules valeurs de

A

et de

B

Sinus

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

Cosinus

\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

Tangente

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

Comment retenir les signes :

Le sinus garde le signe : un $+$ dans $A + B$ donne un $+$ dans la formule, et il mélange sinus et cosinus.
Le cosinus inverse le signe : $A + B$ donne un moins, $A - B$ donne un plus, et il associe cosinus avec cosinus, sinus avec sinus.
Tangente : le numérateur garde le signe, le dénominateur l'inverse.

Attention :

\sin(A + B)

n'est pas

\sin A + \sin B

. Par exemple

\sin(30^\circ + 60^\circ) = \sin 90^\circ = 1

, mais

\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366

Avec les angles remarquables

30^\circ

45^\circ

60^\circ

, ces formules donnent des valeurs exactes pour de nouveaux angles comme

15^\circ = 45^\circ - 30^\circ

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

105^\circ = 60^\circ + 45^\circ

165^\circ = 120^\circ + 45^\circ

. Si tu poses

B = A

, tu obtiens les formules de duplication.

Exemples résolus

Trouve la valeur exacte de

\sin 75^\circ

Écris $75^\circ$ comme somme d'angles remarquables

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

→

A = 45^\circ

B = 30^\circ

Applique la formule d'addition du sinus

\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ

→ Deux produits de valeurs connues

Remplace par les valeurs exactes

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}

→

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Vérifie à la calculatrice

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx \frac{2{,}4495 + 1{,}4142}{4} \approx 0{,}9659

\sin 75^\circ \approx 0{,}9659

→ Les valeurs concordent

Réponse: $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$

Erreurs courantes

Écrire $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

Pourquoi c'est faux: Le sinus n'est pas une fonction linéaire, on ne peut pas le distribuer sur une somme. Avec $A = 30^\circ$ et $B = 60^\circ$ : $\sin 90^\circ = 1$ , mais $\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366$ , ce qui n'est même pas une valeur possible d'un sinus.

Correct: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ . Déplace les curseurs du graphique : la courbe rouge $\sin x + \sin b$ s'écarte des deux autres.

Garder le signe dans la formule du cosinus : $\cos(A + B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

Pourquoi c'est faux: Le cosinus inverse le signe. Teste avec $A = B = 45^\circ$ : $\cos 90^\circ = 0$ , mais $\cos^2 45^\circ + \sin^2 45^\circ = 1$ .

Correct: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ et $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ .

Prendre chaque valeur manquante positive, par exemple $\cos A = \frac{4}{5}$ quand $\sin A = \frac{3}{5}$ et que $A$ est dans le quadrant II

Pourquoi c'est faux: L'identité de Pythagore ne donne que la valeur absolue. C'est le quadrant qui décide du signe, et un mauvais signe change tout le résultat.

Correct: Utilise le quadrant : dans le quadrant II le cosinus est négatif, donc $\cos A = -\frac{4}{5}$ . À retenir : quadrant I tout positif, II seulement le sinus, III seulement la tangente, IV seulement le cosinus.

Mettre $1 + \tan A \tan B$ au dénominateur de $\tan(A + B)$

Pourquoi c'est faux: Dans la formule de la tangente, le numérateur garde le signe mais le dénominateur l'inverse, comme pour le cosinus.

Correct: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ et $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ .

Pourquoi c'est important

Les formules d'addition sont les formules mères de la plupart des autres identités trigonométriques :

Valeurs exactes : la calculatrice donne $\sin 75^\circ \approx 0{,}9659$ , mais la formule donne la valeur exacte $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ , celle dont on a besoin aux examens et dans les démonstrations.
Autres identités : duplication, angle moitié et angles complémentaires en découlent toutes (pose $B = A$ ou $A = 90^\circ$ ).
Ondes et son : les physiciens réécrivent $3\sin t + 4\cos t$ comme une seule onde $5\sin(t + \varphi)$ pour lire son amplitude.
Rotations : chaque jeu vidéo et chaque bras robotisé fait tourner des points avec $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ et $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ , ce qui est exactement la formule d'addition.
Angles entre droites : la formule de soustraction de la tangente donne l'angle entre deux routes, rampes ou lignes de toit directement à partir de leurs pentes.

Applications dans le monde réel

Combiner deux ondes

En physique et en électronique, une somme comme $3\sin t + 4\cos t$ décrit deux ondes superposées. La formule d'addition du sinus montre que c'est une seule onde $R\sin(t + \varphi)$, et $R$ est son amplitude (son intensité).

Exemple:

$R\sin(t + \varphi) = R\cos\varphi \sin t + R\sin\varphi \cos t$ . En comparant avec $3\sin t + 4\cos t$ , on obtient $R\cos\varphi = 3$ et $R\sin\varphi = 4$ .

1Essaie par toi-même

Un signal vaut $3\sin t + 4\cos t$ . Tu veux l'écrire sous la forme $R\sin(t + \varphi)$ avec $R > 0$ .

Quelle est l'amplitude $R$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $R^2 = (R\cos\varphi)^2 + (R\sin\varphi)^2$ :

Faire tourner des points en jeu vidéo et en robotique

Un point à la distance $r$ et à l'angle $\alpha$ a pour coordonnées $x = r\cos\alpha$, $y = r\sin\alpha$. Le tourner de $\beta$ donne l'angle $\alpha + \beta$, et les formules d'addition en font les formules de rotation $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ et $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$.

Exemple:

Rotation de $(1, 0)$ de $90^\circ$ : $x' = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0$ et $y' = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$ , le point va donc en $(0, 1)$ .

2Essaie par toi-même

Un bras robotisé tient un outil au point $(4, 3)$ . Il tourne d'un angle $\beta$ avec $\cos\beta = 0{,}8$ et $\sin\beta = 0{,}6$ .

Quelle est la nouvelle ordonnée $y$ de l'outil ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ :

L'angle entre deux routes

Une droite de pente $m$ fait avec l'axe des $x$ un angle $\theta$ tel que $\tan\theta = m$. La formule de soustraction de la tangente donne l'angle entre deux droites directement à partir de leurs pentes, ce que les urbanistes utilisent pour les carrefours, les rampes et les toits.

Exemple:

Droites de pentes $1$ et $0$ : $\tan(\alpha - \beta) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$ , elles se coupent donc à $45^\circ$ .

3Essaie par toi-même

Sur une carte, une route a une pente de $3$ et une deuxième route une pente de $\frac{1}{2}$ .

Quel est l'angle entre les routes, en degrés ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$ avec $\tan\alpha = 3$ , $\tan\beta = \frac{1}{2}$ :

Points clés

1 $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ : le sinus garde le signe et mélange sinus et cosinus
2 $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ : le cosinus inverse le signe
3 $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ : le numérateur garde le signe, le dénominateur l'inverse
4Les valeurs exactes de $15^\circ$ , $75^\circ$ , $105^\circ$ , $165^\circ$ viennent de sommes et de différences de $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ (et $120^\circ$ , $135^\circ$ )
5Pour des angles d'autres quadrants, trouve le sinus ou le cosinus manquant avec l'identité de Pythagore et prends le signe donné par le quadrant
6 $\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B$ ; en posant $B = A$ on obtient les formules de duplication

Questions fréquentes

Pourquoi n'y a-t-il pas de règle simple comme $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$ ?

Parce que le sinus n'est pas une fonction linéaire. Doubler un angle ne double pas son sinus :

\sin 30^\circ = 0{,}5

, mais

\sin 60^\circ \approx 0{,}866

, pas

1

. La formule d'addition remplace correctement cette règle fausse.

Quel est le lien entre les formules d'addition et les formules de duplication ?

Pose

B = A

. Alors

\sin(2A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A = 2\sin A \cos A

\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A

. La formule de la tangente donne

\tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}

Quelle paire d'angles remarquables dois-je utiliser ?

N'importe quelle paire qui donne l'angle convient :

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

15^\circ = 45^\circ - 30^\circ

60^\circ - 45^\circ

105^\circ = 60^\circ + 45^\circ

165^\circ = 120^\circ + 45^\circ

135^\circ + 30^\circ

. Des paires différentes mènent à la même valeur finale.

Quand $\tan(A + B)$ n'est-elle pas définie ?

Quand

1 - \tan A \tan B = 0

, c'est-à-dire quand

\tan A \tan B = 1

. Alors

A + B

vaut

90^\circ

(ou

270^\circ

), où la tangente n'existe pas. Exemple :

\tan 30^\circ \tan 60^\circ = 1

30^\circ + 60^\circ = 90^\circ

Glossaire

Formule d'addition: Une formule pour une fonction trigonométrique de $A + B$ , par exemple $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
Formule de soustraction: Une formule pour une fonction trigonométrique de $A - B$ , par exemple $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
Valeur exacte: Une valeur écrite avec des entiers, des fractions et des racines, comme $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ , au lieu d'un nombre décimal arrondi
Angles remarquables: $30^\circ$ , $45^\circ$ et $60^\circ$ (et leurs associés sur le cercle trigonométrique), dont le sinus, le cosinus et la tangente sont connus exactement
Signe selon le quadrant: Le signe d'une valeur trigonométrique dans chaque quadrant : I tout positif, II sinus, III tangente, IV cosinus

Carte des formules

Sinus d'une somme

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

Garde le signe, mélange sinus et cosinus

Sinus d'une différence

\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

Moins entre les deux produits

Cosinus d'une somme

\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

Le signe devient moins

Cosinus d'une différence

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

Le signe devient plus

Tangente d'une somme

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

Le numérateur garde le signe, le dénominateur l'inverse

Tangente d'une différence

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

Numérateur moins, dénominateur plus

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Guide de l'enseignant: Formules d'addition et de soustraction

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Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

Pour les élèves avancés:

Contenu de la leçon

Définition

Sinus

Cosinus

Tangente

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Combiner deux ondes

Faire tourner des points en jeu vidéo et en robotique

L'angle entre deux routes

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Sinus d'une somme

Sinus d'une différence

Cosinus d'une somme

Cosinus d'une différence

Tangente d'une somme

Tangente d'une différence

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Identités réciproques

Identités pythagoriciennes

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