Rapport cosinus (CAH)

Maîtrise le rapport cosinus et apprends à trouver les côtés et angles manquants en utilisant le côté adjacent et l'hypoténuse.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent à l'hypoténuse.
cos⁡(θ)=adjacenthypoteˊnuse\cos(\theta) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}
Le moyen mnémotechnique CAH t'aide à retenir :
  • C = Cosinus
  • A = Adjacent
  • H = Hypoténuse
Par exemple, dans un triangle rectangle où l'angle est de 60°60° :
cos⁡(60°)=12=0,5\cos(60°) = \frac{1}{2} = 0,5
Cela signifie que le côté adjacent mesure exactement la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Essaie tout de suite

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle est égal à :

Exemples résolus

Un câble de support mesure 2020 mètres de long et fait un angle de 40°40° avec le sol. À quelle distance de la base du poteau est-il ancré dans le sol ?
1

Identifier les valeurs connues

Angle = 40°40°, Hypoténuse (câble) = 2020 m, Inconnue = Adjacent (distance au sol) → Problème posé
2

Écrire la formule du cosinus

cos⁡(40°)=adjacent20\cos(40°) = \frac{\text{adjacent}}{20} → Formule prête
3

Trouver cos⁡(40°)\cos(40°)

cos⁡(40°)≈0,766\cos(40°) \approx 0,766
4

Résoudre pour le côté adjacent

adjacent=20×0,766=15,32\text{adjacent} = 20 \times 0,766 = 15,32 m → 15,3215,32 mètres

Erreurs courantes

Confondre les côtés adjacent et opposé

Pourquoi c'est faux: Les côtés adjacent et opposé dépendent de l'angle avec lequel tu travailles. Le côté adjacent est toujours à côté de ton angle (pas l'hypoténuse).

Correct: Identifie toujours d'abord ton angle de référence. L'adjacent est le côté qui forme l'angle avec l'hypoténuse (touche l'angle mais n'est pas l'hypoténuse).

Utiliser le cosinus quand un autre rapport serait nécessaire

Pourquoi c'est faux: Le cosinus n'implique que l'adjacent et l'hypoténuse. Si tu connais le côté opposé, tu as besoin du sinus ou de la tangente.

Correct: Vérifie quels côtés tu connais : Adjacent + Hypoténuse → Cosinus, Opposé + Hypoténuse → Sinus, Opposé + Adjacent → Tangente.

Oublier que cos⁡(0°)=1\cos(0°) = 1 et cos⁡(90°)=0\cos(90°) = 0

Pourquoi c'est faux: À 0°, le côté adjacent égale l'hypoténuse (rapport = 1). À 90°, le côté adjacent a une longueur de 0.

Correct: Rappelle-toi : quand l'angle augmente de 0° à 90°, le cosinus diminue de 1 à 0. C'est l'opposé du sinus !

Confondre les valeurs sinus et cosinus pour les angles complémentaires

Pourquoi c'est faux: sin⁡(30°)=cos⁡(60°)\sin(30°) = \cos(60°) et cos⁡(30°)=sin⁡(60°)\cos(30°) = \sin(60°) parce que ce sont des angles complémentaires.

Correct: Pour les angles complémentaires : cos⁡(θ)=sin⁡(90°−θ)\cos(\theta) = \sin(90° - \theta). C'est ce qu'on appelle l'identité de cofonction.

Visuel interactif

Trigonometrie du triangle rectangle

θ =30°
5°45°85°
sin(θ)
0.5
Opp / Hyp
cos(θ)
√3/2
Adj / Hyp
tan(θ)
√3/3
Opp / Adj

Explore comment le rapport cosinus (adjacent/hypotenuse) change avec l'angle.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle est égal à :

Pourquoi c'est important

Le rapport cosinus est essentiel pour résoudre des problèmes impliquant des distances horizontales et des angles :
  • Architecture : Calcul des portées horizontales des toits et des ponts
  • Navigation : Trouver les distances horizontales étant donné un angle et une distance totale
  • Physique : Analyse des composantes horizontales des forces et du mouvement
  • Ingénierie : Conception de structures de support et calcul des distributions de charge
  • Arpentage : Mesure des distances horizontales sur le terrain
Chaque fois que tu dois trouver la composante horizontale ou travailler avec le côté adjacent dans un triangle rectangle, le cosinus est ton outil clé.

Applications dans le monde réel

Calculs de longueur d'ombre

Les architectes et ingénieurs solaires utilisent le rapport cosinus pour calculer les longueurs d'ombre projetées par les bâtiments et structures.

Exemple:

Quand le soleil est à un angle d'élévation de 70°70°, un bâtiment de 5050 mètres de haut projette une ombre. La distance horizontale du bâtiment à l'extrémité de l'ombre implique le rapport cosinus.

1Essaie par toi-même

Un arbre mesure 1515 mètres de haut. Le soleil est à un angle d'élévation de 55°55°. Une ligne de la cime de l'arbre à l'extrémité de son ombre mesure 18,318,3 mètres de long.

Quelle est la longueur de l'ombre ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise le cosinus : ombre = 18,3×cos⁡(55°)18,3 \times \cos(55°)

Navigation et distance

Les pilotes et capitaines de navire utilisent le cosinus pour calculer les distances horizontales lorsqu'ils voyagent selon un angle.

Exemple:

Quand un hélicoptère parcourt 55 km avec un angle de montée de 30°30°, la distance horizontale parcourue est calculée avec le cosinus.

2Essaie par toi-même

Un randonneur marche 22 km en montant une colline qui a une pente de 25°25° par rapport à l'horizontale. Quelle distance horizontale le randonneur a-t-il parcourue ?

Quelle est la distance horizontale ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Distance horizontale = 2×cos⁡(25°)2 \times \cos(25°)

Points clés

  • 1Cosinus égale adjacent divisé par hypoténuse : cos⁡(θ)=adjhyp\cos(\theta) = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}
  • 2Retiens CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
  • 3Pour trouver l'adjacent : multiplie l'hypoténuse par cos⁡(θ)\cos(\theta)
  • 4Pour trouver l'hypoténuse : divise l'adjacent par cos⁡(θ)\cos(\theta)
  • 5Pour trouver l'angle : utilise l'arc cosinus θ=cos⁡−1(adjhyp)\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\text{adj}}{\text{hyp}}\right)
  • 6Valeurs spéciales : cos⁡(0°)=1\cos(0°) = 1, cos⁡(30°)=32\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡(45°)=22\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡(60°)=0,5\cos(60°) = 0,5, cos⁡(90°)=0\cos(90°) = 0

Questions fréquentes

Le mot 'cosinus' est l'abréviation de 'sinus du complément'. Il a été ainsi nommé parce que cos⁡(θ)=sin⁡(90°−θ)\cos(\theta) = \sin(90° - \theta). Le cosinus d'un angle égale le sinus de son complément.
Le mot 'cosinus' est l'abréviation de 'sinus du complément'. Il a été ainsi nommé parce que cos⁡(θ)=sin⁡(90°−θ)\cos(\theta) = \sin(90° - \theta). Le cosinus d'un angle égale le sinus de son complément.
Le sinus et le cosinus sont liés par les angles complémentaires : cos⁡(θ)=sin⁡(90°−θ)\cos(\theta) = \sin(90° - \theta) et sin⁡(θ)=cos⁡(90°−θ)\sin(\theta) = \cos(90° - \theta). De plus, sin⁡2(θ)+cos⁡2(θ)=1\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 (identité pythagoricienne).
Utilise le cosinus quand tu travailles avec le côté adjacent et l'hypoténuse. Si tu as (ou as besoin de) le côté opposé, utilise le sinus (avec l'hypoténuse) ou la tangente (avec l'adjacent).
cos⁡−1\cos^{-1} est la fonction cosinus inverse, aussi appelée arc cosinus (arccos). Elle répond à : 'Quel angle a cette valeur de cosinus ?' Par exemple, cos⁡−1(0,5)=60°\cos^{-1}(0,5) = 60° parce que cos⁡(60°)=0,5\cos(60°) = 0,5.

Glossaire

Cosinus
Le rapport du côté adjacent à l'hypoténuse dans un triangle rectangle : cos⁡(θ)=adjhyp\cos(\theta) = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}
Côté adjacent
Le côté d'un triangle rectangle qui est à côté de l'angle de référence (pas l'hypoténuse)
Hypoténuse
Le côté le plus long d'un triangle rectangle, toujours opposé à l'angle droit
Cosinus inverse
La fonction cos⁡−1\cos^{-1} (arccos) qui trouve un angle quand tu connais sa valeur de cosinus
Identité de cofonction
La relation cos⁡(θ)=sin⁡(90°−θ)\cos(\theta) = \sin(90° - \theta), montrant que cosinus et sinus sont des fonctions complémentaires

Carte des formules

Définition du cosinus

cos⁡(θ)=adjacenthypoteˊnuse\cos(\theta) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}

Le rapport du côté adjacent à l'hypoténuse

Trouver l'adjacent

adjacent=hypoteˊnuse×cos⁡(θ)\text{adjacent} = \text{hypoténuse} \times \cos(\theta)

Multiplie l'hypoténuse par le cosinus pour trouver le côté adjacent

Trouver l'hypoténuse

hypoteˊnuse=adjacentcos⁡(θ)\text{hypoténuse} = \frac{\text{adjacent}}{\cos(\theta)}

Divise l'adjacent par le cosinus pour trouver l'hypoténuse

Trouver l'angle

θ=cos⁡−1(adjacenthypoteˊnuse)\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\right)

Utilise l'arc cosinus pour trouver l'angle

Valeur spéciale : cos(0)

cos⁡(0°)=1\cos(0°) = 1

Le cosinus de 0 degré égale 1

Valeur spéciale : cos(30)

cos⁡(30°)=32≈0,866\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866

Le cosinus de 30 degrés égale racine de 3 sur 2

Valeur spéciale : cos(45)

cos⁡(45°)=22≈0,707\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707

Le cosinus de 45 degrés égale racine de 2 sur 2

Valeur spéciale : cos(60)

cos⁡(60°)=12=0,5\cos(60°) = \frac{1}{2} = 0,5

Le cosinus de 60 degrés égale un demi

Défi du jourUn problème, trois essais

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