Una sequenza può avere più di una regola?

Con solo due o tre termini sì, possono andare bene più regole. Per questo servono abbastanza termini e devi verificare la regola su tutti. Con $2, 4$ la regola potrebbe essere $+2$ oppure $\times 2$, ma $2, 4, 8$ va bene solo con $\times 2$.

Perché per il 10° termine aggiungo 9 passi e non 10?

Il primo termine è già al suo posto. Per andare dal termine $1$ al termine $10$ fai $9$ salti, proprio come quando sali dal 1° al 10° piolo di una scala.

Come trovo la 20ª forma in una sequenza che si ripete?

Conta le forme di un blocco. In cerchio, quadrato, triangolo il blocco ha $3$ forme. $20 \div 3 = 6$ resto $2$, quindi la 20ª forma è la 2ª forma del blocco: un quadrato.

Risorse per insegnanti

Riconoscere le regolarità

Impara a scoprire la regola dietro le sequenze di numeri e di forme, a verificarla su ogni termine e a prevedere cosa viene dopo.

Elementare20 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Una sequenza è un elenco di numeri o di forme che segue una regola. Ogni elemento dell'elenco si chiama termine.

Per riconoscere una regolarità, guarda come ogni termine si trasforma nel successivo:

Sequenza additiva: si aggiunge sempre lo stesso numero. $5, 9, 13, 17$ (più $4$ )
Sequenza sottrattiva: si toglie sempre lo stesso numero. $30, 25, 20, 15$ (meno $5$ )
Sequenza moltiplicativa: ogni termine viene moltiplicato per lo stesso numero. $3, 6, 12, 24$ (per $2$ )
Sequenza alternata: due passi si danno il turno. $10, 13, 11, 14, 12$ (più $3$ , meno $2$ )
Sequenza a passi crescenti: il passo stesso diventa più grande. $1, 2, 4, 7, 11$ (più $1$ , poi $2$ , poi $3$ , poi $4$ )
Sequenza che si ripete: un blocco si ripete ancora e ancora, come cerchio, quadrato, triangolo, cerchio, quadrato, triangolo

Una regola vale solo se funziona per ogni termine, non solo per i primi due. Trovare una regola partendo da esempi è ragionamento induttivo; verificarla su tutti i termini ti evita errori.

Prova subito

Qual è il numero successivo nella sequenza

2, 5, 8, 11, \ldots

Esempi svolti

Trova la regola e i due termini successivi: $5, 9, 13, 17, \ldots$

Calcola il cambiamento tra vicini

$9 - 5 = 4$ , $13 - 9 = 4$ , $17 - 13 = 4$ → La differenza è sempre $4$

Scrivi la regola

Ogni termine è $4$ in più del precedente → Regola: parti da $5$ , aggiungi $4$

Usa la regola per continuare

$17 + 4 = 21$ , $21 + 4 = 25$ → $21$ e $25$

Risposta: La regola è più $4$ . I due termini successivi sono $21$ e $25$ .

Errori comuni

Scegliere una regola guardando solo i primi due termini

Perché è sbagliato: In $2, 4, 8, 16$ il primo salto è $+2$ , ma $4 + 2 = 6$ , non $8$ . Molte regole vanno bene per due numeri.

Corretto: Verifica la regola su ogni coppia di vicini. Qui $\times 2$ funziona per tutti: $2, 4, 8, 16$ .

Usare $10$ salti per arrivare al 10° termine

Perché è sbagliato: Il primo termine c'è già. Dal termine $1$ al termine $10$ ci sono solo $9$ salti.

Corretto: 10° termine $=$ primo termine $+ 9 \times$ passo. Per $4, 7, 10, \ldots$ : $4 + 9 \times 3 = 31$ , non $4 + 10 \times 3 = 34$ .

Pensare che ogni sequenza aggiunga lo stesso numero

Perché è sbagliato: In $2, 6, 18, 54$ le differenze sono $4, 12, 36$ , quindi non è una sequenza additiva.

Corretto: Se le differenze non sono uguali, prova a moltiplicare (qui $\times 3$ ), con passi alternati o con differenze crescenti.

Dimenticare a che punto sei in una sequenza alternata

Perché è sbagliato: In $10, 13, 11, 14, 12, 15$ il passo successivo dipende dall'ultimo. Usare di nuovo $+3$ dà $18$ , che è sbagliato.

Corretto: Scrivi i cambiamenti sotto i termini ( $+3, -2, +3, \ldots$ ) e continua l'alternanza: $15 - 2 = 13$ .

Visuale interattivo

Esploratore di successioni

Primo termine (a₁ = 4)

Differenza comune (d = 3)

10,

13,

16,

19,

22,

25,

28,

, ...

a_1

a_5

a_10

a_20

Esploratore di successioni

11,

16,

, ...

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Qual è il numero successivo nella sequenza $2, 5, 8, 11, \ldots$ ?

Perché è importante

Le regolarità sono ovunque e riconoscerle fa risparmiare tempo:

Calendari: ogni lunedì di un mese cade $7$ giorni dopo il precedente, così trovi qualsiasi data senza contare giorno per giorno
Piastrelle e costruzioni: se ogni nuova fila di un pavimento richiede $3$ piastrelle in più, puoi calcolare quante piastrelle comprare
Risparmiare denaro: mettere la stessa somma nel salvadanaio ogni settimana ti permette di prevedere quando raggiungerai il tuo obiettivo
Musica e arte: i ritmi e le cornici decorative sono sequenze che si ripetono
Scienza e computer: gli scienziati cercano regolarità nei dati e i computer vengono addestrati a riconoscere schemi in immagini e suoni

Riconoscere le regolarità è il primo passo del ragionamento logico: noti una regola, la metti alla prova e poi la usi per fare previsioni.

Applicazioni nel mondo reale

Calendari

Lo stesso giorno della settimana ritorna ogni $7$ giorni, quindi le date di quel giorno formano una sequenza additiva.

Esempio:

Se il primo lunedì di un mese è il $3$ , i lunedì sono il $3$ , il $10$ , il $17$ , il $24$ e il $31$ .

1Provaci tu stesso

Il primo sabato di un mese è il $6$ . Le lezioni di nuoto sono ogni sabato.

Che data è il 4° sabato del mese?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Parti da $6$ e aggiungi $3$ salti di $7$ giorni:

Piastrelle e schemi nelle costruzioni

Piastrellisti e designer usano schemi di piastrelle per pavimenti, vialetti e pareti, e devono sapere quante piastrelle servono per ogni parte.

Esempio:

Un vialetto in cui ogni nuovo tratto aggiunge $2$ piastrelle usa $6, 8, 10, 12, \ldots$ piastrelle. Si può prevedere qualsiasi tratto senza disegnarlo.

2Provaci tu stesso

Uno schema di piastrelle ha $5$ piastrelle nella figura 1, $8$ piastrelle nella figura 2 e $11$ piastrelle nella figura 3.

Quante piastrelle ha la figura 6?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Parti da $5$ e aggiungi $5$ salti di $3$ :

Risparmiare denaro

Mettere da parte la stessa somma ogni settimana fa crescere il contenuto del salvadanaio secondo una sequenza additiva.

Esempio:

Con 10 € all'inizio e 4 € risparmiati ogni settimana, il totale è 14 €, 18 €, 22 € e 26 € dopo le settimane da 1 a 4.

3Provaci tu stesso

Nora ha 15 € nel salvadanaio. Ogni settimana ci mette 5 €.

Quanti soldi avrà dopo 8 settimane?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Parti da $15$ e aggiungi $8$ salti di $5$ :

Punti chiave

1Una sequenza segue una regola e ogni suo elemento si chiama termine
2Guarda prima le differenze tra vicini: differenze uguali indicano una sequenza additiva o sottrattiva
3Se le differenze non sono uguali, prova a moltiplicare, con passi alternati o con differenze crescenti
4Una regola è corretta solo se funziona per ogni termine, non solo per i primi due
5Per il 10° termine di una sequenza additiva aggiungi $9$ passi al primo termine
6In una sequenza che si ripete, dividi la posizione per la lunghezza del blocco e usa il resto

Domande frequenti

Scrivi sotto l'elenco la differenza tra ogni coppia di termini vicini. Se sono tutte uguali, hai una sequenza additiva o sottrattiva. Altrimenti prova a moltiplicare o cerca una regolarità nelle differenze.

Glossario

Sequenza: Un elenco di numeri o di forme che segue una regola
Termine: Un elemento di una sequenza; il 1° termine è il primo elemento, il 2° termine il successivo, e così via
Regola: L'istruzione che dice come passare da un termine al successivo, per esempio più $4$ o per $2$
Differenza: Il risultato che si ottiene togliendo un termine dal termine successivo, per esempio $9 - 5 = 4$
Sequenza alternata: Una sequenza in cui due passi diversi si danno il turno, per esempio $+3$ , $-2$ , $+3$ , $-2$
Sequenza che si ripete: Una sequenza in cui si ripete lo stesso blocco di elementi, per esempio rosso, blu, rosso, blu

Scheda formule

Controllo delle differenze

\text{differenza} = \text{termine successivo} - \text{termine}

Se tutte le differenze sono uguali, la sequenza aggiunge (o toglie) quel numero

10° termine di una sequenza additiva

\text{10° termine} = \text{1° termine} + 9 \times \text{passo}

Dal 1° al 10° termine ci sono 9 salti

Posizione in una sequenza che si ripete

\text{posizione} \div \text{lunghezza del blocco} = \ldots \text{ resto } r

Il resto $r$ ti dice quale elemento del blocco è; resto $0$ significa l'ultimo elemento

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