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Guida per l'insegnante: Riconoscere le regolarità

Impara a scoprire la regola dietro le sequenze di numeri e di forme, a verificarla su ogni termine e a prevedere cosa viene dopo.

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10 domande su Ragionamento logico. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento
  • Riconoscere la regola di sequenze numeriche additive, sottrattive, moltiplicative, alternate e a passi crescenti
  • Continuare una sequenza prevedendo i termini successivi
  • Trovare il 10° termine di una sequenza additiva senza scrivere tutti i termini
  • Verificare che una regola proposta funzioni per ogni termine di una sequenza
  • Applicare le regolarità ai calendari, agli schemi di piastrelle e al risparmio
Prerequisiti
  • • Introduzione al ragionamento logico: la differenza tra ragionamento induttivo e deduttivo
  • • Il ragionamento deduttivo: applicare una regola generale a un caso particolare
  • • Addizione, sottrazione e moltiplicazione con i numeri naturali
  • • Divisione con il resto
Spunti di discussione
  • 1. Dove vedi delle regolarità nella tua giornata, a casa o a scuola?
  • 2. Se qualcuno ti dice 2, 4, ... e ti chiede il numero successivo, quante risposte diverse potrebbero essere giuste?
  • 3. Perché non basta verificare una regola sui primi due termini?
  • 4. Come potresti trovare il 100° termine di 3, 7, 11, 15 senza scrivere tutti i termini?
  • 5. Riesci a inventare una sequenza difficile da indovinare per un amico? Che cosa la rende difficile?
Idee sbagliate comuni

Ogni sequenza numerica è una sequenza additiva

Rimedio: Mostra 3,6,12,243, 6, 12, 24 accanto a 3,6,9,123, 6, 9, 12. Fai calcolare le differenze di entrambe e fai notare che solo la seconda ha differenze uguali.

Il termine n-esimo è il primo termine più n passi

Rimedio: Usa una scala o una fila di sedie: per andare dalla sedia 1 alla sedia 10 servono 9 passi. Verifica il metodo su un termine già noto, come il 3° termine.

Una regola che va bene per i primi due termini è dimostrata

Rimedio: Giocate a Indovina la mia regola con 1, 2, ... e poi rivela 4 (raddoppiare) o 3 (più 1). Gli alunni imparano a chiedere più termini e a verificare ogni coppia.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

  • • Cominciare solo con sequenze additive e scrivere le differenze con un altro colore
  • • Costruire ogni figura di uno schema di piastrelle con gettoni o piastrelle
  • • Dare la regola e chiedere solo il termine successivo prima di chiedere la regola

Per studenti a livello:

  • • Mescolare sequenze additive, moltiplicative e alternate in una stessa scheda
  • • Trovare il 10° termine di sequenze additive e verificarlo su un termine noto
  • • Risolvere problemi su calendari e risparmi con le sequenze

Per studenti avanzati:

  • • Trovare il 50° o il 100° termine di una sequenza additiva
  • • Lavorare con sequenze le cui differenze crescono, come i quadrati 1,4,9,161, 4, 9, 16
  • • Inventare indovinelli di sequenze con una regola nascosta per i compagni
Allineamento agli standard
  • 4.OA.C.5 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.C.5)

    Generare una sequenza di numeri o di forme che segue una regola data e individuare caratteristiche della sequenza che non sono esplicite nella regola

  • 5.OA.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.5.OA.B.3)

    Generare due sequenze numeriche con due regole date e individuare relazioni tra i termini corrispondenti

  • MP.7 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP7)

    Cercare e utilizzare le strutture

  • MP.8 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP8)

    Cercare ed esprimere regolarità nei ragionamenti ripetuti

Risorse della lezione
  • visualVisualizzatore di sequenze

    Cambia il primo termine e il passo e guarda crescere i termini e le barre

  • activityIndovina la mia regola

    Un alunno sceglie in segreto una regola e dice i termini uno alla volta; la classe indovina la regola e la verifica sul termine successivo

  • worksheetDetective delle sequenze

    Sequenze miste in cui gli alunni scrivono le differenze, danno un nome alla regola e trovano il 10° termine

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Una sequenza è un elenco di numeri o di forme che segue una regola. Ogni elemento dell'elenco si chiama termine.
Per riconoscere una regolarità, guarda come ogni termine si trasforma nel successivo:
  • Sequenza additiva: si aggiunge sempre lo stesso numero. 5,9,13,175, 9, 13, 17 (più 44)
  • Sequenza sottrattiva: si toglie sempre lo stesso numero. 30,25,20,1530, 25, 20, 15 (meno 55)
  • Sequenza moltiplicativa: ogni termine viene moltiplicato per lo stesso numero. 3,6,12,243, 6, 12, 24 (per 22)
  • Sequenza alternata: due passi si danno il turno. 10,13,11,14,1210, 13, 11, 14, 12 (più 33, meno 22)
  • Sequenza a passi crescenti: il passo stesso diventa più grande. 1,2,4,7,111, 2, 4, 7, 11 (più 11, poi 22, poi 33, poi 44)
  • Sequenza che si ripete: un blocco si ripete ancora e ancora, come cerchio, quadrato, triangolo, cerchio, quadrato, triangolo
Una regola vale solo se funziona per ogni termine, non solo per i primi due. Trovare una regola partendo da esempi è ragionamento induttivo; verificarla su tutti i termini ti evita errori.

Esempi svolti

Trova la regola e i due termini successivi: 5,9,13,17,…5, 9, 13, 17, \ldots

1

Calcola il cambiamento tra vicini

9−5=49 - 5 = 4, 13−9=413 - 9 = 4, 17−13=417 - 13 = 4 → La differenza è sempre 44

2

Scrivi la regola

Ogni termine è 44 in più del precedente → Regola: parti da 55, aggiungi 44

3

Usa la regola per continuare

17+4=2117 + 4 = 21, 21+4=2521 + 4 = 25 → 2121 e 2525

Errori comuni

Scegliere una regola guardando solo i primi due termini

Perché è sbagliato: In 2,4,8,162, 4, 8, 16 il primo salto è +2+2, ma 4+2=64 + 2 = 6, non 88. Molte regole vanno bene per due numeri.

Corretto: Verifica la regola su ogni coppia di vicini. Qui ×2\times 2 funziona per tutti: 2,4,8,162, 4, 8, 16.

Usare 1010 salti per arrivare al 10° termine

Perché è sbagliato: Il primo termine c'è già. Dal termine 11 al termine 1010 ci sono solo 99 salti.

Corretto: 10° termine == primo termine +9×+ 9 \times passo. Per 4,7,10,…4, 7, 10, \ldots: 4+9×3=314 + 9 \times 3 = 31, non 4+10×3=344 + 10 \times 3 = 34.

Pensare che ogni sequenza aggiunga lo stesso numero

Perché è sbagliato: In 2,6,18,542, 6, 18, 54 le differenze sono 4,12,364, 12, 36, quindi non è una sequenza additiva.

Corretto: Se le differenze non sono uguali, prova a moltiplicare (qui ×3\times 3), con passi alternati o con differenze crescenti.

Dimenticare a che punto sei in una sequenza alternata

Perché è sbagliato: In 10,13,11,14,12,1510, 13, 11, 14, 12, 15 il passo successivo dipende dall'ultimo. Usare di nuovo +3+3 dà 1818, che è sbagliato.

Corretto: Scrivi i cambiamenti sotto i termini (+3,−2,+3,…+3, -2, +3, \ldots) e continua l'alternanza: 15−2=1315 - 2 = 13.

Perché è importante

Le regolarità sono ovunque e riconoscerle fa risparmiare tempo:
  • Calendari: ogni lunedì di un mese cade 77 giorni dopo il precedente, così trovi qualsiasi data senza contare giorno per giorno
  • Piastrelle e costruzioni: se ogni nuova fila di un pavimento richiede 33 piastrelle in più, puoi calcolare quante piastrelle comprare
  • Risparmiare denaro: mettere la stessa somma nel salvadanaio ogni settimana ti permette di prevedere quando raggiungerai il tuo obiettivo
  • Musica e arte: i ritmi e le cornici decorative sono sequenze che si ripetono
  • Scienza e computer: gli scienziati cercano regolarità nei dati e i computer vengono addestrati a riconoscere schemi in immagini e suoni
Riconoscere le regolarità è il primo passo del ragionamento logico: noti una regola, la metti alla prova e poi la usi per fare previsioni.

Applicazioni nel mondo reale

Calendari

Lo stesso giorno della settimana ritorna ogni $7$ giorni, quindi le date di quel giorno formano una sequenza additiva.

Esempio:

Se il primo lunedì di un mese è il 33, i lunedì sono il 33, il 1010, il 1717, il 2424 e il 3131.

1Provaci tu stesso

Il primo sabato di un mese è il 66. Le lezioni di nuoto sono ogni sabato.

Che data è il 4° sabato del mese?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Parti da 66 e aggiungi 33 salti di 77 giorni:

Piastrelle e schemi nelle costruzioni

Piastrellisti e designer usano schemi di piastrelle per pavimenti, vialetti e pareti, e devono sapere quante piastrelle servono per ogni parte.

Esempio:

Un vialetto in cui ogni nuovo tratto aggiunge 22 piastrelle usa 6,8,10,12,…6, 8, 10, 12, \ldots piastrelle. Si può prevedere qualsiasi tratto senza disegnarlo.

2Provaci tu stesso

Uno schema di piastrelle ha 55 piastrelle nella figura 1, 88 piastrelle nella figura 2 e 1111 piastrelle nella figura 3.

Quante piastrelle ha la figura 6?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Parti da 55 e aggiungi 55 salti di 33:

Risparmiare denaro

Mettere da parte la stessa somma ogni settimana fa crescere il contenuto del salvadanaio secondo una sequenza additiva.

Esempio:

Con 10 € all'inizio e 4 € risparmiati ogni settimana, il totale è 14 €, 18 €, 22 € e 26 € dopo le settimane da 1 a 4.

3Provaci tu stesso

Nora ha 15 € nel salvadanaio. Ogni settimana ci mette 5 €.

Quanti soldi avrà dopo 8 settimane?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Parti da 1515 e aggiungi 88 salti di 55:

Punti chiave

  • 1Una sequenza segue una regola e ogni suo elemento si chiama termine
  • 2Guarda prima le differenze tra vicini: differenze uguali indicano una sequenza additiva o sottrattiva
  • 3Se le differenze non sono uguali, prova a moltiplicare, con passi alternati o con differenze crescenti
  • 4Una regola è corretta solo se funziona per ogni termine, non solo per i primi due
  • 5Per il 10° termine di una sequenza additiva aggiungi 99 passi al primo termine
  • 6In una sequenza che si ripete, dividi la posizione per la lunghezza del blocco e usa il resto

Domande frequenti

Da dove comincio quando vedo una nuova sequenza?

Scrivi sotto l'elenco la differenza tra ogni coppia di termini vicini. Se sono tutte uguali, hai una sequenza additiva o sottrattiva. Altrimenti prova a moltiplicare o cerca una regolarità nelle differenze.

Una sequenza può avere più di una regola?

Con solo due o tre termini sì, possono andare bene più regole. Per questo servono abbastanza termini e devi verificare la regola su tutti. Con 2,42, 4 la regola potrebbe essere +2+2 oppure ×2\times 2, ma 2,4,82, 4, 8 va bene solo con ×2\times 2.

Perché per il 10° termine aggiungo 9 passi e non 10?

Il primo termine è già al suo posto. Per andare dal termine 11 al termine 1010 fai 99 salti, proprio come quando sali dal 1° al 10° piolo di una scala.

Come trovo la 20ª forma in una sequenza che si ripete?

Conta le forme di un blocco. In cerchio, quadrato, triangolo il blocco ha 33 forme. 20÷3=620 \div 3 = 6 resto 22, quindi la 20ª forma è la 2ª forma del blocco: un quadrato.

Glossario

Sequenza
Un elenco di numeri o di forme che segue una regola
Termine
Un elemento di una sequenza; il 1° termine è il primo elemento, il 2° termine il successivo, e così via
Regola
L'istruzione che dice come passare da un termine al successivo, per esempio più 44 o per 22
Differenza
Il risultato che si ottiene togliendo un termine dal termine successivo, per esempio 9−5=49 - 5 = 4
Sequenza alternata
Una sequenza in cui due passi diversi si danno il turno, per esempio +3+3, −2-2, +3+3, −2-2
Sequenza che si ripete
Una sequenza in cui si ripete lo stesso blocco di elementi, per esempio rosso, blu, rosso, blu

Scheda formule

Controllo delle differenze

differenza=termine successivo−termine\text{differenza} = \text{termine successivo} - \text{termine}

Se tutte le differenze sono uguali, la sequenza aggiunge (o toglie) quel numero

10° termine di una sequenza additiva

10° termine=1° termine+9×passo\text{10° termine} = \text{1° termine} + 9 \times \text{passo}

Dal 1° al 10° termine ci sono 9 salti

Posizione in una sequenza che si ripete

posizione÷lunghezza del blocco=… resto r\text{posizione} \div \text{lunghezza del blocco} = \ldots \text{ resto } r

Il resto $r$ ti dice quale elemento del blocco è; resto $0$ significa l'ultimo elemento

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