Guida per l'insegnante: Divisibilità per 4, 6 e 8

Controlla in pochi secondi se un numero intero è divisibile per 4, 6 e 8: leggi le ultime due o tre cifre, oppure combina i criteri del 2 e del 3, e capisci perché funziona.

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10 domande su Divisibilità. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Verificare se un numero intero è divisibile per 4 con le ultime due cifre, compreso il controllo rapido delle decine
Verificare se un numero intero è divisibile per 8 con le ultime tre cifre
Verificare la divisibilità per 6 combinando i criteri del 2 e del 3, e spiegare perché servono entrambi
Giustificare i criteri del 4 e dell'8 con 100 = 4 × 25 e 1000 = 8 × 125
Applicare i criteri agli anni bisestili e a problemi di confezioni da 6 e da 8

Prerequisiti

• Criteri di divisibilità: significato di divisibile e di resto
• Divisibilità per 2, 5 e 10: criteri dell'ultima cifra
• Divisibilità per 3 e 9: il criterio della somma delle cifre per il 3
• Valore posizionale: unità, decine, centinaia, migliaia

Spunti di discussione

1. Perché il criterio del 4 riguarda due cifre, quello dell'8 tre cifre, ma quello del 2 una sola cifra?
2. Come potrebbe essere un criterio per il 16? Quante cifre bisognerebbe controllare?
3. Ogni multiplo di 8 è multiplo di 4. Perché il contrario non vale?
4. Perché possiamo controllare il 6 con i criteri del 2 e del 3, ma non l'8 con quelli del 2 e del 4?
5. Una persona è nata il 29 febbraio 2000. Ogni quanto festeggia un vero compleanno?

Idee sbagliate comuni

Un numero che finisce con 4 o con 8 è sempre divisibile per 4 (come 34 o 38)

Rimedio: Scrivete i multipli di 4 fino a 100 e guardate come finiscono: 04, 08, 12, 16, 20... Gli studenti vedono che l'ultima cifra da sola non basta e scoprono poi lo schema delle decine (decine pari: 0, 4, 8; decine dispari: 2, 6).

Divisibile per 2 e per 4 significa divisibile per 8, come 2 e 3 danno 6

Rimedio: Provate 12, 20 e 28. Poi confrontate i fattori: 2 e 3 non hanno divisori comuni, 2 e 4 hanno in comune il 2. Introducete l'espressione primi tra loro.

Ogni anno divisibile per 4 è bisestile

Rimedio: Mostrate il 1900 su un vecchio calendario: febbraio aveva 28 giorni. Spiegate la regola del 400 con la durata media dell'anno, 365,2425 giorni.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Partire colorando i multipli di 4 fino a 100 su una tabella del cento per vedere lo schema delle ultime due cifre
• Usare solo numeri di quattro cifre e un criterio alla volta
• Far verificare ogni risultato con la calcolatrice per dare fiducia nei criteri

Per studenti a livello:

• Mescolare controlli per 4, 6 e 8 in una stessa serie e chiedere quale criterio è stato usato
• Risolvere problemi con una cifra mancante, come la cifra più piccola che rende 73_ divisibile per 4
• Contare gli anni bisestili di un secolo

Per studenti avanzati:

• Trovare e giustificare un criterio per il 16 (ultime quattro cifre, perché 10.000 = 16 × 625)
• Spiegare il trucco dei tre dimezzamenti per l'8 e perché ne bastano tre
• Indagare quali altri divisori si possono controllare combinando due criteri primi tra loro

Allineamento agli standard

4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)
Trovare tutte le coppie di fattori di un numero intero. Riconoscere che un numero intero è multiplo di ciascuno dei suoi fattori.
4.NBT.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.4.NBT.B.6)
Trovare quozienti e resti interi con strategie basate sul valore posizionale.
6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)
Trovare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo di due numeri interi e usare la proprietà distributiva con fattori comuni.

Risorse della lezione

visualSpiegazione della divisibilità
Mostra 45.136 = 45 × 1000 + 136 ed evidenzia le cifre che legge ogni criterio per 2, 4 e 8
gameIndovina 2, 3 e 6
Gli studenti indovinano sì o no per 2, 3 e 6 su ogni numero, poi scoprono il criterio e fanno punti
activityCaccia agli anni bisestili
Gli studenti scrivono gli anni di nascita dei familiari e controllano quali erano bisestili
worksheetProblemi di confezioni
Ordini di uova, muffin e bottiglie da sistemare in scatole da 6 e casse da 8

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Un criterio di divisibilità ti dice se un numero è divisibile per un altro numero (divisione con resto

0

) senza fare tutta la divisione. In questa lezione impari i criteri per

4

8

6

Divisibile per 4: le ultime due cifre

Un numero intero è divisibile per

4

quando il numero formato dalle sue ultime due cifre è divisibile per

4

7316: \quad 16 = 4 \times 4 \;\Rightarrow\; 7316 \div 4 = 1829

Perché?

7316 = 73 \times 100 + 16

, e

100 = 4 \times 25

. Ogni numero intero di centinaia è un multiplo di

4

, quindi solo le ultime due cifre possono lasciare un resto.

Controllo rapido con la cifra delle decine: se la cifra delle decine è pari, l'ultima cifra deve essere

0

4

8

. Se la cifra delle decine è dispari, l'ultima cifra deve essere

2

6

Divisibile per 8: le ultime tre cifre

Un numero intero è divisibile per

8

quando il numero formato dalle sue ultime tre cifre è divisibile per

8

, perché

1000 = 8 \times 125

45.136: \quad 136 = 8 \times 17 \;\Rightarrow\; 45.136 \div 8 = 5642

Divisibile per 6: i criteri del 2 e del 3 insieme

Un numero intero è divisibile per

6

quando è divisibile per

2

e per

3

: l'ultima cifra è pari e la somma delle cifre è divisibile per

3

. Funziona perché

6 = 2 \times 3

2

3

sono primi tra loro.

5742: \quad \text{ultima cifra } 2 \text{ (pari)}, \quad 5 + 7 + 4 + 2 = 18 = 3 \times 6 \;\Rightarrow\; 5742 \div 6 = 957

Una catena di criteri

\text{divisibile per } 8 \;\Rightarrow\; \text{divisibile per } 4 \;\Rightarrow\; \text{divisibile per } 2

La catena va in una sola direzione:

12

è divisibile per

4

ma non per

8

Esempi svolti

7316

è divisibile per

4

Separa le ultime due cifre

7316 = 73 \times 100 + 16

→ Ultime due cifre:

16

Ricorda perché le centinaia non contano

100 = 4 \times 25

, quindi

7300

è un multiplo di

4

→ Decide solo

16

Controlla le ultime due cifre

16 = 4 \times 4

→

16

è divisibile per

4

Concludi e verifica

7316 \div 4 = 1829

→ Divisibile, resto

0

Risposta: Sì. Le ultime due cifre formano 16, che è divisibile per 4, quindi 7316 è divisibile per 4 (7316 : 4 = 1829).

Errori comuni

Guardare solo l'ultima cifra per il $4$ : " $2134$ finisce con $4$ , quindi è divisibile per $4$ "

Perché è sbagliato: Il criterio del $4$ legge le ultime due cifre, perché $10$ non è un multiplo di $4$ . Qui $34 = 4 \times 8 + 2$ .

Corretto: Controlla le ultime due cifre: $34$ dà resto $2$ , quindi $2134$ non è divisibile per $4$ .

Guardare solo le ultime due cifre per l' $8$ : " $3124$ finisce con $24 = 8 \times 3$ , quindi è divisibile per $8$ "

Perché è sbagliato: $100$ non è un multiplo di $8$ ( $100 = 8 \times 12 + 4$ ), quindi la cifra delle centinaia conta ancora. Il criterio dell' $8$ richiede le ultime tre cifre.

Corretto: Controlla $124$ : $124 = 8 \times 15 + 4$ . Quindi $3124$ non è divisibile per $8$ (resto $4$ ).

Pensare che divisibile per $2$ e per $4$ significhi divisibile per $8$

Perché è sbagliato: $12$ è divisibile per $2$ e per $4$ , ma $12 \div 8 = 1{,}5$ . Combinare i criteri funziona solo se i due numeri sono primi tra loro, come $2$ e $3$ per il $6$ . $2$ e $4$ hanno il fattore comune $2$ .

Corretto: Per l' $8$ usa il suo criterio (ultime tre cifre). Per il $6$ puoi combinare $2$ e $3$ .

Controllare solo una parte del criterio del $6$ : " $27$ è divisibile per $3$ , quindi per $6$ "

Perché è sbagliato: Il $6$ richiede entrambi i controlli. $27$ è dispari, quindi non supera il controllo del $2$ . Allo stesso modo $26$ è pari, ma la somma delle sue cifre, $8$ , non supera il controllo del $3$ .

Corretto: Un numero è divisibile per $6$ solo se è pari e la somma delle sue cifre è divisibile per $3$ , per esempio $5742$ .

Perché è importante

Questi tre criteri servono ogni volta che le cose vanno a gruppi di 4, 6 o 8:

Calendario: un anno è bisestile quando è divisibile per $4$ , con una regola speciale per gli anni secolari come $1900$ e $2000$
Confezioni: uova e bibite si vendono in confezioni da $6$ , pastelli e bottiglie in scatole o casse da $8$ . Bastano $1734$ muffin a riempire esattamente scatole da $6$ ?
Informatica: $1$ byte è fatto di $8$ bit, e le dimensioni della memoria sono multipli di $8$
Frazioni: se trovi un fattore $4$ , $6$ o $8$ nel numeratore e nel denominatore, semplifichi in fretta, come $\frac{24}{32} = \frac{3}{4}$ dividendo entrambi per $8$
Controllo: un'occhiata alle ultime cifre ti dice se un calcolo come $7316 \div 4$ viene esatto prima ancora di farlo

Le idee dietro questi criteri (

100 = 4 \times 25

1000 = 8 \times 125

6 = 2 \times 3

) sono anche il primo passo verso i criteri per 12, 15, 18 e oltre.

Applicazioni nel mondo reale

Gli anni bisestili di un secolo

Il calendario aggiunge un giorno (il 29 febbraio) in ogni anno divisibile per 4, ma salta gli anni secolari non divisibili per 400.

Esempio:

$2024$ è bisestile ( $24 = 4 \times 6$ ), il $2000$ lo era ( $2000 = 400 \times 5$ ), ma il $1900$ no ( $1900 \div 400 = 4{,}75$ ).

1Provaci tu stesso

Conti gli anni bisestili dal 2001 al 2100, compreso il 2100.

Quanti anni bisestili ci sono in questo periodo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il numero di anni bisestili:

Confezioni da sei

Panetterie, allevamenti di galline e produttori di bibite confezionano a gruppi di 6. I criteri del 2 e del 3 dicono loro, prima di contare, se non avanzerà nulla.

Esempio:

$4320$ uova riempiono esattamente scatole da $6$ : $4320$ è pari e $4 + 3 + 2 + 0 = 9$ è divisibile per $3$ , quindi $4320 \div 6 = 720$ scatole.

2Provaci tu stesso

Una panetteria ha 1734 muffin e li mette in scatole da 6.

Quante scatole piene può riempire senza che avanzino muffin?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi la divisione che dà il numero di scatole:

Casse da otto

Bottiglie e lattine viaggiano spesso in casse da 8. In un ordine grande, solo le ultime tre cifre decidono se le casse vengono esatte.

Esempio:

$1560$ matite stanno in scatole da $8$ : le ultime tre cifre $560 = 8 \times 70$ , quindi $1560 \div 8 = 195$ scatole.

3Provaci tu stesso

Un magazzino riceve 23.512 bottiglie da caricare in casse da 8.

Quante casse piene riempie?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi la divisione che dà il numero di casse:

Punti chiave

1Divisibile per $4$ : le ultime due cifre formano un numero divisibile per $4$ , perché $100 = 4 \times 25$
2Controllo rapido per il $4$ : con decine pari l'ultima cifra è $0$ , $4$ o $8$ ; con decine dispari è $2$ o $6$
3Divisibile per $8$ : le ultime tre cifre formano un numero divisibile per $8$ , perché $1000 = 8 \times 125$
4Divisibile per $6$ : pari e somma delle cifre divisibile per $3$ (devono riuscire entrambi i controlli)
5Divisibile per $8$ implica divisibile per $4$ , che implica divisibile per $2$ , ma non il contrario ( $12$ )
6Anni bisestili: divisibili per $4$ , ma gli anni secolari solo se divisibili per $400$ ( $2000$ sì, $1900$ no)

Domande frequenti

Perché le ultime due cifre decidono la divisibilità per 4?

Ogni numero intero è un certo numero di centinaia più le sue ultime due cifre:

7316 = 73 \times 100 + 16

. Poiché

100 = 4 \times 25

, ogni numero intero di centinaia è divisibile per

4

. Il resto della divisione per

4

è quindi lo stesso del numero formato dalle ultime due cifre. La stessa idea con

1000 = 8 \times 125

dà il criterio dell'

8

Se un numero è divisibile per 4, è anche divisibile per 8?

Non sempre.

12

20

28

sono divisibili per

4

ma non per

8

. La catena scende soltanto: ogni multiplo di

8

è multiplo di

4

(perché

8 = 4 \times 2

), e ogni multiplo di

4

è pari.

Posso costruire altri criteri come 6 = 2 e 3?

Sì, ma solo con numeri primi tra loro (nessun divisore comune oltre a

1

6 = 2 \times 3

funziona perché

2

3

sono primi tra loro.

8 = 2 \times 4

non funziona, perché

2

4

hanno il divisore comune

2

12

supera entrambi i controlli e non è comunque divisibile per

8

. La lezione Criteri di divisibilità combinati lo mostra per

12

15

18

36

Perché gli anni secolari devono essere divisibili per 400 per essere bisestili?

Un anno dura circa

365{,}2422

giorni. Un giorno in più ogni

4

anni dà in media

365{,}25

giorni, un po' troppo. Saltando

3

giorni in più ogni

400

anni (

1700

1800

1900

, ma non

2000

) restano

97

anni bisestili in

400

anni:

365 + \frac{97}{400} = 365{,}2425

giorni, molto vicino al valore reale.

Glossario

Criterio di divisibilità: Una scorciatoia che dice se un numero è divisibile per un altro senza fare tutta la divisione, per esempio le ultime due cifre per il $4$ .
Divisibile per: Un numero intero è divisibile per $n$ quando la divisione per $n$ dà resto $0$ : $7316$ è divisibile per $4$ .
Resto: Ciò che avanza dopo aver diviso il maggior numero intero di volte possibile: $34 : 4 = 8$ con resto $2$ .
Somma delle cifre: La somma di tutte le cifre di un numero: la somma delle cifre di $5742$ è $5 + 7 + 4 + 2 = 18$ .
Primi tra loro (coprimi): Due numeri interi sono primi tra loro quando il loro unico divisore comune è $1$ , come $2$ e $3$ . Allora essere divisibile per entrambi equivale a essere divisibile per il loro prodotto.
Anno bisestile: Un anno di $366$ giorni (con il 29 febbraio): divisibile per $4$ , ma un anno secolare solo se divisibile per $400$ .

Scheda formule

Divisibile per 4

Ultime due cifre divisibili per

4

Controlla le ultime due cifre, perché $100 = 4 \times 25$

Divisibile per 8

Ultime tre cifre divisibili per

8

Controlla le ultime tre cifre, perché $1000 = 8 \times 125$

Divisibile per 6

Divisibile per

2

e per

3

Ultima cifra pari e somma delle cifre divisibile per 3

Anno bisestile

Divisibile per

4

; anni secolari: per

400

2024 e 2000 sono bisestili, 1900 e 2100 no

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Per gli insegnanti

Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

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Contenuto della lezione

Definizione

Divisibile per 4: le ultime due cifre

Divisibile per 8: le ultime tre cifre

Divisibile per 6: i criteri del 2 e del 3 insieme

Una catena di criteri

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Gli anni bisestili di un secolo

Confezioni da sei

Casse da otto

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Divisibile per 4

Divisibile per 8

Divisibile per 6

Anno bisestile

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Criteri di divisibilità

Divisibilità per 2, 5 e 10

Divisibilità per 3 e 9

Criteri di divisibilità combinati