Guida per l'insegnante: Criteri di divisibilità combinati

Combina criteri semplici per verificare 12, 15, 18 e 36, impara la somma alternata per l'11 e trova tutti i divisori da 2 a 12 in pochi secondi.

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Quiz di classe

10 domande su Divisibilità. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Combinare i criteri di divisibilità di fattori primi tra loro per verificare 12, 15, 18 e 36
Spiegare con un controesempio perché non si possono combinare i criteri di fattori non primi tra loro, come 2 e 6, per verificare il loro prodotto
Applicare la somma alternata per verificare la divisibilità per 11
Trovare velocemente tutti i divisori da 2 a 12 di un numero e risolvere problemi di cifre mancanti con due criteri

Prerequisiti

• Criteri di divisibilità per 2, 5 e 10 (lezione Divisibilità per 2, 5 e 10)
• Criteri della somma delle cifre per 3 e 9 (lezione Divisibilità per 3 e 9)
• Criteri per 4, 8 e 6 = 2 × 3 (lezione Divisibilità per 4, 6 e 8)
• Divisori, multipli e resti

Spunti di discussione

1. 18 è divisibile per 2 e per 6. Perché non è divisibile per 12?
2. Quali coppie di numeri potresti usare per verificare il 24? Quali coppie darebbero risposte sbagliate?
3. Perché l'11 ha bisogno di una somma alternata, mentre per il 9 basta la somma delle cifre?
4. Un numero supera le verifiche del 4 e del 9. Quali altri numeri devono dividerlo?
5. Nella vita di tutti i giorni, quando vorresti sapere se un numero è divisibile per 12 o per 15?

Idee sbagliate comuni

Due fattori qualsiasi il cui prodotto è il divisore danno una verifica valida (12 = 2 × 6)

Rimedio: Fai verificare 18, 30 e 42 con 2 e 6 e poi dividere per 12. Collega l'errore al fattore comune 2 e a mcm(2, 6) = 6.

Una somma alternata pari a 0 significa che il numero non è divisibile per 11

Rimedio: Chiedi quanto fa 0 : 11. Mostra 1386: 6 - 8 + 3 - 1 = 0 e 1386 = 11 × 126.

Se un numero è divisibile per 12, deve essere divisibile anche per 24

Rimedio: Confronta 36 (divisibile per 12, non per 24) con 48. La divisibilità va dal prodotto ai suoi fattori, non al contrario.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Dai una tabella a due colonne: verifica 1, verifica 2, superate entrambe?
• Inizia con 15 = 3 × 5 e 18 = 2 × 9, dove entrambe le verifiche sono facili
• Usa solo numeri di tre e quattro cifre

Per studenti a livello:

• Fare ricerche complete dei divisori da 2 a 12 su numeri di quattro cifre
• Risolvere problemi di cifre mancanti per 12, 18 e 36
• Trovare e spiegare controesempi per coppie non prime tra loro

Per studenti avanzati:

• Costruire verifiche per 24, 45, 72 e 99 con coppie di numeri primi tra loro
• Dimostrare il criterio dell'11 con i resti delle potenze di 10
• Verificare numeri di 12 cifre per 11 e 12 e controllare con l'aritmetica modulare

Allineamento agli standard

4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)
Trovare tutte le coppie di fattori di un numero intero e stabilire se è multiplo di un dato numero di una cifra
6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)
Trovare il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo di due numeri interi

Risorse della lezione

visualTabellone di esercizio sulla divisibilità
Gli studenti indovinano sì o no per ogni divisore da 2 a 12, poi scoprono ogni criterio e il suo esito
activityTrova il controesempio
A coppie cercano numeri che superano due verifiche ma non sono divisibili per il prodotto (2 e 6, 4 e 6, 3 e 12) e spiegano perché
gameGara della cifra mancante
Le squadre gareggiano per trovare la cifra che rende un numero divisibile per 12, 18 o 36
worksheetGriglia di ricerca dei divisori
Una griglia di numeri da verificare per 2 fino a 12, compreso l'11 con la somma alternata

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Alcuni divisori non hanno un criterio proprio, ma puoi combinare due criteri semplici.

Criterio combinato: se

a

b

sono primi tra loro (coprimi: il loro unico divisore comune è

1

), allora un numero divisibile per

a

e per

b

è divisibile per

a \times b

Divisore	Verifica	Perché funziona
$12 = 3 \times 4$	somma delle cifre divisibile per 3 e ultime due cifre divisibili per 4	3 e 4 sono primi tra loro
$15 = 3 \times 5$	somma delle cifre divisibile per 3 e ultima cifra 0 o 5	3 e 5 sono primi tra loro
$18 = 2 \times 9$	ultima cifra pari e somma delle cifre divisibile per 9	2 e 9 sono primi tra loro
$36 = 4 \times 9$	ultime due cifre divisibili per 4 e somma delle cifre divisibile per 9	4 e 9 sono primi tra loro

Attenzione:

12 = 2 \times 6

NON è una verifica valida, perché 2 e 6 hanno il fattore comune 2. Il numero

18

è divisibile per 2 e per 6, ma

18 : 12 = 1{,}5

. In generale, superare le verifiche di

a

e di

b

dimostra la divisibilità per

\text{mcm}(a, b)

, che è uguale ad

a \times b

solo se

a

b

sono primi tra loro.

Divisibilità per 11 (somma alternata): parti dalla cifra delle unità e somma e sottrai le cifre a turno:

+ - + - \dots

Se il risultato è divisibile per 11 (compresi

0

11

-11

22

), il numero è divisibile per 11.

82.918: \quad 8 - 1 + 9 - 2 + 8 = 22 \Rightarrow 82.918 \text{ è divisibile per } 11

Esempi svolti

7128

è divisibile per

12

Scomponi 12 in fattori primi tra loro

12 = 3 \times 4

, e 3 e 4 non hanno divisori comuni oltre a 1 → Verifica 3 e 4

Verifica il 3 con la somma delle cifre

7 + 1 + 2 + 8 = 18

, e

18

è divisibile per 3

Verifica il 4 con le ultime due cifre

Le ultime due cifre formano

28

, e

28 : 4 = 7

→ Divisibile per 4

Combina e controlla

Entrambe le verifiche sono superate, quindi 12 lo divide:

7128 : 12 = 594

→ Divisibile per 12

Risposta: Sì, $7128$ è divisibile per $12$ ( $7128 = 12 \times 594$ ).

Errori comuni

Verificare il 12 con i criteri del 2 e del 6

Perché è sbagliato: 2 e 6 hanno il fattore comune 2, quindi superare entrambe le verifiche dimostra solo la divisibilità per 6. Controesempio: $18$ (e anche $30$ ) è divisibile per 2 e 6, ma non per 12.

Corretto: Usa fattori primi tra loro: $12 = 3 \times 4$ . Controlla la somma delle cifre per il 3 e le ultime due cifre per il 4.

Verificare il 36 con 3 e 12

Perché è sbagliato: 3 e 12 hanno il fattore comune 3. $24$ è divisibile per 3 e per 12, ma $24 : 36$ non è un numero intero.

Corretto: Usa $36 = 4 \times 9$ : ultime due cifre divisibili per 4 e somma delle cifre divisibile per 9.

Pensare che basti una sola verifica superata

Perché è sbagliato: Un criterio combinato richiede ENTRAMBE le verifiche. $25$ finisce con 5 ma la somma delle sue cifre è 7, quindi non è divisibile per 15.

Corretto: Controlla ogni fattore della coppia. Se una verifica fallisce, il numero non è divisibile per il prodotto.

Leggere una somma alternata di $0$ o $-11$ come non divisibile per 11

Perché è sbagliato: Anche $0$ , $-11$ e $-22$ sono multipli di 11. Per $9174$ : $4 - 7 + 1 - 9 = -11$ , e infatti $9174 = 11 \times 834$ .

Corretto: Il numero è divisibile per 11 ogni volta che la somma alternata è $0$ o un qualsiasi multiplo di 11, positivo o negativo.

Perché è importante

I criteri combinati trasformano una domanda grande in due controlli veloci:

Dividere in parti uguali: si possono dare 1350 adesivi a 15 classi senza resto? Due controlli dicono di sì.
Orari: un giorno ha 1440 minuti, quindi un tram ogni 36 minuti riempie il giorno esattamente se 1440 è divisibile per 36.
Frazioni: accorgersi che 12 o 18 divide numeratore e denominatore semplifica una frazione in un solo passaggio.
Numeri enormi: un numero di 12 cifre si verifica per 11 o 12 in pochi secondi, anche quando la calcolatrice mostra troppo poche cifre.

L'idea dietro ogni criterio combinato, i fattori primi tra loro, è anche la chiave del minimo comune multiplo e di tanti indovinelli con cifre mancanti.

Applicazioni nel mondo reale

Dividere in parti uguali

Insegnanti, allenatori e organizzatori devono spesso sapere se degli oggetti si possono distribuire senza resto.

Esempio:

Una scuola ha 1350 adesivi per 15 classi. $15 = 3 \times 5$ : l'ultima cifra è 0 (divisibile per 5) e $1 + 3 + 5 + 0 = 9$ (divisibile per 3). Quindi gli adesivi si possono dividere in parti uguali.

1Provaci tu stesso

Una scuola vuole dare 1350 adesivi a 15 classi, lo stesso numero a ogni classe.

Quanti adesivi riceve ogni classe?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi la divisione che dà gli adesivi per classe:

Orari

Chi organizza i trasporti vuole partenze che si ripetono allo stesso modo ogni giorno. Un giorno ha $24 \times 60 = 1440$ minuti.

Esempio:

Un autobus ogni 12 minuti riempie esattamente un giorno: $1 + 4 + 4 + 0 = 9$ (divisibile per 3) e $40 : 4 = 10$ , quindi 1440 è divisibile per 12, e si ottengono 120 partenze.

2Provaci tu stesso

Un tram parte ogni 36 minuti, giorno e notte, a partire da mezzanotte.

Quanti tram partono in un giorno di 1440 minuti?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi la divisione che dà il numero di partenze:

Il controllo delle 12 cifre

Molte calcolatrici mostrano solo da 8 a 10 cifre, quindi non possono dividere esattamente un numero di 12 cifre. I criteri di divisibilità funzionano con numeri di qualsiasi lunghezza.

Esempio:

Per $123.456.789.012$ la somma delle cifre è $48$ (divisibile per 3) e le ultime due cifre formano $12$ (divisibile per 4), quindi il numero è divisibile per 12.

3Provaci tu stesso

Un codice di 12 cifre è $123.456.789.012$ . Vuoi sapere se è divisibile per 12 e per 11, senza calcolatrice.

Qual è il resto della divisione di $123.456.789.012$ per 12?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il resto:

Punti chiave

1Se $a$ e $b$ sono primi tra loro, un numero divisibile per $a$ e per $b$ è divisibile per $a \times b$
2Verifica il 12 con 3 e 4, il 15 con 3 e 5, il 18 con 2 e 9, il 36 con 4 e 9
3Non verificare mai un prodotto con due fattori che hanno un fattore comune: 18 è divisibile per 2 e 6 ma non per 12
4Divisibile per 11: la somma alternata delle cifre ( $+ - + - \dots$ dalle unità) è un multiplo di 11, compresi $0$ e i multipli negativi
5Per una ricerca veloce dei divisori usa le verifiche sull'ultima cifra, la somma delle cifre e la somma alternata, poi combina le coppie di numeri primi tra loro
6Per una cifra mancante con due criteri, elenca le cifre che superano ciascun criterio e tieni quelle presenti in entrambe le liste

Domande frequenti

Perché i due fattori devono essere primi tra loro?

Un numero divisibile per

a

e per

b

è un multiplo comune di

a

b

, quindi è divisibile per

\text{mcm}(a, b)

. Quando

a

b

sono primi tra loro,

\text{mcm}(a, b) = a \times b

. Quando hanno un fattore comune, il mcm è più piccolo:

\text{mcm}(2, 6) = 6

, non 12.

Perché la somma alternata funziona per l'11?

10 = 11 - 1

, quindi 10 dà resto

-1

nella divisione per 11,

100 = 99 + 1

dà

+1

1000 = 1001 - 1

dà

-1

, e così via. Ogni cifra conta quindi con il segno

+, -, +, -, \dots

a partire dalle unità, e il numero ha lo stesso resto della sua somma alternata.

Conta se inizio la somma alternata da sinistra o da destra?

Per la risposta sì o no non conta: i due risultati sono uguali oppure opposti, e

-22

è multiplo di 11 esattamente quando lo è

22

. Partire dalla cifra delle unità con

+

conserva in più il resto del numero (aggiungi o togli 11 finché arrivi tra 0 e 10), quindi è l'abitudine più sicura.

Posso verificare il 24 con 4 e 6?

No, 4 e 6 hanno il fattore comune 2.

12

è divisibile per 4 e 6 ma non per 24. Usa la coppia di numeri primi tra loro

24 = 3 \times 8

: somma delle cifre divisibile per 3 e ultime tre cifre divisibili per 8.

Glossario

Primi tra loro (coprimi): Due numeri sono primi tra loro se il loro unico divisore comune è 1. Esempio: 4 e 9 sono primi tra loro, 2 e 6 no.
Criterio di divisibilità combinato: Una verifica per un prodotto $a \times b$ di numeri primi tra loro: il numero deve superare la verifica di $a$ e quella di $b$ .
Somma alternata: Le cifre sommate e sottratte a turno a partire dalle unità: per 2816 è $6 - 1 + 8 - 2 = 11$ .
Somma delle cifre: La somma di tutte le cifre di un numero. La somma delle cifre di 1980 è $1 + 9 + 8 + 0 = 18$ .
Resto: Ciò che avanza dopo la divisione. $18 : 12 = 1$ con resto $6$ .
Minimo comune multiplo (mcm): Il più piccolo numero che è multiplo di entrambi i numeri. $\text{mcm}(3, 4) = 12$ , $\text{mcm}(2, 6) = 6$ .

Scheda formule

Criterio combinato

a, b

primi tra loro:

a \mid n

b \mid n \Rightarrow a \times b \mid n

Funziona solo se i due fattori non hanno divisori comuni oltre a 1

Divisibile per 12

12 = 3 \times 4

Somma delle cifre divisibile per 3 e ultime due cifre divisibili per 4

Divisibile per 15

15 = 3 \times 5

Somma delle cifre divisibile per 3 e ultima cifra 0 o 5

Divisibile per 18

18 = 2 \times 9

Ultima cifra pari e somma delle cifre divisibile per 9

Divisibile per 36

36 = 4 \times 9

Ultime due cifre divisibili per 4 e somma delle cifre divisibile per 9

Divisibile per 11

d_0 - d_1 + d_2 - d_3 + \dots

La somma alternata dalle unità è un multiplo di 11 (compreso 0)

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Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Dividere in parti uguali

Orari

Il controllo delle 12 cifre

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

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Criterio combinato

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