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Guida per l'insegnante: Divisibilità per 3 e 9

Impara il criterio della somma delle cifre: somma le cifre di un numero per capire subito se è divisibile per 3 o per 9, trova le cifre mancanti e controlla le addizioni.

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Quiz di classe

10 domande su Divisibilità. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento
  • Calcolare la somma delle cifre e la somma delle cifre ripetuta di un numero naturale
  • Usare la somma delle cifre per decidere se un numero è divisibile per 3 e per 9
  • Spiegare perché ogni multiplo di 9 è multiplo di 3, ma non viceversa
  • Spiegare il criterio con il valore posizionale: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1
  • Trovare una cifra mancante perché un numero sia divisibile per 3 o 9, e controllare un'addizione con la prova del nove
Prerequisiti
  • • Criteri di divisibilità: che cosa significa divisibile per e che cos'è un resto
  • • Divisibilità per 2, 5 e 10: criteri che guardano l'ultima cifra
  • • Le tabelline del 3 e del 9
  • • Valore posizionale: unità, decine, centinaia, migliaia
Spunti di discussione
  • 1. Perché l'ultima cifra ci dice qualcosa su 2, 5 e 10, ma non su 3 e 9?
  • 2. Se mescoli le cifre di un numero divisibile per 9, il nuovo numero è ancora divisibile per 9? Perché?
  • 3. Riesci a trovare un numero divisibile per 3 ma non per 9? E uno divisibile per 9 ma non per 3?
  • 4. Che cosa c'è di speciale in 10 = 9 + 1? Un trucco simile funzionerebbe per l'11?
  • 5. La prova del nove dice che un risultato va bene. Può essere comunque sbagliato?
Idee sbagliate comuni

Un numero che finisce con 3, 6 o 9 è divisibile per 3

Rimedio: Mostra controesempi uno accanto all'altro: 13, 16, 19 non sono divisibili per 3, ma 12, 15, 21 sì. Poi somma le cifre di ciascuno per mostrare che decide la somma delle cifre.

Divisibile per 3 e divisibile per 9 sono la stessa cosa

Rimedio: Scrivi i multipli di 3 fino a 36 e cerchia i multipli di 9: uno su tre è cerchiato. Somma 3 o 6 dà solo il 3, somma 9 dà entrambi.

La somma delle cifre è il risultato della divisione

Rimedio: Sottolinea che la somma delle cifre risponde solo sì o no (e dà il resto). Per 4527 la somma è 18, ma 4527 ÷ 9 fa 503.

Se la prova del nove torna, il risultato è sicuramente giusto

Rimedio: Proponi 2345 + 1678 = 4032 (cifre scambiate). La prova torna, ma il risultato è sbagliato. La prova trova molti errori, non tutti.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

  • • Iniziare con numeri di 2 cifre e tenere le tabelline del 3 e del 9 sul banco
  • • Usare carte delle cifre o gettoni per sommare le cifre una alla volta
  • • Controllare ogni risposta con la calcolatrice perché gli alunni si fidino del criterio

Per studenti a livello:

  • • Lavorare con numeri da 4 a 6 cifre e somme ripetute
  • • Risolvere indovinelli con cifra mancante per il 3 e per il 9
  • • Controllare addizioni con la prova del nove

Per studenti avanzati:

  • • Dimostrare il criterio per un numero di 3 cifre abc usando 100a + 10b + c
  • • Trovare tutti i numeri di 3 cifre che iniziano con 1 e sono divisibili per 9, e spiegare la regolarità
  • • Combinare i criteri: quali cifre rendono 7_2 divisibile per 6 (per 2 e per 3)?
Allineamento agli standard
  • 4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)

    Trovare tutte le coppie di fattori di un numero naturale da 1 a 100 e stabilire se un numero è multiplo di un numero di una cifra

  • 4.NBT.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.4.NBT.A.1)

    Riconoscere che in un numero di più cifre, una cifra rappresenta dieci volte ciò che rappresenta nella posizione alla sua destra

  • 6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)

    Trovare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo di numeri naturali e usare la proprietà distributiva

Risorse della lezione
  • visualEsercitarsi con la divisibilità

    Gli alunni rispondono sì o no per 3 e 9, poi lo strumento mostra la somma delle cifre e la divisione vera

  • visualPerché funziona

    Un numero lungo scomposto in multipli di 999, 99 e 9 più la somma delle sue cifre

  • activityMescola le carte delle cifre

    A coppie, gli alunni formano numeri di 3 e 4 cifre con le carte, prevedono la divisibilità per 3 e 9, poi mescolano le carte e vedono che la risposta non cambia

  • gameGara della cifra mancante

    Le squadre gareggiano per trovare tutte le cifre che rendono un numero come 52_4 divisibile per 3, poi l'unica cifra per il 9

  • worksheetControlla le addizioni

    Dieci addizioni, alcune con errori: gli alunni usano la prova del nove per trovare quelle sbagliate

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Per capire se un numero è divisibile per 3 o divisibile per 9, l'ultima cifra non serve. Invece, sommi tutte le sue cifre. Questo totale si chiama somma delle cifre.

Il criterio per 3

Un numero è divisibile per 33 quando la somma delle sue cifre è divisibile per 33.
516:5+1+6=12,12÷3=4✓(516÷3=172)516: \quad 5 + 1 + 6 = 12, \quad 12 \div 3 = 4 \quad \checkmark \quad (516 \div 3 = 172)

Il criterio per 9

Un numero è divisibile per 99 quando la somma delle sue cifre è divisibile per 99.
4527:4+5+2+7=18,18÷9=2✓(4527÷9=503)4527: \quad 4 + 5 + 2 + 7 = 18, \quad 18 \div 9 = 2 \quad \checkmark \quad (4527 \div 9 = 503)

Numeri grandi: somma di nuovo

Se la somma delle cifre è ancora grande, somma di nuovo le sue cifre finché resta una sola cifra:
987.654→39→12→3987.654 \rightarrow 39 \rightarrow 12 \rightarrow 3
L'ultima cifra che ottieni dice tutto: 33, 66 o 99 significa divisibile per 33, e solo 99 significa divisibile per 99.

Il 9 è più severo del 3

Ogni numero divisibile per 99 è anche divisibile per 33 (perché 9=3×39 = 3 \times 3). Il contrario non è vero: 516516 è divisibile per 33, ma la somma delle sue cifre 1212 non è divisibile per 99, quindi 516516 non è divisibile per 99.

Esempi svolti

516516 è divisibile per 33? È divisibile per 99?
1

Somma tutte le cifre

5+1+6=125 + 1 + 6 = 12 → Somma delle cifre: 1212
2

Controlla la somma per il 3

12÷3=412 \div 3 = 4, senza resto → 516516 è divisibile per 33: 516÷3=172516 \div 3 = 172
3

Controlla la somma per il 9

12÷9=112 \div 9 = 1 resto 33 → 516516 non è divisibile per 99

Errori comuni

Guardare l'ultima cifra, come per 2, 5 e 10

Perché è sbagliato: L'ultima cifra non dice nulla su 3 o 9. 2323 finisce con 33 ma non è divisibile per 33, mentre 2727 finisce con 77 ed è divisibile per 33 e per 99.

Corretto: Somma sempre tutte le cifre: 2+7=92 + 7 = 9, quindi 2727 è divisibile per 33 e per 99.

Pensare che ogni numero divisibile per 3 sia anche divisibile per 9

Perché è sbagliato: Il criterio per 99 è più severo. Una somma delle cifre di 1212 o 1515 è multiplo di 33 ma non di 99.

Corretto: 516516 (somma 1212) è divisibile per 33 ma non per 99. Al contrario funziona sempre: ogni multiplo di 99 è multiplo di 33.

Fermarsi alla prima cifra che va bene in un indovinello con cifra mancante

Perché è sbagliato: Per il 33 di solito vanno bene tre o quattro cifre, perché i multipli di 33 distano solo 33 l'uno dall'altro.

Corretto: Per 52□452\square4 e il 33, prova 1212, 1515 e 1818: la casella può contenere 11, 44 o 77.

Credere che una prova del nove riuscita dimostri che il risultato è giusto

Perché è sbagliato: La prova del nove trova solo alcuni errori. Scambiare due cifre non cambia la somma delle cifre, quindi 40324032 supera la stessa prova di 40234023.

Corretto: Se la prova non torna, il risultato è sicuramente sbagliato. Se torna, probabilmente è giusto, ma non è certo.

Perché è importante

Il criterio della somma delle cifre è una delle scorciatoie più utili del calcolo:
  • Dividere in parti uguali: si possono dividere 378 adesivi tra 9 amici? 3+7+8=183 + 7 + 8 = 18, quindi sì, senza fare prima la divisione.
  • Semplificare le frazioni: in 5187\frac{51}{87} entrambe le somme delle cifre (66 e 1515) sono divisibili per 33, quindi puoi dividere entrambi per 33: 1729\frac{17}{29}.
  • Controllare i calcoli: la somma delle cifre conserva il resto della divisione per 99, così puoi controllare una lunga addizione in pochi secondi (si chiama prova del nove).
  • Giochi con i numeri: gli indovinelli con una cifra mancante e i codici nascondono spesso un numero divisibile per 33 o per 99.
Dopo i criteri per 2, 5 e 10 (che guardano l'ultima cifra), questo è il primo criterio che usa tutte le cifre, e ti prepara ai criteri per 6 e 12.

Applicazioni nel mondo reale

Formare squadre uguali

Allenatori e insegnanti devono spesso dividere un gruppo in squadre uguali. La somma delle cifre dice subito se è possibile.

Esempio:

135135 corridori possono partire in 99 gruppi uguali? 1+3+5=91 + 3 + 5 = 9, quindi sì: 135÷9=15135 \div 9 = 15 corridori per gruppo.

1Provaci tu stesso

Alla giornata sportiva di una scuola ci sono 378378 alunni. Gli insegnanti vogliono formare 99 squadre della stessa grandezza.

Quanti alunni ci saranno in ogni squadra?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Dividi gli alunni in 9 squadre:

Controllare un conto

Prima delle calcolatrici, negozianti e contabili controllavano le lunghe addizioni con le somme delle cifre. È ancora un modo veloce per scoprire una svista nei tuoi calcoli.

Esempio:

1236+2458=36941236 + 2458 = 3694: i resti sono 33 e 11, che sommati fanno 44, e anche 36943694 dà 3+6+9+4=22→43 + 6 + 9 + 4 = 22 \rightarrow 4. La prova torna.

2Provaci tu stesso

Un cassiere somma due bolle di consegna: 1236+2458=36941236 + 2458 = 3694. Vuoi controllare il totale con i resti della divisione per 99.

Che resto dà il totale 36943694 nella divisione per 99?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Trova il resto di 3694 diviso 9:

Decifrare un codice

I libri di enigmi e le escape room adorano i codici con una cifra mancante. Un indizio di divisibilità dà spesso la risposta in un passo.

Esempio:

Un codice 7□27\square2 è divisibile per 99: 7+2=97 + 2 = 9, quindi nella casella ci deve essere 00 o 99 (702702 o 792792).

3Provaci tu stesso

Il codice di un lucchetto per bici è 4□714\square71. Un biglietto dice: il codice è divisibile per 99.

Quale cifra manca?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Trova la cifra che porta la somma delle cifre al multiplo di 9 successivo:

Punti chiave

  • 1La somma delle cifre è il totale di tutte le cifre di un numero: per 45274527 è 4+5+2+7=184 + 5 + 2 + 7 = 18
  • 2Un numero è divisibile per 33 quando la somma delle sue cifre è divisibile per 33, e per 99 quando la somma delle sue cifre è divisibile per 99
  • 3Per i numeri grandi, somma le cifre più volte finché resta una sola cifra: 33, 66, 99 significano divisibile per 33, solo 99 significa divisibile per 99
  • 4Ogni multiplo di 99 è multiplo di 33, ma non ogni multiplo di 33 è multiplo di 99
  • 5Funziona perché 10=9+110 = 9 + 1, 100=99+1100 = 99 + 1, 1000=999+11000 = 999 + 1: i nove spariscono e resta solo la somma delle cifre
  • 6Un numero e la somma delle sue cifre danno lo stesso resto nella divisione per 33 o per 99, e così trovi le cifre mancanti e controlli le addizioni (prova del nove)

Domande frequenti

Conta l'ordine delle cifre?

No. 45274527, 72547254 e 27452745 hanno tutti somma delle cifre 1818, quindi tutti e tre sono divisibili per 99. Spostare le cifre non cambia mai la loro somma.

E la cifra 0?

Uno 00 non aggiunge nulla alla somma delle cifre, quindi puoi saltarlo. 30513051 e 351351 hanno la stessa somma delle cifre 99, e sono entrambi divisibili per 99.

Perché il trucco non funziona per il 7?

Funziona per 33 e 99 perché 1010 è esattamente 11 in più di un multiplo di 99. Per il 77 non è così (10=7+310 = 7 + 3), quindi i valori posizionali non spariscono. Il 77 ha bisogno di un altro criterio.

Come ricavo il resto dalla somma delle cifre?

Riduci il numero a una sola cifra. Per il 99 quella cifra è il resto, tranne che 99 significa resto 00. Per esempio 7654→22→47654 \rightarrow 22 \rightarrow 4, e infatti 7654=9×850+47654 = 9 \times 850 + 4.

Glossario

Somma delle cifre
Il totale che ottieni sommando tutte le cifre di un numero, per esempio 372→3+7+2=12372 \rightarrow 3 + 7 + 2 = 12
Somma delle cifre ripetuta
Sommare le cifre più volte finché resta una sola cifra, per esempio 987.654→39→12→3987.654 \rightarrow 39 \rightarrow 12 \rightarrow 3
Divisibile per
Un numero è divisibile per 33 se la divisione per 33 non lascia resto, per esempio 372÷3=124372 \div 3 = 124
Criterio di divisibilità
Una scorciatoia che dice se un numero è divisibile per un altro senza fare la divisione
Resto
Ciò che avanza dopo una divisione, per esempio 23÷9=223 \div 9 = 2 resto 55
Prova del nove
Controllare un calcolo sostituendo ogni numero con il suo resto nella divisione per 99 (la sua somma delle cifre ripetuta)

Scheda formule

Criterio per 3

3∣n  ⟺  3∣somma delle cifre di n3 \mid n \iff 3 \mid \text{somma delle cifre di } n

Un numero è divisibile per 3 quando la somma delle sue cifre è divisibile per 3

Criterio per 9

9∣n  ⟺  9∣somma delle cifre di n9 \mid n \iff 9 \mid \text{somma delle cifre di } n

Un numero è divisibile per 9 quando la somma delle sue cifre è divisibile per 9

Perché funziona

4527=4×999+5×99+2×9+(4+5+2+7)4527 = 4 \times 999 + 5 \times 99 + 2 \times 9 + (4 + 5 + 2 + 7)

Le parti con 999, 99 e 9 sono sempre multipli di 9, quindi decide solo la somma delle cifre

Stesso resto

7654→22→4,7654=9×850+47654 \rightarrow 22 \rightarrow 4, \quad 7654 = 9 \times 850 + 4

Un numero dà lo stesso resto della somma delle sue cifre nella divisione per 9 (o per 3)

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