Grafici delle funzioni esponenziali

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Qual è l'intercetta con l'asse y del grafico di $y = 5 \cdot 3^x$ ?
1. a) $(0, 15)$
2. b) $(5, 0)$
3. c) $(0, 5)$
4. d) $(0, 3)$
Risposta: $(0, 5)$
$y = 5 \cdot 3^0 = 5 \cdot 1 = 5$ , quindi il grafico taglia l'asse y in $(0, 5)$ . La base 3 decide solo quanto velocemente sale il grafico.
2.
Quale grafico scende da sinistra a destra?
1. a) $y = 0{,}5 \cdot 3^x$
2. b) $y = 2 \cdot (1{,}1)^x$
3. c) $y = 4 \cdot (0{,}3)^x$
4. d) $y = 4 \cdot 2^x$
Risposta: $y = 4 \cdot (0{,}3)^x$
Tutte e quattro hanno $a > 0$ , quindi decide la base. Solo $0{,}3$ è tra 0 e 1, quindi $y = 4 \cdot (0{,}3)^x$ scende. Il fattore $0{,}5$ davanti a $3^x$ comprime solo il grafico; sale comunque perché $3 > 1$ .
3.
Qual è l'asintoto orizzontale di $y = 2^x - 7$ ? Inserisci il numero $k$ in $y = k$ .
Risposta: -7
Sottrarre 7 sposta tutto il grafico di 7 unità verso il basso, compreso l'asintoto: $y = 0$ diventa $y = -7$ .
4.
Per $f(x) = 3 \cdot 2^x$ , calcola $f(-1)$ . Scrivi la risposta come numero decimale o come frazione.
Risposta: 1.5
$f(-1) = 3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1{,}5$ . Il punto $(-1; 1{,}5)$ sta sulla parte piatta a sinistra del grafico.
5.
Costruisci una tabella di valori per $y = 4 \cdot 2^x$ . Quanto vale $y$ in $x = 3$ ?
Risposta: 32
1. Quanto vale $y$ in $x = -2$ ? 1
2. Quanto vale $y$ in $x = 0$ ? 4
3. Quanto vale $y$ in $x = 2$ ? 16
4. Quanto vale $y$ in $x = 3$ ? 32
6.
Costruisci una tabella di valori per $y = 6 \cdot (0{,}5)^x$ . Quanto vale $y$ in $x = 3$ ? Scrivi un numero decimale.
Risposta: 0.75
1. Quanto vale $y$ in $x = -2$ ? 24
2. Quanto vale $y$ in $x = -1$ ? 12
3. Quanto vale $y$ in $x = 1$ ? 3
4. Quanto vale $y$ in $x = 3$ ? 0.75
7.
Il grafico di $y = 2^x$ viene traslato di 3 unità a sinistra e di 1 unità verso il basso. Quale equazione descrive il nuovo grafico?
1. a) $y = 2^{x-1} + 3$
2. b) $y = 2^{x+3} + 1$
3. c) $y = 2^{x-3} - 1$
4. d) $y = 2^{x+3} - 1$
Risposta: $y = 2^{x+3} - 1$
3 a sinistra significa $x - h$ con $h = -3$ , cioè $x + 3$ ; 1 verso il basso significa $k = -1$ . Quindi $y = 2^{x+3} - 1$ , con asintoto $y = -1$ .
8.
Qual è l'insieme immagine di $y = -4 \cdot 2^x + 1$ ?
1. a) $y > -4$
2. b) $y < 1$
3. c)tutti i numeri reali
4. d) $y > 1$
Risposta: $y < 1$
L'asintoto è $y = 1$ ( $k = 1$ ). Poiché $a = -4 < 0$ , il termine $-4 \cdot 2^x$ è sempre negativo, quindi $y$ è sempre minore di 1: l'insieme immagine è $y < 1$ .
9.
Il grafico di $y = 3^{x+2} - 5$ taglia l'asse y in $(0, ?)$ . Inserisci l'ordinata.
Risposta: 4
$y = 3^{0+2} - 5 = 9 - 5 = 4$ . L'intercetta è $(0, 4)$ , non $(0, 1)$ e non $(0, -4)$ , perché il grafico è stato anche traslato di 2 a sinistra.
10.
Il grafico di $y = a \cdot b^x$ passa per $(0, 5)$ e $(2, 45)$ , con $b > 0$ . Trova $b$ .
Risposta: 3
$a = 5$ dall'intercetta. Poi $5 \cdot b^2 = 45$ , quindi $b^2 = 9$ e $b = 3$ (la base è positiva). L'equazione è $y = 5 \cdot 3^x$ .
11.
Il grafico di $y = a \cdot b^x$ passa per $(0, 3)$ e $(1, 6)$ . Trova l'equazione e il valore di $y$ in $x = 4$ .
Risposta: 48
1. Quanto vale $a$ ? 3
2. Quanto vale $b$ ? 2
3. Quanto vale $y$ in $x = 4$ ? 48
12.
Per $y = 2^{x+1} - 4$ , trova l'asintoto, l'intercetta con l'asse y e l'intersezione con l'asse x. Dove taglia l'asse x il grafico? Inserisci l'ascissa di quel punto.
Risposta: 1
1. L'asintoto è $y = k$ . Quanto vale $k$ ? -4
2. Quanto vale $y$ in $x = 0$ ? -2
3. Risolvi $2^{x+1} = 4$ . Quanto vale $x$ ? 1
13.
Costruisci una tabella di valori per $y = -3 \cdot 2^x + 2$ e trova il suo asintoto. Usa numeri decimali dove serve.
Risposta: 2
1. Quanto vale $y$ in $x = 0$ ? -1
2. Quanto vale $y$ in $x = -1$ ? 0.5
3. Quanto vale $y$ in $x = 2$ ? -10
4. L'asintoto è $y = k$ . Quanto vale $k$ ? 2
14.
Quale descrizione corrisponde al grafico di $y = -2 \cdot 3^{x-1} + 5$ ?
1. a)Decrescente, asintoto $y = -5$ , immagine $y < -5$
2. b)Crescente, asintoto $y = 1$ , immagine $y < 1$
3. c)Crescente, asintoto $y = 5$ , immagine $y > 5$
4. d)Decrescente, asintoto $y = 5$ , immagine $y < 5$
Risposta: Decrescente, asintoto $y = 5$ , immagine $y < 5$
$k = 5$ dà l'asintoto $y = 5$ . Poiché $a = -2 < 0$ , il grafico sta sotto l'asintoto, quindi l'insieme immagine è $y < 5$ . Con $b = 3 > 1$ il termine $3^{x-1}$ cresce, e moltiplicare per $-2$ fa decrescere $y$ da sinistra a destra.
15.
Il grafico di $y = a \cdot b^x$ passa per $(1, 6)$ e $(3, 54)$ , con $b > 0$ . Trova $a$ .
Risposta: 2
$b^2 = 54 : 6 = 9$ , quindi $b = 3$ . Poi $a \cdot 3 = 6$ dà $a = 2$ . Verifica: $2 \cdot 3^3 = 54$ . L'equazione è $y = 2 \cdot 3^x$ .
16.
Il grafico di $y = a \cdot b^x$ passa per $(2, 12)$ e $(4, 48)$ , con $b > 0$ . Trova l'equazione e il valore di $y$ in $x = 5$ .
Risposta: 96
1. Quanto vale $b^2 = 48 : 12$ ? 4
2. Quanto vale $b$ ? 2
3. Quanto vale $a$ ? 3
4. Quanto vale $y$ in $x = 5$ ? 96
17.
Un grafico della forma $y = a \cdot b^x + 2$ ha asintoto $y = 2$ e passa per $(0, 5)$ e $(1, 11)$ . Trova $a$ e $b$ , poi il valore di $y$ in $x = 2$ .
Risposta: 29
1. Usa $(0, 5)$ : $a \cdot 1 + 2 = 5$ . Quanto vale $a$ ? 3
2. Usa $(1, 11)$ : $3 \cdot b + 2 = 11$ . Quanto vale $b$ ? 3
3. Quanto vale $y$ in $x = 2$ ? 29
18.
Trova dove il grafico di $y = 3 \cdot 2^x - 24$ taglia i due assi. Qual è l'ascissa dell'intersezione con l'asse x?
Risposta: 3
1. Quanto vale $y$ in $x = 0$ ? -21
2. Poni $y = 0$ : $3 \cdot 2^x = 24$ . Quanto vale $2^x$ ? 8
3. Quanto vale $x$ ? 3