Guida per l'insegnante: Problemi sul tempo di dimezzamento

Impara a usare il tempo di dimezzamento per trovare quanto resta di una sostanza, quanto tempo è passato e quanto dura un dimezzamento.

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Quiz di classe

10 domande su Funzioni esponenziali. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Usare la formula $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ per trovare la quantità rimasta
Trovare la frazione e la percentuale rimaste di una sostanza dopo un certo numero di dimezzamenti
Trovare il tempo trascorso quando la frazione rimasta è una potenza di $\frac{1}{2}$
Trovare il tempo di dimezzamento di una sostanza da due misurazioni
Applicare il tempo di dimezzamento alla datazione al carbonio 14, ai farmaci e allo iodio 131

Prerequisiti

• Introduzione alle funzioni esponenziali: la forma $f(x) = a \cdot b^x$
• Crescita esponenziale: moltiplicare per un fattore costante in intervalli uguali
• Potenze di 2 e potenze di frazioni, come $\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}$
• Trasformare frazioni in numeri decimali e percentuali

Spunti di discussione

1. Se un farmaco ha un tempo di dimezzamento di 6 ore, perché i medici non dicono di prenderlo ogni 12 ore a dose doppia?
2. Un campione radioattivo arriva mai esattamente a zero? Perché?
3. Perché con il carbonio 14 si può datare un osso di 10000 anni ma non un fossile di dinosauro di 10 milioni di anni?
4. In che cosa il dimezzare a ogni tempo di dimezzamento somiglia al raddoppiare a ogni tempo di raddoppio?

Idee sbagliate comuni

Dopo due dimezzamenti il campione è sparito del tutto

Rimedio: Costruisci con la classe una tabella dei dimezzamenti: $100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5$ . Chiedi che cosa resta dopo il secondo dimezzamento. Usa la simulazione con le monete per mostrare che qualche moneta resta sempre.

L'esponente nella formula è il tempo $t$

Rimedio: Chiedi: quante volte si è dimezzata la quantità in 12 ore se il tempo di dimezzamento è di 4 ore? Gli studenti contano 3 dimezzamenti, e questo mostra che l'esponente è $\frac{t}{T}$ .

Se resta $\frac{1}{16}$ , sono passati 16 dimezzamenti

Rimedio: Scrivi $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$ e numerali da 1 a 4. È la posizione nella lista, non il denominatore, a dare il numero di dimezzamenti.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Usare tabelle dei dimezzamenti (tempo, numero di dimezzamenti, quantità) prima della formula
• Restare su numeri interi di dimezzamenti e quantità iniziali che sono potenze di 2
• Usare il visualizzatore di successioni per vedere ogni dimezzamento come una barra

Per studenti a livello:

• Trovare il tempo trascorso dalla frazione rimasta
• Trovare il tempo di dimezzamento da due misurazioni
• Passare dalla frazione rimasta alla percentuale rimasta e alla percentuale decaduta

Per studenti avanzati:

• Lavorare con numeri non interi di dimezzamenti usando la calcolatrice
• Scrivere il fattore di decadimento per unità di tempo, per esempio $\left(\frac{1}{2}\right)^{1/8}$ al giorno per lo iodio 131
• Modellizzare dosi ripetute di un farmaco e trovare la quantità subito prima della terza dose

Allineamento agli standard

HSF-LE.A.1c (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1.C)
Riconoscere situazioni in cui una quantità cresce o decresce di una percentuale costante per unità di tempo
HSF-LE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.2)
Costruire funzioni lineari ed esponenziali, comprese le successioni aritmetiche e geometriche, da un grafico, una descrizione o due coppie di valori
HSF-LE.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.B.5)
Interpretare i parametri di una funzione lineare o esponenziale in un contesto
HSF-IF.C.8b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.8.B)
Usare le proprietà delle potenze per interpretare espressioni di funzioni esponenziali

Risorse della lezione

visualSuccessione dei dimezzamenti
Successione geometrica che parte da 64 con ragione 0,5 e mostra le barre che si dimezzano a ogni tempo di dimezzamento
activitySimulazione del decadimento con le monete
Gli studenti lanciano 100 monete, tolgono quelle che mostrano testa a ogni turno e annotano quante ne restano, poi confrontano con 100 per un mezzo a ogni turno
worksheetDetective del dimezzamento
Problemi su carbonio 14, dosi di farmaci e iodio 131 con numeri interi di dimezzamenti

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Il tempo di dimezzamento

T

di una sostanza è il tempo necessario perché metà della sostanza scompaia (decada, si degradi o lasci il corpo). Dopo ogni tempo di dimezzamento, la quantità viene moltiplicata per

\frac{1}{2}

N_0

è la quantità iniziale, la quantità rimasta dopo un tempo

t

è:

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

dove:

$N_0$ = valore iniziale (per $t = 0$ )
$T$ = tempo di dimezzamento (stessa unità di misura di $t$ )
$\frac{t}{T}$ = il numero di dimezzamenti avvenuti

Dopo

n

dimezzamenti interi, resta

\frac{N_0}{2^n}

Dimezzamenti	0	1	2	3	4	5
Frazione rimasta	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{32}$
Percentuale rimasta	$100\,\%$	$50\,\%$	$25\,\%$	$12{,}5\,\%$	$6{,}25\,\%$	$3{,}125\,\%$

È una decrescita esponenziale con fattore di decadimento

\frac{1}{2}

per ogni dimezzamento: la quantità diventa sempre più piccola, ma non arriva mai esattamente a zero.

Esempi svolti

Un campione di laboratorio contiene $80$ mg di una sostanza con tempo di dimezzamento di $4$ ore. Quanto ne resta dopo $12$ ore?

Trova il numero di dimezzamenti

$\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ → 3 dimezzamenti

Scrivi la formula

$N(12) = 80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ → Formula impostata

Calcola la potenza

$\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}$ → Resta $\frac{1}{8}$ del campione

Moltiplica

$80 \times \frac{1}{8} = 10$ (oppure dimezza tre volte: $80 \to 40 \to 20 \to 10$ ) → $10$ mg

Risposta: Dopo 12 ore restano 10 mg della sostanza.

Errori comuni

Dimezzare ogni ora (o giorno, o anno) invece che una volta per tempo di dimezzamento

Perché è sbagliato: Con un tempo di dimezzamento di 4 ore, alcuni studenti calcolano $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{12}$ dopo 12 ore. Ma la quantità si dimezza solo ogni 4 ore, non ogni ora.

Corretto: L'esponente è il numero di dimezzamenti $\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ , quindi il risultato è $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 10$ .

Togliere metà della quantità INIZIALE a ogni dimezzamento

Perché è sbagliato: Calcolare $100 \to 50 \to 0$ significa trattare il decadimento come lineare. Ogni dimezzamento toglie metà di quello che resta ADESSO, non metà della quantità iniziale.

Corretto: Dimezza ogni volta la quantità attuale: $100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5$ . Un campione non arriva mai esattamente a zero.

Usare il denominatore come numero di dimezzamenti

Perché è sbagliato: Se resta $\frac{1}{8}$ , alcuni studenti dicono che sono passati 8 dimezzamenti. Ma dopo 8 dimezzamenti resterebbe solo $\frac{1}{256}$ .

Corretto: Scrivi il denominatore come potenza di 2: $8 = 2^3$ , quindi sono passati 3 dimezzamenti.

Confondere la frazione rimasta con la frazione decaduta

Perché è sbagliato: Dopo 3 dimezzamenti resta $\frac{1}{8}$ , quindi sono decaduti $\frac{7}{8}$ . La domanda può chiedere l'una o l'altra.

Corretto: Leggi bene la domanda: frazione decaduta $= 1 -$ frazione rimasta. Dopo 3 dimezzamenti: resta il $12{,}5\,\%$ , è decaduto l' $87{,}5\,\%$ .

Perché è importante

Con il tempo di dimezzamento scienziati, medici e ingegneri misurano quanto velocemente qualcosa scompare:

Archeologia: il carbonio 14 ha un tempo di dimezzamento di $5730$ anni, quindi il carbonio rimasto in ossa e legno ne rivela l'età
Medicina: il tempo di dimezzamento (emivita) di un farmaco dice ai medici quando dare la dose successiva
Ospedale: lo iodio 131, usato per curare le malattie della tiroide, ha un tempo di dimezzamento di $8$ giorni, e così il personale sa quando un paziente può tornare a casa in sicurezza
Energia e sicurezza: le scorie nucleari vanno conservate finché non sono passati abbastanza dimezzamenti

La buona notizia: quando il tempo è un numero intero di dimezzamenti, puoi risolvere questi problemi dividendo per due, senza strumenti avanzati.

Applicazioni nel mondo reale

Datazione al carbonio 14

Gli esseri viventi assorbono carbonio 14. Dopo la morte, decade con un tempo di dimezzamento di 5730 anni, quindi la frazione rimasta rivela l'età di ossa, legno e carbone.

Esempio:

Un pezzo di legno con $\frac{1}{4}$ del suo carbonio 14 originale ha $2 \times 5730 = 11460$ anni.

1Provaci tu stesso

Il carbone di un antico focolare contiene $\frac{1}{16}$ del suo carbonio 14 originale. Il tempo di dimezzamento del carbonio 14 è di $5730$ anni.

Quanti anni ha il carbone?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Trova il numero di dimezzamenti, poi moltiplica per $5730$ :

Farmaci nel sangue

I medici usano il tempo di dimezzamento di un farmaco per decidere quando dare la dose successiva, così la quantità nel corpo resta sicura ed efficace.

Esempio:

Di una dose di $400$ mg con tempo di dimezzamento di $6$ ore restano $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{12/6} = 100$ mg dopo $12$ ore.

2Provaci tu stesso

Un paziente prende $600$ mg di un farmaco con tempo di dimezzamento di $4$ ore.

Quanti mg restano dopo $16$ ore?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola: $600 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/4}$

Terapia con iodio 131

Lo iodio 131 si usa per curare le malattie della tiroide. Il suo tempo di dimezzamento di 8 giorni dice all'ospedale quanto velocemente cala la radiazione e quando i residui si possono conservare o smaltire in sicurezza.

Esempio:

$100$ mg di iodio 131 diventano $100 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/8} = 25$ mg dopo $16$ giorni.

3Provaci tu stesso

Un ospedale conserva $160$ mg di iodio 131 (tempo di dimezzamento $8$ giorni).

Quanti mg restano dopo $24$ giorni?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola: $160 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$

Punti chiave

1Il tempo di dimezzamento $T$ è il tempo necessario perché metà di una sostanza scompaia
2La quantità rimasta è $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ , dove $\frac{t}{T}$ è il numero di dimezzamenti
3Dopo $n$ dimezzamenti, la frazione rimasta è $\frac{1}{2^n}$ : $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots$
4Per trovare il tempo trascorso, scrivi la frazione rimasta come $\frac{1}{2^n}$ e moltiplica $n$ per il tempo di dimezzamento
5Per trovare il tempo di dimezzamento, conta quanti dimezzamenti ci sono nei dati e dividi il tempo per quel numero
6Ogni dimezzamento toglie metà di ciò che resta in quel momento, quindi la quantità non arriva mai esattamente a zero

Domande frequenti

Una sostanza prima o poi scompare del tutto?

Matematicamente no:

\left(\frac{1}{2}\right)^{n}

non è mai zero. In pratica, dopo circa 10 dimezzamenti resta meno dello

0{,}1\,\%

(

\frac{1}{1024}

), e di solito si considera scomparsa.

Perché l'esponente è $\frac{t}{T}$ e non semplicemente $t$ ?

Il fattore

\frac{1}{2}

si applica una volta per ogni tempo di dimezzamento, non una volta per unità di tempo. Dividendo il tempo

t

per il tempo di dimezzamento

T

conti quanti dimezzamenti sono avvenuti.

E se il tempo non è un numero intero di dimezzamenti?

La formula funziona lo stesso, per esempio

400 \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5}

. Usa una calcolatrice (scrivi 400 × 0.5^1.5) oppure un valore dato come

\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536

. Trovare un tempo sconosciuto in questo caso richiede i logaritmi, che vedrai in una lezione successiva.

Che legame c'è tra tempo di dimezzamento e tasso di decrescita?

Nella lezione sulla decrescita esponenziale, una quantità viene moltiplicata per

b = 1 - r

a ogni unità di tempo. Il tempo di dimezzamento usa la stessa idea, ma sceglie l'unità di tempo in modo che il fattore sia esattamente

\frac{1}{2}

, e così il calcolo a mente diventa molto più facile.

Glossario

Tempo di dimezzamento (emivita): Il tempo $T$ necessario perché metà di una sostanza decada o scompaia
Valore iniziale: La quantità $N_0$ all'inizio, quando $t = 0$
Numero di dimezzamenti: Il rapporto $\frac{t}{T}$ : quante volte la quantità è stata dimezzata
Decadimento radioattivo: Il processo in cui atomi instabili si trasformano in altri atomi, perdendo una frazione fissa in ogni intervallo di tempo uguale
Datazione al carbonio 14: Un metodo che trova l'età di un materiale un tempo vivente dalla frazione di carbonio 14 rimasta (tempo di dimezzamento $5730$ anni)

Scheda formule

Formula del tempo di dimezzamento

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

$N_0$ = valore iniziale, $T$ = tempo di dimezzamento, $t$ = tempo trascorso (stessa unità di $T$).

Dopo n dimezzamenti

N = \frac{N_0}{2^n}, \quad n = \frac{t}{T}

Dividi per 2 una volta per ogni dimezzamento. Il tempo trascorso è $t = n \cdot T$.

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Errori comuni

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Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Formula del tempo di dimezzamento

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