Problemi sul tempo di dimezzamento

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Una sostanza ha un tempo di dimezzamento di $10$ anni. Quale frazione ne resta dopo $2$ dimezzamenti?
1. a) $0$
2. b) $\frac{1}{4}$
3. c) $\frac{1}{2}$
4. d) $\frac{1}{8}$
Risposta: $\frac{1}{4}$
Dopo $2$ dimezzamenti resta $\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}$ . Non è $0$ : ogni dimezzamento toglie solo metà di ciò che resta.
2.
Un campione di $60$ g ha un tempo di dimezzamento di $5$ giorni. Quanti grammi restano dopo $5$ giorni?
Risposta: 30
$5$ giorni sono $1$ dimezzamento, quindi il campione si dimezza una volta: $60 \times \frac{1}{2} = 30$ g.
3.
Un campione parte da $50$ mg e ha un tempo di dimezzamento di $3$ ore. Quale funzione dà la quantità $N(t)$ dopo $t$ ore?
1. a) $N(t) = 50 \left(\frac{1}{2}\right)^{3t}$
2. b) $N(t) = 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/50}$
3. c) $N(t) = 50 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$
4. d) $N(t) = 50 - \frac{1}{2} t$
Risposta: $N(t) = 50 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$
$N_0 = 50$ e $T = 3$ , quindi $N(t) = 50 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$ . L'esponente $\frac{t}{3}$ conta i dimezzamenti. L'ultima opzione è lineare, non esponenziale.
4.
Un campione di farmaco contiene $320$ mg e ha un tempo di dimezzamento di $2$ ore. Quanti mg restano dopo $6$ ore?
Risposta: 40
1. Quanti dimezzamenti ci sono in 6 ore? 3
2. Quanto fa $2^3$ ? 8
3. Quanto fa $320 \div 8$ ? 40
5.
Lo iodio 131 ha un tempo di dimezzamento di $8$ giorni. Quanti dimezzamenti avvengono in $24$ giorni?
Risposta: 3
$\frac{t}{T} = \frac{24}{8} = 3$ dimezzamenti.
6.
Quale percentuale di un campione radioattivo resta dopo $3$ dimezzamenti? (Scrivi la percentuale come numero, per esempio 50 per $50\,\%$ .)
Risposta: 12.5
1. Quale frazione resta? (Scrivila come 1/2.) 1/8
2. Scrivi 1/8 come numero decimale. 0.125
3. Scrivi $0{,}125$ come percentuale (solo il numero). 12.5
7.
Di un campione resta $\frac{1}{16}$ della quantità iniziale. Quanti dimezzamenti sono avvenuti?
1. a)8
2. b)16
3. c)4
4. d)2
Risposta: 4
$\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{4}$ , quindi sono avvenuti $4$ dimezzamenti ( $1 \to \frac{1}{2} \to \frac{1}{4} \to \frac{1}{8} \to \frac{1}{16}$ ). Il denominatore 16 non è il numero di dimezzamenti.
8.
Un attrezzo di legno contiene $\frac{1}{4}$ del suo carbonio 14 originale. Il tempo di dimezzamento del carbonio 14 è di $5730$ anni. Quanti anni ha l'attrezzo?
Risposta: 11460
Se resta $\frac{1}{4}$ , sono passati $2$ dimezzamenti, quindi l'età è $2 \times 5730 = 11460$ anni.
9.
Un campione di $240$ g scende a $30$ g in $18$ ore. Quante ore dura il suo tempo di dimezzamento?
Risposta: 6
1. Quante volte più piccolo è il campione? ( $240 \div 30$ ) 8
2. $8 = 2^n$ . Quanto vale $n$ (il numero di dimezzamenti)? 3
3. Quante ore dura il tempo di dimezzamento? 6
10.
Un ospedale ha $500$ mg di iodio 131 (tempo di dimezzamento $8$ giorni). Quanti mg restano dopo $40$ giorni?
Risposta: 15.625
1. Quanti dimezzamenti ci sono in 40 giorni? 5
2. Quanto fa $2^5$ ? 32
3. Quanto fa $500 \div 32$ ? (decimale esatto) 15.625
11.
Uno studente dice: un campione di $100$ g perde $50$ g a ogni dimezzamento, quindi dopo $2$ dimezzamenti non resta niente. Quanto resta davvero dopo $2$ dimezzamenti?
1. a)0 g
2. b)50 g
3. c)75 g
4. d)25 g
Risposta: 25 g
$100 \to 50 \to 25$ : il secondo dimezzamento toglie metà di $50$ , non $50$ g. Quindi restano $25$ g.
12.
Un paziente prende $800$ mg di un farmaco con tempo di dimezzamento di $5$ ore. Quanti mg restano dopo $20$ ore?
Risposta: 50
$\frac{20}{5} = 4$ dimezzamenti: $800 \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{800}{16} = 50$ mg ( $800 \to 400 \to 200 \to 100 \to 50$ ).
13.
Una sostanza ha un tempo di dimezzamento di $3$ giorni. Dopo quanti giorni ne resta solo $\frac{1}{32}$ ?
Risposta: 15
1. $32 = 2^n$ . Quanto vale $n$ (il numero di dimezzamenti)? 5
2. Quanti giorni sono 5 dimezzamenti? 15
14.
Quale percentuale di un campione radioattivo è decaduta (è scomparsa) dopo $3$ dimezzamenti?
1. a)37,5 %
2. b)75 %
3. c)87,5 %
4. d)12,5 %
Risposta: 87,5 %
Rimasto: $\frac{1}{8} = 12{,}5\,\%$ . Decaduto: $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 87{,}5\,\%$ . La risposta $12{,}5\,\%$ è la parte ancora presente.
15.
Un paziente prende $800$ mg di un farmaco con tempo di dimezzamento di $4$ ore. Quanti mg restano dopo $6$ ore? Usa $\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536$ e arrotonda al mg.
Risposta: 283
1. Quanti dimezzamenti sono 6 ore? ( $\frac{t}{T}$ ) 1.5
2. Calcola $800 \times 0{,}3536$ . 282.88
3. Arrotonda al mg. 283
16.
Un fossile contiene $\frac{1}{64}$ del suo carbonio 14 originale. Il tempo di dimezzamento del carbonio 14 è di $5730$ anni. Quanti anni ha il fossile?
Risposta: 34380
$64 = 2^6$ , quindi sono passati $6$ dimezzamenti: $6 \times 5730 = 34380$ anni.
17.
Un campione di $2000$ g scende a $250$ g in $21$ giorni. Trova il tempo di dimezzamento, poi quanti grammi restano dopo $35$ giorni (dall'inizio).
Risposta: 62.5
1. $2000 \div 250 = 8 = 2^n$ . Quanto vale $n$ ? 3
2. Quanti giorni dura il tempo di dimezzamento? 7
3. Quanti dimezzamenti ci sono in 35 giorni? 5
4. Quanto fa $2000 \div 2^5$ ? 62.5
18.
Un paziente prende $300$ mg di un farmaco con tempo di dimezzamento di $4$ ore. Il farmaco si considera eliminato quando ne restano meno di $10$ mg. Dopo quante ore (un numero intero di dimezzamenti) succede per la prima volta?
Risposta: 20
1. Quanti mg restano dopo 4 dimezzamenti? ( $300 \div 16$ ) 18.75
2. Quanti mg restano dopo 5 dimezzamenti? 9.375
3. Dopo quanti dimezzamenti restano meno di 10 mg? 5
4. Quante ore sono? 20