Continuità

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Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale di queste NON è una delle tre condizioni perché $f$ sia continua in $x = a$ ?
1. a) $\lim_{x \to a} f(x)$ esiste
2. b) $f(a)$ è definita
3. c) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
4. d) $f(a) = 0$
2.
$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ è continua ovunque. Calcola $\lim_{x \to 2} f(x)$ .
3.
Dove $f(x) = \frac{1}{x - 4}$ NON è continua?
1. a) $x = 4$
2. b) $x = -4$
3. c) $x = 0$
4. d)È continua ovunque
4.
$g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ non è definita in $x = 1$ . Quale valore deve avere $g(1)$ perché $g$ sia continua in $x = 1$ ?
5.
Verifica se $f(x) = x^2 + 2x$ è continua in $x = 3$ .
6.
La funzione $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < 1 \\ 4 - x, & x \geq 1 \end{cases}$ è continua in $x = 1$ ?
7.
Quale funzione è continua per TUTTI i numeri reali?
1. a) $\frac{1}{x}$
2. b) $e^x + x^3$
3. c) $\sqrt{x}$
4. d) $\ln x$
8.
Trova $k$ in modo che $f(x) = \begin{cases} x + k, & x < 2 \\ x^2, & x \geq 2 \end{cases}$ sia continua in $x = 2$ .
9.
Trova $k$ in modo che $f(x) = \begin{cases} kx - 2, & x \leq 3 \\ x^2 + 1, & x > 3 \end{cases}$ sia continua ovunque.
10.
Sia $h(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$ per $x \neq 2$ e $h(2) = 3$ . $h$ è continua in $x = 2$ ?
11.
Dove è continua $f(x) = \frac{x + 3}{x^2 - 9}$ ?
1. a)Tutti i reali tranne $x = -3$
2. b)Tutti i reali tranne $x = 3$ e $x = -3$
3. c)Tutti i reali
4. d)Tutti i reali tranne $x = 3$
12.
In quanti valori di $x$ la funzione $f(x) = \frac{x - 1}{x^3 - 4x}$ non è continua?
13.
Usa il teorema dei valori intermedi per stabilire se $f(x) = x^3 - 2x - 5$ ha uno zero in $[2, 3]$ .
14.
Trova $a$ in modo che $f(x) = \begin{cases} ax + 3, & x < 2 \\ x^2 + a, & x \geq 2 \end{cases}$ sia continua ovunque.
15.
Trova $a$ e $b$ in modo che $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ ax + b, & 1 \leq x < 3 \\ x^2 - 3, & x \geq 3 \end{cases}$ sia continua ovunque.
16.
$f(x) = \frac{1}{x}$ ha $f(-1) = -1$ e $f(1) = 1$ , ma $f(x) = 0$ non ha soluzioni. Perché il teorema dei valori intermedi non si applica su $[-1, 1]$ ?
1. a) $f(-1)$ e $f(1)$ hanno lo stesso segno
2. b)Il teorema vale solo per i polinomi
3. c) $f$ non è continua su $[-1, 1]$ : non è definita in $x = 0$
4. d) $0$ non è compreso tra $-1$ e $1$
17.
Sia $f(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ per $x \neq 4$ e $f(4) = k$ . Trova $k$ in modo che $f$ sia continua in $x = 4$ .
18.
Quanti zeri di $f(x) = x^3 - 3x + 1$ in $[0, 2]$ garantisce il teorema dei valori intermedi usando i punti $x = 0$ , $1$ , $2$ ?