Guida per l'insegnante: Continuità

Impara le tre condizioni della continuità, dove sono continue le funzioni più comuni, come trovare una costante che rende continua una funzione definita a tratti e il teorema dei valori intermedi.

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Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Enunciare e applicare le tre condizioni della continuità in un punto
Determinare gli intervalli su cui sono continue le funzioni polinomiali, razionali, esponenziali e logaritmiche
Trovare il valore di una costante che rende continua una funzione definita a tratti
Spiegare la differenza tra l'esistenza di un limite e la continuità di una funzione
Usare il teorema dei valori intermedi per dimostrare che un'equazione ha una soluzione in un intervallo

Prerequisiti

• Introduzione ai limiti e notazione dei limiti
• Limite destro e limite sinistro
• Limiti per sostituzione diretta
• Scomporre polinomi e risolvere equazioni di primo grado

Spunti di discussione

1. Ti viene in mente una grandezza della vita quotidiana che cambia in modo continuo e una che cambia a salti?
2. Se il limite di una funzione in un punto esiste, cos'altro dobbiamo sapere per dire che è continua?
3. Perché secondo te il fisco o un parcheggio vorrebbero che le loro formule di prezzo fossero continue?
4. Da bambino eri alto 1,20 m e ora sei alto 1,70 m. Sei mai stato alto esattamente 1,50 m? Perché?

Idee sbagliate comuni

Una funzione è continua se è definita nel punto

Rimedio: Mostra una funzione a gradini con un punto pieno nel salto. Lì è definita, eppure bisogna staccare la matita. Fai verificare tutte e tre le condizioni.

Le funzioni razionali non sono mai continue perché hanno asintoti

Rimedio: Sottolinea l'espressione sul suo dominio. $\frac{1}{x}$ è continua in ogni punto in cui esiste; è discontinua solo in $x = 0$ , che non appartiene al dominio.

Il teorema dei valori intermedi vale per ogni funzione i cui valori agli estremi hanno segni opposti

Rimedio: Usa $\frac{1}{x}$ su $[-1, 1]$ o una funzione a gradini come controesempio, poi evidenzia l'ipotesi continua su $[a, b]$ .

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Cominciare con la prova della matita sui grafici prima di usare la notazione dei limiti
• Dare una lista di controllo con le tre condizioni e una casella da spuntare per ciascuna
• Usare funzioni a tratti con tratti lineari perché i calcoli restino semplici

Per studenti a livello:

• Trovare k per funzioni a tratti con un tratto di secondo grado
• Indicare gli intervalli di continuità di funzioni razionali e logaritmiche
• Usare il teorema dei valori intermedi per localizzare uno zero tra due interi consecutivi

Per studenti avanzati:

• Trovare due costanti incognite in una funzione a tre tratti
• Usare il metodo di bisezione per trovare uno zero con due cifre decimali
• Studiare funzioni come $\sin(\frac{1}{x})$ , che non sono continue in $0$ per nessuna scelta di $f(0)$

Allineamento agli standard

AP Calculus LIM-2.A (AP.CALC.LIM-2.A)
Giustificare conclusioni sulla continuità in un punto usando la definizione
AP Calculus LIM-2.B (AP.CALC.LIM-2.B)
Determinare gli intervalli su cui una funzione è continua
AP Calculus FUN-1.A (AP.CALC.FUN-1.A)
Spiegare il comportamento di una funzione su un intervallo con il teorema dei valori intermedi
HSF-IF.C.7b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.B)
Rappresentare funzioni definite a tratti, comprese le funzioni a gradini

Risorse della lezione

visualGrafico con cursore k
Gli studenti spostano il cursore k finché i due limiti unilaterali in x = 2 coincidono con il valore della funzione e i tratti si uniscono
activityProva della matita
Gli studenti disegnano grafici, segnano ogni punto in cui hanno dovuto staccare la matita e indicano quale condizione non vale
worksheetCostanti nelle funzioni a tratti
Otto funzioni definite a tratti con una o due costanti incognite da scegliere per ottenere la continuità

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Una funzione

f

è **continua in

x = a

** se il suo grafico lì non si interrompe: puoi passare per il punto senza staccare la matita. Con il linguaggio dei limiti, devono valere tutte e tre le condizioni:

1. $f(a)$ è definita (il grafico ha un punto in $x = a$ )
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ esiste (il limite sinistro e il limite destro sono uguali)
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ (il limite è uguale al valore della funzione)

f \text{ è continua in } a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Se anche una sola condizione non vale,

f

ha una discontinuità in

x = a

. I diversi tipi di interruzione (buchi, salti, asintoti verticali) sono studiati nella lezione Tipi di discontinuità.

Continuità su un intervallo:

f

è continua su un intervallo aperto

(a, b)

se è continua in ogni punto dell'intervallo. Su un intervallo chiuso

[a, b]

servono in più

\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)

agli estremi.

Funzioni continue su tutto il loro dominio:

i polinomi (ovunque)
le funzioni razionali (ovunque tranne dove il denominatore vale $0$ )
le funzioni esponenziali $b^x$ ed $e^x$ (ovunque)
i logaritmi $\log_b x$ e $\ln x$ (per $x > 0$ )
$\sqrt{x}$ (per $x \geq 0$ )

Anche somme, differenze, prodotti, quozienti (dove il denominatore non è

0

) e composizioni di funzioni continue sono continue. È proprio per questo che la sostituzione diretta funziona: per una funzione continua,

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Esempi svolti

La funzione $f(x) = x^2 - 3x + 1$ è continua in $x = 2$ ? Verifica tutte e tre le condizioni.

Condizione 1: $f(2)$ è definita?

$f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1$ → $f(2) = -1$

Condizione 2: il limite esiste?

$f$ è un polinomio, quindi il limite si trova per sostituzione diretta: $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1) = -1$ → Il limite esiste e vale $-1$

Condizione 3: confrontare limite e valore

$\lim_{x \to 2} f(x) = -1 = f(2)$ → Tutte e tre le condizioni valgono

Risposta: Sì, $f$ è continua in $x = 2$ (anzi, essendo un polinomio, è continua ovunque).

Errori comuni

Controllare solo che $f(a)$ esista e concludere che $f$ è continua

Perché è sbagliato: Una funzione può avere un valore in $a$ e comunque fare un salto lì. Per esempio $f(x) = 1$ per $x < 0$ e $f(x) = 2$ per $x \geq 0$ ha $f(0) = 2$ , ma il limite sinistro è $1$ .

Corretto: Controlla sempre tutte e tre le condizioni: $f(a)$ è definita, il limite esiste e il limite è uguale a $f(a)$ .

Pensare che se il limite esiste, la funzione debba essere continua

Perché è sbagliato: Il limite non considera ciò che accade esattamente in $x = a$ . Nell'esempio 2 il limite è $6$ , ma il punto si trova in $g(3) = 5$ .

Corretto: Dopo aver trovato il limite, confrontalo con il valore effettivo $f(a)$ . Devono essere uguali.

Trovare $k$ sostituendo il punto di raccordo in un solo tratto

Perché è sbagliato: La continuità nel punto di raccordo riguarda l'incontro dei due tratti: un tratto da solo non dà nessuna equazione per $k$ .

Corretto: Calcola entrambi i tratti nel punto di raccordo (limite sinistro e limite destro) e uguagliali: nell'esempio 4, $2^2 + 1 = 2k - 1$ .

Usare il teorema dei valori intermedi per una funzione che non è continua sull'intervallo

Perché è sbagliato: $f(x) = \frac{1}{x}$ ha $f(-1) = -1$ e $f(1) = 1$ , ma non vale mai $0$ . Il teorema non si applica perché $f$ non è definita in $x = 0$ .

Corretto: Prima di usare il teorema, verifica che $f$ sia continua su tutto l'intervallo chiuso $[a, b]$ .

Perché è importante

La continuità è la proprietà su cui si regge quasi tutta l'analisi:

Sostituzione diretta: è permessa solo perché polinomi, esponenziali e logaritmi sono continui. Il limite è semplicemente il valore della funzione.
Ricerca degli zeri: il teorema dei valori intermedi garantisce che una funzione continua che cambia segno deve passare per lo zero. Calcolatrici e computer lo usano per localizzare le soluzioni delle equazioni.
Modellizzazione: temperatura, altitudine, distanza e volume d'acqua in un serbatoio cambiano in modo continuo nel tempo. Prezzi, scaglioni fiscali e tariffe di parcheggio spesso no, e chi li stabilisce deve scegliere le costanti per evitare un salto improvviso.
Ingegneria: due tratti di strada, binario o tubo devono incontrarsi alla stessa altezza. È esattamente la condizione perché una funzione definita a tratti sia continua nel punto di raccordo.

Sapere dove una funzione è continua ti dice dove puoi fidarti del suo grafico, dove puoi sostituire e dove succede qualcosa di particolare (un buco, un salto, un asintoto).

Applicazioni nel mondo reale

Tariffe di parcheggio eque

Un parcheggio usa una tariffa per le soste brevi e un'altra per quelle lunghe. Se le formule non coincidono nel punto di passaggio, il prezzo fa un salto, e chi resta un minuto in più paga molto di più o molto di meno.

Esempio:

Una tariffa di $C(t) = 5t$ € fino a 2 ore e $C(t) = 3t + 4$ € dopo dà $C(2) = 10$ € con entrambe le formule, quindi la tariffa non fa salti.

1Provaci tu stesso

Il parcheggio costa $C(t) = 4t$ € per $0 \leq t \leq 3$ ore e $C(t) = 2t + k$ € per $t > 3$ .

Quale valore di $k$ rende la tariffa continua in $t = 3$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Risolvi $4 \cdot 3 = 2 \cdot 3 + k$ rispetto a $k$ :

L'altitudine in un'escursione e il teorema dei valori intermedi

La tua altitudine durante un'escursione cambia in modo continuo nel tempo: non puoi teletrasportarti da un'altezza all'altra. Il teorema dei valori intermedi garantisce allora che sei passato per tutte le altezze tra la partenza e l'arrivo.

Esempio:

Se parti da 800 m e raggiungi una vetta a 2000 m, in un certo momento eri esattamente a 1500 m, anche se in quell'istante non hai guardato l'orologio.

2Provaci tu stesso

Un'escursionista è a 800 m alle 8:00 e in vetta, a 2000 m, alle 13:00. L'altitudine è una funzione continua del tempo.

Per quante delle altitudini 500 m, 1200 m, 1900 m e 2100 m l'escursionista passa sicuramente tra le 8:00 e le 13:00, secondo il teorema dei valori intermedi?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Conta i valori compresi tra 800 e 2000:

Raccordare due tratti di strada

Chi progetta strade e ferrovie descrive il tracciato con formule diverse nei vari tratti. In ogni raccordo le altezze devono coincidere: è la condizione perché una funzione definita a tratti sia continua.

Esempio:

Una rampa di altezza $y = 0{,}5x$ per $x \leq 2$ seguita da $y = -0{,}25x + 1{,}5$ per $x > 2$ (in metri) si raccorda a $y = 1$ m, quindi non c'è nessun gradino.

3Provaci tu stesso

Il profilo di una strada (in metri) è $y = 0{,}5x$ per $0 \leq x \leq 4$ e $y = -0{,}25x + b$ per $x > 4$ .

Quale valore di $b$ rende la strada continua in $x = 4$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Risolvi $0{,}5 \cdot 4 = -0{,}25 \cdot 4 + b$ rispetto a $b$ :

Punti chiave

1 $f$ è continua in $x = a$ quando $f(a)$ è definita, $\lim_{x \to a} f(x)$ esiste e $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
2Se una delle tre condizioni non vale, $f$ ha una discontinuità in $a$ (i tipi sono trattati nella lezione Tipi di discontinuità)
3Polinomi, esponenziali, $\sin$ e $\cos$ sono continui ovunque; funzioni razionali, logaritmi e radici sono continui sul loro dominio
4Su un intervallo chiuso $[a, b]$ , la continuità agli estremi usa i limiti unilaterali
5Per rendere continua una funzione a tratti, uguaglia limite sinistro, limite destro e valore in ogni punto di raccordo e ricava la costante
6Teorema dei valori intermedi: se $f$ è continua su $[a, b]$ e $N$ è compreso tra $f(a)$ e $f(b)$ , allora $f(c) = N$ per qualche $c$ in $(a, b)$

Domande frequenti

La funzione $f(x) = \frac{1}{x}$ è continua?

È continua sul suo dominio, cioè in ogni

x \neq 0

. In

x = 0

non è definita, quindi lì non è continua. Quando si dice che una funzione è continua senza indicare un punto, di solito si intende continua su tutto il suo dominio.

Perché la sostituzione diretta dà il limite per i polinomi?

Perché i polinomi sono continui ovunque, ed essere continua significa esattamente

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

. Quindi il limite è il valore della funzione. Se la sostituzione dà

\frac{0}{0}

, la funzione non è continua in quel punto e bisogna prima semplificare.

Il teorema dei valori intermedi mi dice dove si trova lo zero?

No. Garantisce solo che esiste almeno un

c

(a, b)

. Per restringere la ricerca puoi dimezzare l'intervallo più volte e tenere la metà in cui il segno cambia (metodo di bisezione).

Una funzione può essere continua ovunque e avere un punto angoloso?

Sì.

f(x) = |x|

ha un punto angoloso in

x = 0

, ma puoi disegnarla senza staccare la matita, e

\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)

. I punti angolosi contano per la derivata, non per la continuità.

Glossario

Continua in un punto: $f$ è continua in $a$ se $f(a)$ è definita, $\lim_{x \to a} f(x)$ esiste e i due sono uguali
Continua su un intervallo: Continua in ogni punto dell'intervallo, usando i limiti unilaterali agli estremi di un intervallo chiuso
Discontinuità: Un punto in cui almeno una delle tre condizioni della continuità non vale
Funzione definita a tratti: Una funzione definita da formule diverse su intervalli diversi; può interrompersi solo nei punti di raccordo o dove un tratto stesso si interrompe
Teorema dei valori intermedi: Una funzione continua su $[a, b]$ assume tutti i valori compresi tra $f(a)$ e $f(b)$

Scheda formule

Continuità in un punto

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Contiene tutte e tre le condizioni: $f(a)$ definita, il limite esiste, e sono uguali

Condizione nel punto di raccordo

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

Calcolare i due tratti nel punto di raccordo, uguagliarli e ricavare la costante incognita

Teorema dei valori intermedi

f(a) < N < f(b) \Rightarrow f(c) = N \text{ per qualche } c \in (a, b)

Solo per $f$ continua su $[a, b]$; con $N = 0$ dimostra che esiste uno zero

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Errori comuni

Perché è importante

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Domande frequenti

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