Continuità

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale di queste NON è una delle tre condizioni perché $f$ sia continua in $x = a$ ?
1. a) $\lim_{x \to a} f(x)$ esiste
2. b) $f(a)$ è definita
3. c) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
4. d) $f(a) = 0$
Risposta: $f(a) = 0$
Le tre condizioni sono: $f(a)$ è definita, $\lim_{x \to a} f(x)$ esiste e il limite è uguale a $f(a)$ . Il valore $f(a)$ può essere qualsiasi numero; non deve essere $0$ .
2.
$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ è continua ovunque. Calcola $\lim_{x \to 2} f(x)$ .
Risposta: 13
Poiché $f$ è continua, $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 3 \cdot 4 - 4 + 5 = 13$ .
3.
Dove $f(x) = \frac{1}{x - 4}$ NON è continua?
1. a) $x = 4$
2. b) $x = -4$
3. c) $x = 0$
4. d)È continua ovunque
Risposta: $x = 4$
Il denominatore $x - 4$ vale $0$ in $x = 4$ , quindi $f(4)$ lì non è definita. In tutti gli altri punti $f$ è continua.
4.
$g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ non è definita in $x = 1$ . Quale valore deve avere $g(1)$ perché $g$ sia continua in $x = 1$ ?
Risposta: 2
$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$ per $x \neq 1$ , quindi il limite è $1 + 1 = 2$ . Ponendo $g(1) = 2$ il limite coincide con il valore.
5.
Verifica se $f(x) = x^2 + 2x$ è continua in $x = 3$ .
Risposta: $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = 15$
1. Quanto vale $f(3)$ ? 15
2. Quanto vale $\lim_{x \to 3} f(x)$ ? 15
3. $f$ è continua in $x = 3$ ? sì
6.
La funzione $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < 1 \\ 4 - x, & x \geq 1 \end{cases}$ è continua in $x = 1$ ?
Risposta: $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 3$
1. Limite sinistro $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ ? 3
2. Limite destro $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ ? 3
3. Valore $f(1)$ ? 3
4. $f$ è continua in $x = 1$ ? sì
7.
Quale funzione è continua per TUTTI i numeri reali?
1. a) $\frac{1}{x}$
2. b) $e^x + x^3$
3. c) $\sqrt{x}$
4. d) $\ln x$
Risposta: $e^x + x^3$
$\frac{1}{x}$ non è definita in $0$ , $\ln x$ esiste solo per $x > 0$ e $\sqrt{x}$ solo per $x \geq 0$ . $e^x + x^3$ è somma di due funzioni continue ovunque, quindi è continua ovunque.
8.
Trova $k$ in modo che $f(x) = \begin{cases} x + k, & x < 2 \\ x^2, & x \geq 2 \end{cases}$ sia continua in $x = 2$ .
Risposta: 2
Da sinistra: $2 + k$ . Da destra e valore: $2^2 = 4$ . Quindi $2 + k = 4$ e $k = 2$ .
9.
Trova $k$ in modo che $f(x) = \begin{cases} kx - 2, & x \leq 3 \\ x^2 + 1, & x > 3 \end{cases}$ sia continua ovunque.
Risposta: 4
1. Limite destro in $x = 3$ (con $x^2 + 1$ )? 10
2. Il tratto sinistro dà $3k - 2$ . Da $3k - 2 = 10$ , quanto vale $3k$ ? 12
3. Quanto vale $k$ ? 4
10.
Sia $h(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$ per $x \neq 2$ e $h(2) = 3$ . $h$ è continua in $x = 2$ ?
Risposta: $\lim_{x \to 2} h(x) = -1 \neq h(2) = 3$
1. Quanto vale $h(2)$ ? 3
2. Dopo aver scomposto e semplificato, $h(x) = x - 3$ . Quanto vale $\lim_{x \to 2} h(x)$ ? -1
3. $h$ è continua in $x = 2$ ? no
11.
Dove è continua $f(x) = \frac{x + 3}{x^2 - 9}$ ?
1. a)Tutti i reali tranne $x = -3$
2. b)Tutti i reali tranne $x = 3$ e $x = -3$
3. c)Tutti i reali
4. d)Tutti i reali tranne $x = 3$
Risposta: Tutti i reali tranne $x = 3$ e $x = -3$
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ vale $0$ in $x = 3$ e in $x = -3$ , quindi $f$ non è definita in nessuno dei due. In $x = -3$ il grafico ha un buco, in $x = 3$ un asintoto verticale, ma in entrambi i casi $f$ lì non è continua.
12.
In quanti valori di $x$ la funzione $f(x) = \frac{x - 1}{x^3 - 4x}$ non è continua?
Risposta: 3
$x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2)$ vale $0$ in $x = 0$ , $x = 2$ e $x = -2$ . Il numeratore non ne semplifica nessuno, quindi $f$ è discontinua in esattamente $3$ valori.
13.
Usa il teorema dei valori intermedi per stabilire se $f(x) = x^3 - 2x - 5$ ha uno zero in $[2, 3]$ .
Risposta: $f(2) = -1 < 0 < 16 = f(3)$
1. Quanto vale $f(2)$ ? -1
2. Quanto vale $f(3)$ ? 16
3. Il teorema garantisce uno zero in $[2, 3]$ ? sì
14.
Trova $a$ in modo che $f(x) = \begin{cases} ax + 3, & x < 2 \\ x^2 + a, & x \geq 2 \end{cases}$ sia continua ovunque.
Risposta: 1
Da sinistra: $2a + 3$ . Da destra e valore: $4 + a$ . Allora $2a + 3 = 4 + a$ , quindi $a = 1$ . Verifica: entrambi i lati danno $5$ .
15.
Trova $a$ e $b$ in modo che $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ ax + b, & 1 \leq x < 3 \\ x^2 - 3, & x \geq 3 \end{cases}$ sia continua ovunque.
Risposta: a = 2, b = 0
1. In $x = 1$ il tratto sinistro dà $1 + 1$ . Quindi $a + b = ?$ 2
2. In $x = 3$ il tratto destro dà $3^2 - 3$ . Quindi $3a + b = ?$ 6
3. Sottrai la prima equazione dalla seconda. Quanto vale $a$ ? 2
4. Quanto vale $b$ ? 0
16.
$f(x) = \frac{1}{x}$ ha $f(-1) = -1$ e $f(1) = 1$ , ma $f(x) = 0$ non ha soluzioni. Perché il teorema dei valori intermedi non si applica su $[-1, 1]$ ?
1. a) $f(-1)$ e $f(1)$ hanno lo stesso segno
2. b)Il teorema vale solo per i polinomi
3. c) $f$ non è continua su $[-1, 1]$ : non è definita in $x = 0$
4. d) $0$ non è compreso tra $-1$ e $1$
Risposta: $f$ non è continua su $[-1, 1]$ : non è definita in $x = 0$
Il teorema richiede che $f$ sia continua su tutto l'intervallo chiuso. $\frac{1}{x}$ non è definita in $x = 0$ , che sta in $[-1, 1]$ , quindi il teorema qui non dice nulla.
17.
Sia $f(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ per $x \neq 4$ e $f(4) = k$ . Trova $k$ in modo che $f$ sia continua in $x = 4$ .
Risposta: 1/4
1. Sostituisci $x = 4$ nel numeratore $\sqrt{x} - 2$ . Che cosa ottieni? 0
2. $(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - c$ . Quanto vale $c$ ? 4
3. Quindi $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$ . Quanto vale $\lim_{x \to 4} f(x)$ ? Scrivilo come frazione. 1/4
4. Quanto deve valere $k$ ? 1/4
18.
Quanti zeri di $f(x) = x^3 - 3x + 1$ in $[0, 2]$ garantisce il teorema dei valori intermedi usando i punti $x = 0$ , $1$ , $2$ ?
Risposta: 2
1. Quanto vale $f(0)$ ? 1
2. Quanto vale $f(1)$ ? -1
3. Quanto vale $f(2)$ ? 3
4. Quanti cambi di segno ci sono e quindi quanti zeri garantiti? 2