Guida per l'insegnante: Calcolare i limiti dal grafico

Leggi i limiti direttamente sul grafico, distingui il limite dal valore della funzione e riconosci quando un limite non esiste.

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Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Leggere $\lim_{x \to a} f(x)$ su un grafico seguendo la curva da entrambi i lati
Distinguere il limite in $a$ dal valore $f(a)$ grazie ai cerchietti vuoti e ai punti pieni
Riconoscere che un limite può esistere dove $f(a)$ non è definito o è diverso dal limite
Decidere su un grafico quando un limite non esiste perché i due lati tendono ad altezze diverse
Leggere più limiti e valori sul grafico di una funzione definita a tratti

Prerequisiti

• Introduzione ai limiti: l'idea di un valore a cui si avvicina una funzione
• Notazione dei limiti: leggere $\lim_{x \to a} f(x) = L$
• Leggere punti e altezze in un piano cartesiano
• Semplici funzioni definite a tratti e il significato di cerchietti vuoti e punti pieni

Spunti di discussione

1. Se cancellassi un solo punto da un grafico, potrebbe cambiare il limite in quel punto? Perché?
2. Come può una funzione avere un valore in $x = a$ ma nessun limite lì?
3. Perché dobbiamo guardare entrambi i lati di $x = a$ prima di dare il limite?
4. Dove, nella vita reale, un grafico fa un salto improvviso? Che cosa significherebbe il limite nel salto?

Idee sbagliate comuni

Il limite in $a$ è sempre $f(a)$

Rimedio: Mostra una retta con un buco in $(2, 3)$ e un punto in $(2, 5)$ . Chiedi dove va la retta, poi dove si trova il punto. Due domande diverse, due risposte diverse.

Un buco significa che il limite non esiste

Rimedio: Fai camminare due dita verso il buco da entrambi i lati. Si incontrano nel buco, quindi il limite esiste. Solo un salto, dove le dita si fermano ad altezze diverse, impedisce al limite di esistere.

La risposta di un limite è il numero a cui tende $x$

Rimedio: Insisti perché le risposte si leggano sull'asse $y$ . Fai dire agli studenti 'quando $x$ tende a $2$ , l'altezza tende a ...' prima di scrivere qualcosa.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Iniziare con grafici che hanno un solo punto particolare e altezze sulla griglia
• Usare due pennarelli colorati per percorrere il lato sinistro e quello destro prima di dare il limite
• Tenere una tabella a due colonne per ogni punto: limite (seguire la curva) e valore (punto pieno)

Per studenti a livello:

• Leggere limiti e valori in più punti dello stesso grafico a tratti
• Classificare carte con grafici in: limite uguale al valore, limite diverso dal valore, limite che non esiste
• Disegnare un grafico che rispetti limiti e valori dati

Per studenti avanzati:

• Inventare una funzione il cui limite esiste in $x = 1$ ma è diverso da $f(1)$ , e scriverne l'espressione a tratti
• Trovare una costante che raccordi due tratti in modo che il limite esista
• Anticipare la notazione dei limiti destro e sinistro descrivendo le altezze ai due lati di un salto

Allineamento agli standard

HSF-IF.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.B.4)
Interpretare le caratteristiche principali dei grafici di funzioni e disegnare grafici che le mostrino
HSF-IF.C.7b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.B)
Rappresentare funzioni definite a tratti, comprese le funzioni a gradini
AP Calculus LIM-1.C (AP.CALC.LIM-1.C)
Stimare limiti di funzioni a partire dai grafici

Risorse della lezione

visualGrafico con buco e punto
Grafico interattivo di $y = x + 1$ con un buco in $(2, 3)$ e un punto pieno in $(2, 5)$ per confrontare il limite con $f(2)$
visualGrafico a tratti con limiti
Grafico interattivo di una funzione definita a tratti con un salto e un buco, che indica i due lati e il valore in ogni interruzione
activityPasseggiata delle dita
Gli studenti percorrono grafici stampati con due dita da entrambi i lati verso ogni $x$ segnata e annotano le altezze raggiunte

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Per calcolare un limite dal grafico, leggi

\lim_{x \to a} f(x)

direttamente sul grafico di

f

. Metti un dito sulla curva da ciascun lato di

x = a

, scorri verso

x = a

e osserva verso quale altezza (valore di

y

) si dirige la curva.

Se entrambi i lati si dirigono verso la stessa altezza $L$ , allora $\lim_{x \to a} f(x) = L$ .
Se i due lati si dirigono verso altezze diverse, il limite non esiste.

Limite e valore della funzione. Sono due domande diverse:

$\lim_{x \to a} f(x)$ chiede dove va la curva vicino a $x = a$ .
$f(a)$ chiede dove si trova davvero il punto pieno in $x = a$ .

Un cerchietto vuoto (un buco) indica un punto che manca nel grafico. Un punto pieno indica il valore effettivo della funzione. Il limite ignora ciò che succede esattamente in

x = a

: un buco, o un punto che si trova altrove, non cambia quindi il limite.

\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \text{quando entrambi i lati del grafico tendono all'altezza } L

Esempi svolti

Il grafico di $f$ è la retta $y = x + 1$ con un cerchietto vuoto in $(2, 3)$ e un punto pieno in $(2, 5)$ (il primo grafico di questa lezione). Trova $\lim_{x \to 2} f(x)$ e $f(2)$ .

Segui la curva da sinistra

Per $x = 1{,}9;\ 1{,}99;\ 1{,}999$ la retta sale verso il cerchietto vuoto → L'altezza tende a $3$

Segui la curva da destra

Per $x = 2{,}1;\ 2{,}01;\ 2{,}001$ la retta scende verso lo stesso cerchietto vuoto → L'altezza tende a $3$

Confronta i due lati

Entrambi i lati vanno verso la stessa altezza → $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$

Trova il punto pieno in $x = 2$

Il punto pieno è in $(2, 5)$ , fuori dalla retta → $f(2) = 5$

Risposta: $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ ma $f(2) = 5$ . Il limite segue la curva, il valore della funzione è il punto pieno.

Errori comuni

Prendere il punto pieno come limite: rispondere $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$ perché c'è un punto in $(2, 5)$

Perché è sbagliato: Il limite descrive dove va la curva vicino a $x = 2$ . Un singolo punto fuori dalla curva non cambia la direzione della curva.

Corretto: Segui la curva da entrambi i lati: va verso il cerchietto vuoto ad altezza $3$ , quindi $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ , mentre $f(2) = 5$ .

Dire che il limite non esiste perché c'è un buco

Perché è sbagliato: Un buco significa solo che $f(a)$ manca. Il limite non guarda mai $x = a$ stesso, solo i valori intorno.

Corretto: Se entrambi i lati tendono all'altezza del buco, il limite esiste ed è uguale a quell'altezza, anche quando $f(a)$ non è definito.

In un salto, dare come limite l'altezza del punto pieno (o di un solo lato)

Perché è sbagliato: Un limite da entrambi i lati richiede che i due lati coincidano. In un salto, il lato sinistro e il destro tendono ad altezze diverse.

Corretto: Controlla entrambi i lati. Se tendono ad altezze diverse, scrivi che il limite non esiste, qualunque cosa mostri il punto pieno.

Rispondere con il valore di $x$ : scrivere $\lim_{x \to 2} f(x) = 2$

Perché è sbagliato: Il $2$ sotto il simbolo di limite è dove va $x$ . Il limite stesso è un'altezza, un valore di $y$ .

Corretto: Leggi la risposta sull'asse $y$ : l'altezza a cui tende la curva quando $x$ si avvicina a $2$ .

Perché è importante

Un grafico è spesso il modo più rapido per vedere cosa fa una funzione vicino a un punto:

L'analisi comincia qui: la derivata (pendenza di una retta tangente) è un limite, e la incontri prima come immagine.
I dati reali hanno buchi ed errori: il grafico di un sensore può avere una misura mancante o un picco sbagliato. Il limite ti dà l'andamento reale intorno a quell'istante.
Prezzi e tariffe fanno salti: spese di spedizione, tariffe dei taxi e scaglioni fiscali hanno grafici con salti, dove il valore appena prima e appena dopo un confine è diverso.
La continuità si basa su questo: più avanti dirai che una funzione è continua in $a$ esattamente quando il limite esiste ed è uguale a $f(a)$ , cosa che puoi controllare a occhio su un grafico.

Leggere i limiti sui grafici allena l'abitudine più importante dell'analisi: guardare cosa succede vicino a un punto, non solo nel punto.

Applicazioni nel mondo reale

Spese di spedizione con limite di peso

I corrieri fanno pagare per fasce di peso, quindi il grafico del prezzo in funzione del peso è una scala con salti ai confini delle fasce.

Esempio:

Un corriere chiede 5 € fino a 2 kg e 8 € oltre i 2 kg. Appena sotto i 2 kg il grafico è a 5, appena sopra è a 8: il limite del prezzo quando il peso tende a 2 kg quindi non esiste.

1Provaci tu stesso

Un corriere chiede 5 € per i pacchi fino a 2 kg (2 kg compresi) e 8 € per i pacchi da poco più di 2 kg fino a 5 kg. Il grafico del prezzo $C(w)$ ha un punto pieno in $(2, 5)$ e un cerchietto vuoto in $(2, 8)$ .

Quanto è grande il salto in $w = 2$ (l'altezza a cui tende il lato destro meno quella a cui tende il lato sinistro)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Altezza a destra meno altezza a sinistra:

Un errore nei dati di un sensore

Stazioni meteo e braccialetti fitness rappresentano le misure nel tempo. Quando una misura va persa o è sbagliata, il grafico ha un buco o un punto isolato, e il limite recupera l'andamento reale.

Esempio:

Un grafico del battito cardiaco che tende a 120 battiti al minuto da entrambi i lati di un istante, con un'unica misura sbagliata pari a 0 in quell'istante, ha comunque limite 120 in quel punto.

2Provaci tu stesso

Una stazione meteo rappresenta la temperatura $T(t)$ in °C, con $t$ in ore. Intorno a $t = 3$ la curva tende a $18$ °C da entrambi i lati, ma un errore ha salvato il singolo valore $T(3) = 0$ .

Quanto vale $\lim_{t \to 3} T(t)$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

L'altezza a cui tendono entrambi i lati:

Buchi sulla calcolatrice grafica

Un software di grafici disegna $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ come qualcosa che sembra una retta, ma percorrendo il grafico (trace) in $x = 3$ compare un errore. Lì il grafico ha un buco, e la sua altezza è il limite.

Esempio:

Per $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ il grafico sembra $y = x + 2$ con un buco in $(2, 4)$ , quindi $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ mentre $f(2)$ non è definito.

3Provaci tu stesso

Disegni $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ . Percorrendo il grafico compare ERROR in $x = 3$ , e il grafico sembra la retta $y = x + 3$ con un buco.

Quanto vale $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

L'altezza del buco:

Punti chiave

1Per leggere $\lim_{x \to a} f(x)$ su un grafico, segui la curva da entrambi i lati verso $x = a$ e leggi l'altezza a cui tende
2Il limite è un valore di $y$ (un'altezza), non il valore $a$ di $x$
3Un cerchietto vuoto (buco) indica un punto mancante, un punto pieno indica il valore effettivo $f(a)$
4Il limite ignora il punto in $x = a$ : un buco o un punto che si trova altrove non lo cambia
5Se i due lati tendono ad altezze diverse (un salto), il limite non esiste, qualunque sia $f(a)$
6Dove il grafico non ha interruzioni, il limite è semplicemente uguale a $f(a)$

Domande frequenti

Il limite può esistere se $f(a)$ non è definito?

Sì. Se il grafico ha un buco in

x = a

e entrambi i lati tendono all'altezza del buco, il limite è quell'altezza. Per esempio

\frac{x^2 - 4}{x - 2}

non è definita in

x = 2

, ma il suo limite lì è

4

Se c'è un punto pieno in $x = a$ , il limite esiste per forza?

No. Il punto dà solo

f(a)

. In un salto il grafico ha un punto pieno, ma i due lati tendono ad altezze diverse, quindi il limite non esiste.

Cosa scrivo quando un limite non esiste?

Scrivi:

\lim_{x \to a} f(x)

non esiste, e indica il motivo, per esempio: il lato sinistro tende a

2

e il lato destro a

4

Quanto è preciso leggere un limite su un grafico?

Solo quanto il grafico. Usa la griglia e i punti segnati, e quando l'altezza non cade chiaramente su una linea della griglia, verificala con una tabella dei valori o con l'algebra (le prossime lezioni).

Glossario

Limite: L'altezza $L$ a cui tende il grafico di $f$ da entrambi i lati quando $x$ tende ad $a$ , si scrive $\lim_{x \to a} f(x) = L$
Valore della funzione $f(a)$: L'altezza effettiva del grafico in $x = a$ , indicata da un punto pieno o dalla curva che passa per $x = a$
Cerchietto vuoto (buco): Un punto disegnato come cerchio vuoto: il grafico gli si avvicina, ma non fa parte del grafico
Punto pieno: Un punto pieno che fa parte del grafico e dà il valore della funzione in quel punto
Salto: Un punto in cui il grafico si interrompe e riprende a un'altra altezza, così i due lati tendono a valori diversi
Non esiste: Ciò che diciamo di un limite quando i due lati del grafico non tendono alla stessa altezza

Scheda formule

Leggere un limite sul grafico

\lim_{x \to a} f(x) = L

Entrambi i lati del grafico tendono all'altezza $L$ quando $x$ tende ad $a$

Quando il limite non esiste

\text{altezza a sinistra} \neq \text{altezza a destra} \;\Rightarrow\; \lim_{x \to a} f(x) \text{ non esiste}

Se i due lati tendono ad altezze diverse, $\lim_{x \to a} f(x)$ non esiste

Limite e valore

\lim_{x \to a} f(x) \text{ e } f(a) \text{ possono essere diversi}

Il limite segue la curva vicino ad $a$, il valore è il punto pieno in $a$. Possono essere diversi

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Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

Per studenti avanzati:

Contenuto della lezione

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Spese di spedizione con limite di peso

Un errore nei dati di un sensore

Buchi sulla calcolatrice grafica

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Leggere un limite sul grafico

Quando il limite non esiste

Limite e valore

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