Calcolare i limiti dal grafico

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Il grafico di $f$ è una retta che passa per un cerchietto vuoto in $(3, 4)$ . C'è anche un punto pieno in $(3, 1)$ . Quanto vale $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?
1. a)1
2. b)3
3. c)4
4. d)non esiste
Risposta: 4
Entrambi i lati della retta vanno verso il cerchietto vuoto ad altezza $4$ , quindi $\lim_{x \to 3} f(x) = 4$ . Il punto pieno in $(3, 1)$ dà solo $f(3) = 1$ .
2.
Il grafico di $g$ è la parabola $y = x^2$ con un cerchietto vuoto in $(2, 4)$ e un punto pieno in $(2, 0)$ . Quanto vale $\lim_{x \to 2} g(x)$ ?
Risposta: 4
Vicino a $x = 2$ la parabola tende da entrambi i lati a $2^2 = 4$ , l'altezza del cerchietto vuoto. Quindi $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$ .
3.
Il grafico di $f$ è la retta $y = x + 2$ con un cerchietto vuoto in $(1, 3)$ e un punto pieno in $(1, 6)$ . Trova $\lim_{x \to 1} f(x)$ e confrontalo con $f(1)$ .
Risposta: 3
1. A quale altezza tende la retta a sinistra di $x = 1$ ? 3
2. A quale altezza tende la retta a destra di $x = 1$ ? 3
3. Quanto vale $f(1)$ (il punto pieno)? 6
4. Quanto vale quindi $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? 3
4.
Il grafico di $f$ è una retta che passa per un cerchietto vuoto in $(3, 4)$ , e in più c'è un punto pieno in $(3, 1)$ . Quanto vale $f(3)$ ?
1. a)4
2. b)1
3. c)3
4. d)non esiste
Risposta: 1
Il cerchietto vuoto in $(3, 4)$ non fa parte del grafico. Il punto pieno in $(3, 1)$ sì, quindi $f(3) = 1$ , anche se il limite in $3$ è $4$ .
5.
Il grafico di $g$ è la parabola $y = x^2$ con un cerchietto vuoto in $(2, 4)$ e un punto pieno in $(2, 0)$ . Quanto vale $g(2)$ ?
Risposta: 0
Il punto pieno $(2, 0)$ è il punto del grafico in $x = 2$ , quindi $g(2) = 0$ . Il cerchietto vuoto mostra solo dove va la parabola.
6.
Il grafico di $f$ è la retta $y = 4 - x$ , disegnata senza buchi né punti in più. Trova $\lim_{x \to 1} f(x)$ e verifica se è uguale a $f(1)$ .
Risposta: 3
1. A quale altezza tende la retta a sinistra di $x = 1$ ? 3
2. A quale altezza tende a destra di $x = 1$ ? 3
3. Quanto vale $f(1)$ ? 3
4. Il limite è uguale a $f(1)$ ? sì
7.
Per $x < 2$ il grafico di $f$ segue $y = x$ e termina con un cerchietto vuoto in $(2, 2)$ . Per $x \ge 2$ segue $y = 5 - x$ , partendo da un punto pieno in $(2, 3)$ . Quanto vale $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
1. a)2
2. b)5
3. c)3
4. d)non esiste
Risposta: non esiste
Da sinistra il grafico tende a $2$ , da destra a $5 - 2 = 3$ . I lati non coincidono, quindi il limite non esiste, anche se $f(2) = 3$ .
8.
Il grafico di $h$ è la retta passante per $(0, -1)$ e $(4, 7)$ , con un cerchietto vuoto in $x = 2$ e nessun punto pieno lì. Quanto vale $\lim_{x \to 2} h(x)$ ?
Risposta: 3
La pendenza è $\frac{8}{4} = 2$ e la retta taglia l'asse $y$ in $-1$ , quindi $y = 2x - 1$ . Entrambi i lati tendono a $2 \cdot 2 - 1 = 3$ , quindi $\lim_{x \to 2} h(x) = 3$ anche se $h(2)$ non è definito.
9.
Per $x < 2$ il grafico di $f$ è la retta $y = x$ , che termina con un cerchietto vuoto in $(2, 2)$ . Per $x \ge 2$ è la retta $y = x + 3$ , che parte da un punto pieno in $(2, 5)$ . Esiste $\lim_{x \to 2} f(x)$ , e quanto vale $f(2)$ ?
Risposta: 5
1. A quale altezza tende il grafico a sinistra di $x = 2$ ? 2
2. A quale altezza tende il grafico a destra di $x = 2$ ? 5
3. I due lati coincidono, così che $\lim_{x \to 2} f(x)$ esiste? no
4. Quanto vale $f(2)$ ? 5
10.
Quale affermazione su $\lim_{x \to a} f(x)$ è sempre vera?
1. a)Se $f(a)$ non è definito, il limite in $a$ non esiste
2. b)Se c'è un punto pieno in $x = a$ , il limite è uguale alla sua altezza
3. c)Il limite in $a$ dipende solo dai valori di $f$ vicino ad $a$ , non in $a$
4. d)Il limite in $a$ è sempre uguale a $f(a)$
Risposta: Il limite in $a$ dipende solo dai valori di $f$ vicino ad $a$ , non in $a$
Il limite guarda solo i valori di $f$ vicino ad $a$ . Un buco ( $f(a)$ non definito) non impedisce il limite, un punto spostato rende il limite diverso da $f(a)$ , e in un salto c'è un punto pieno ma nessun limite.
11.
Vicino a $x = -2$ il grafico di $f$ tende da entrambi i lati a un cerchietto vuoto in $(-2, 3)$ , e c'è un punto pieno in $(-2, -1)$ . Calcola $\lim_{x \to -2} f(x) + f(-2)$ .
Risposta: 2
$\lim_{x \to -2} f(x) = 3$ (l'altezza a cui tende la curva) e $f(-2) = -1$ (il punto pieno), quindi la somma è $3 + (-1) = 2$ .
12.
Il grafico di $g$ : per $x \le -1$ è $y = x + 3$ , che termina con un punto pieno in $(-1, 2)$ ; per $-1 < x < 2$ è $y = (x - 1)^2$ , che parte da un cerchietto vuoto in $(-1, 4)$ ; per $x > 2$ è $y = 3 - x$ . In $x = 2$ c'è un cerchietto vuoto in $(2, 1)$ e nessun punto pieno. Leggi i limiti sul grafico.
Risposta: 1
1. Quanto vale $\lim_{x \to 0} g(x)$ ? 1
2. Quanto vale $\lim_{x \to 2} g(x)$ ? 1
3. $g(2)$ è definito? no
4. A quale altezza tende il grafico a destra di $x = -1$ ? 4
13.
Il grafico di $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$ sembra la retta $y = x - 1$ con un buco. Usa il grafico per trovare $\lim_{x \to -1} f(x)$ .
Risposta: -2
1. In quale $x$ si trova il buco (dove $f$ non è definito)? -1
2. Quale altezza ha la retta $y = x - 1$ in quella $x$ ? -2
3. C'è un punto pieno in $x = -1$ ? no
4. Quanto vale quindi $\lim_{x \to -1} f(x)$ ? -2
14.
Il grafico di $f$ ha tre punti particolari. In $x = 1$ la parte sinistra termina ad altezza $2$ e la parte destra inizia ad altezza $-1$ . In $x = 3$ la curva tende da entrambi i lati a un cerchietto vuoto in $(3, 4)$ , senza punto pieno. In $x = 5$ la curva tende da entrambi i lati a $(5, 0)$ , ma il punto pieno è in $(5, 3)$ . Per quale $a$ il limite $\lim_{x \to a} f(x)$ non esiste?
1. a) $a = 0$
2. b) $a = 5$
3. c) $a = 3$
4. d) $a = 1$
Risposta: $a = 1$
In $x = 1$ i lati tendono a $2$ e a $-1$ : un salto, quindi nessun limite. In $x = 3$ il limite è $4$ (un buco) e in $x = 5$ è $0$ (il punto ad altezza $3$ non conta). In $x = 0$ non succede niente di speciale.
15.
Il grafico di $f$ segue $y = 3x + k$ per $x < 2$ e $y = x^2$ per $x > 2$ , con cerchietti vuoti a entrambe le estremità in $x = 2$ . Per quale valore di $k$ esiste $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
Risposta: -2
Il lato sinistro tende a $3 \cdot 2 + k = 6 + k$ e il lato destro a $2^2 = 4$ . Il limite esiste quando $6 + k = 4$ , quindi $k = -2$ .
16.
Il grafico di $q$ : per $x < 2$ è $y = x^2$ , che termina con un cerchietto vuoto in $(2, 4)$ ; c'è un punto pieno in $(2, 1)$ ; per $2 < x < 5$ è $y = 6 - x$ , tra cerchietti vuoti in $(2, 4)$ e $(5, 1)$ ; per $x \ge 5$ è $y = x - 2$ , che parte da un punto pieno in $(5, 3)$ . Trova $\lim_{x \to 2} q(x)$ e $q(2)$ , e decidi se $\lim_{x \to 5} q(x)$ esiste.
Risposta: 4
1. Quanto vale $\lim_{x \to 2} q(x)$ ? 4
2. Quanto vale $q(2)$ ? 1
3. A quale altezza tende il grafico a sinistra di $x = 5$ ? 1
4. A quale altezza tende il grafico a destra di $x = 5$ ? 3
5. Esiste $\lim_{x \to 5} q(x)$ ? no
17.
Per $x < 3$ il grafico di $f$ è $y = ax$ , per $x > 3$ è $y = 12 - x$ , e c'è un punto pieno in $(3, 0)$ . Trova il valore di $a$ per cui esiste $\lim_{x \to 3} f(x)$ .
Risposta: 3
1. A quale altezza tende il grafico a destra di $x = 3$ ? 9
2. Il lato sinistro tende a $3a$ . Quale $a$ rende $3a$ uguale a quell'altezza? 3
3. Con questo $a$ , quanto vale $\lim_{x \to 3} f(x)$ ? 9
4. Quanto vale $f(3)$ ? 0
18.
Il grafico di $f$ : per $x \le 0$ è $y = -x$ , che termina con un punto pieno in $(0, 0)$ ; per $0 < x < 4$ è $y = x + 2$ , tra cerchietti vuoti in $(0, 2)$ e $(4, 6)$ ; c'è un punto pieno in $(4, 1)$ ; per $x > 4$ è $y = 10 - x$ , che parte da un cerchietto vuoto in $(4, 6)$ . Calcola $\lim_{x \to 4} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) + f(0)$ .
Risposta: 10
1. Quanto vale $\lim_{x \to 4} f(x)$ ? 6
2. Quanto vale $\lim_{x \to 2} f(x)$ ? 4
3. Quanto vale $f(0)$ ? 0
4. Esiste $\lim_{x \to 0} f(x)$ ? (Non fa parte della somma.) no
5. Quanto vale la somma $\lim_{x \to 4} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) + f(0)$ ? 10