Limiti infiniti

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Calcola $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$ .
1. a) $-\infty$
2. b) $0$
3. c) $1$
4. d) $\infty$
Risposta: $\infty$
Per $x = \pm 0{,}1$ otteniamo $\frac{1}{0{,}01} = 100$ , per $x = \pm 0{,}01$ otteniamo $10000$ . I valori crescono senza limite da entrambi i lati, quindi $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$ .
2.
La funzione $f(x) = \frac{7}{x-6}$ ha un asintoto verticale $x = a$ . Quanto vale $a$ ?
Risposta: 6
$x - 6 = 0$ dà $x = 6$ , e il numeratore è $7 \neq 0$ . Quindi la funzione esplode vicino a $x = 6$ e $a = 6$ .
3.
Calcola $\lim_{x \to 5^+} \frac{1}{x-5}$ .
Risposta: $\infty$
1. Quanto vale $x - 5$ per $x = 5{,}01$ ? 0.01
2. Quanto vale $\frac{1}{x-5}$ per $x = 5{,}01$ ? 100
3. Qual è il limite destro? $\infty$
4.
Dove si trova l'asintoto verticale di $f(x) = \frac{3}{x+5}$ ?
1. a) $x = 5$
2. b) $y = 0$
3. c) $x = 3$
4. d) $x = -5$
Risposta: $x = -5$
Il denominatore $x + 5$ vale $0$ in $x = -5$ , e il numeratore $3$ non vale mai $0$ . Quindi $x = -5$ è l'asintoto verticale. ( $y = 0$ è un asintoto orizzontale.)
5.
Per $f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}$ , calcola $f(2{,}01)$ .
Risposta: 10000
$(0{,}01)^2 = 0{,}0001$ e $\frac{1}{0{,}0001} = 10000$ . Vicinissimo a $x = 2$ la funzione è già enorme, segno del limite infinito in quel punto.
6.
Calcola $\lim_{x \to 0} \frac{3}{x^2}$ .
Risposta: $\infty$
1. Quanto vale $x^2$ per $x = 0{,}1$ (e anche per $x = -0{,}1$ )? 0.01
2. Quanto vale $\frac{3}{x^2}$ per $x = 0{,}1$ e $x = -0{,}1$ ? 300
3. Qual è il limite? $\infty$
7.
Trova l'asintoto verticale di $g(x) = \frac{x+4}{x-1}$ .
Risposta: $x = 1$
1. Per quale $x$ il denominatore vale $0$ ? 1
2. Quanto vale il numeratore in quel punto? 5
3. Quale retta è l'asintoto verticale? $x = 1$
8.
Calcola $\lim_{x \to 4^-} \frac{2}{x-4}$ .
1. a) $-\infty$
2. b) $0$
3. c) $\infty$
4. d) $2$
Risposta: $-\infty$
Per $x < 4$ il denominatore $x - 4$ è un piccolo numero negativo (per esempio $3{,}99 - 4 = -0{,}01$ ) e il numeratore $2$ è positivo. Positivo diviso piccolo negativo dà $\frac{2}{-0{,}01} = -200$ e ancora meno, quindi il limite è $-\infty$ .
9.
Per $f(x) = \frac{1}{x-2}$ , calcola $f(1{,}999)$ .
Risposta: -1000
$\frac{1}{-0{,}001} = -1000$ . Appena a sinistra di $x = 2$ i valori sono grandi e negativi, in accordo con $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty$ .
10.
Calcola $\lim_{x \to 1^-} \frac{x+3}{x-1}$ .
Risposta: $-\infty$
1. A cosa tende il numeratore $x + 3$ per $x \to 1$ ? 4
2. Quanto vale il denominatore $x - 1$ per $x = 0{,}99$ ? -0.01
3. Quanto vale $\frac{x+3}{x-1}$ per $x = 0{,}99$ ? -399
4. Qual è il limite sinistro? $-\infty$
11.
Che cosa è vero per $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1}$ ?
1. a) $\infty$
2. b) $-\infty$
3. c)Non esiste
4. d) $1$
Risposta: Non esiste
A sinistra di $1$ : $\frac{1}{0{,}9 - 1} = -10$ , i valori tendono a $-\infty$ . A destra di $1$ : $\frac{1}{1{,}1 - 1} = 10$ , i valori tendono a $\infty$ . I due lati non sono d'accordo, quindi il limite non esiste e non si può scrivere né $\infty$ né $-\infty$ .
12.
Trova i limiti unilaterali e il limite bilaterale di $f(x) = \frac{x}{x-1}$ in $x = 1$ .
Risposta: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty,\ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \infty$
1. Quanto vale $f(0{,}9)$ ? -9
2. Quanto vale $f(1{,}1)$ ? 11
3. Quanto vale $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ ? $-\infty$
4. Quanto vale $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ ? $\infty$
5. Quanto vale $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? non esiste
13.
Quanti asintoti verticali ha $f(x) = \frac{x+1}{x^2-4x+3}$ ?
Risposta: 2
$x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$ , quindi il denominatore vale $0$ in $x = 1$ e $x = 3$ . Lì il numeratore vale $2$ e $4$ , entrambi diversi da $0$ . Ci sono quindi $2$ asintoti verticali: $x = 1$ e $x = 3$ .
14.
Calcola $\lim_{x \to -2} \frac{x-3}{(x+2)^2}$ .
Risposta: $-\infty$
1. A cosa tende il numeratore $x - 3$ per $x \to -2$ ? -5
2. Quanto vale $\frac{x-3}{(x+2)^2}$ per $x = -1{,}9$ ? -490
3. Quanto vale $\frac{x-3}{(x+2)^2}$ per $x = -2{,}1$ ? -510
4. Qual è il limite? $-\infty$
15.
Quale funzione ha un asintoto verticale in $x = 3$ ?
1. a) $\frac{1}{x+3}$
2. b) $\frac{x-3}{x^2-9}$
3. c) $\frac{x+3}{x-3}$
4. d) $\frac{x^2-9}{x-3}$
Risposta: $\frac{x+3}{x-3}$
$\frac{x+3}{x-3}$ : denominatore $0$ in $x = 3$ , numeratore $6 \neq 0$ , quindi lì esplode. $\frac{x-3}{x^2-9} = \frac{1}{x+3}$ ha un buco in $x = 3$ (il suo asintoto è $x = -3$ ), $\frac{x^2-9}{x-3} = x + 3$ ha solo un buco in $x = 3$ , e $\frac{1}{x+3}$ ha l'asintoto in $x = -3$ .
16.
La funzione $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+2x-3}$ ha esattamente un asintoto verticale $x = a$ . Quanto vale $a$ ?
Risposta: -3
$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+3)}$ . In $x = 1$ entrambi valgono $0$ : dopo la semplificazione $\frac{x+1}{x+3} \to \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ , un buco. In $x = -3$ il numeratore vale $9 - 1 = 8 \neq 0$ , quindi $a = -3$ .
17.
Studia $f(x) = \frac{x^2-4}{x^2-5x+6}$ negli zeri del denominatore.
Risposta: $x = 3$
1. Qual è lo zero più piccolo del denominatore? 2
2. Qual è lo zero più grande del denominatore? 3
3. Nello zero più piccolo vale $0$ anche il numeratore. Semplifica il fattore comune: quanto vale $\lim_{x \to 2} f(x)$ ? -4
4. In quale $x$ si trova l'asintoto verticale? 3
5. Quanto vale $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ ? $\infty$
18.
Calcola $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2+1}{4-x^2}$ .
Risposta: $-\infty$
1. A cosa tende il numeratore $x^2 + 1$ per $x \to 2$ ? 5
2. Quanto vale il denominatore $4 - x^2$ in $x = 2$ ? 0
3. Quanto vale $4 - x^2$ per $x = 2{,}01$ ? -0.0401
4. Qual è il limite destro? $-\infty$