Guida per l'insegnante: Limiti infiniti

Scopri cosa significa che una funzione cresce senza limite vicino a un punto, come trovare il segno studiando il denominatore e come i limiti infiniti creano asintoti verticali.

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10 domande su Limiti. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Interpretare le notazioni $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ e $-\infty$ per limiti unilaterali e bilaterali
Usare lo studio del segno di numeratore e denominatore per decidere se un limite è $\infty$ o $-\infty$
Decidere se un limite infinito bilaterale si può scrivere come $\pm\infty$ oppure non esiste
Trovare gli asintoti verticali delle funzioni razionali e distinguerli dai buchi
Spiegare perché un limite uguale a $\infty$ non è un limite che esiste come numero

Prerequisiti

• Le lezioni «Notazione dei limiti» e «Limite destro e limite sinistro»
• Le lezioni «Calcolare i limiti con la tabella dei valori» e «Limiti per sostituzione diretta»
• Scomporre espressioni di secondo grado
• Regole dei segni per moltiplicare e dividere numeri negativi

Spunti di discussione

1. «Il limite è infinito» vuol dire «il limite esiste»? Perché sì o perché no?
2. Perché non possiamo scrivere $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty$ , mentre $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$ è corretto?
3. Sia $\frac{x-2}{x-2}$ sia $\frac{1}{x-2}$ hanno denominatore nullo in $x = 2$ . Perché solo una delle due ha un asintoto verticale?
4. Ti viene in mente una grandezza della vita reale che cresce senza limite quando ci si avvicina a un certo valore?

Idee sbagliate comuni

Un limite infinito significa che il limite esiste ed è un numero molto grande

Rimedio: Mostra una tabella per $\frac{1}{(x-2)^2}$ : qualunque soglia proponga uno studente (un milione, un miliardo), trova un $x$ vicino a $2$ che la supera. Concludi che nessun numero va bene, quindi il limite non esiste come numero.

Ogni zero del denominatore dà un asintoto verticale

Rimedio: Disegna $\frac{x^2-4}{x-2}$ accanto a $\frac{1}{x-2}$ . La prima è la retta $y = x + 2$ con un buco in $x = 2$ ; solo la seconda esplode. Fai del controllo del numeratore un passaggio fisso.

Se un lato tende a $\infty$ , il limite bilaterale è $\infty$

Rimedio: Usa il grafico di $\frac{1}{x-2}$ e chiedi agli studenti di seguire ogni ramo fino a $x = 2$ . Pretendi che scrivano entrambi i limiti unilaterali prima di quello bilaterale.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Inizia con tabelle dei valori (1,9; 1,99; 2,01; 2,1) prima di ragionare sui segni
• Fornisci un modello di tabella dei segni con caselle per numeratore, denominatore e quoziente
• All'inizio usa solo denominatori della forma $x - a$ e $(x - a)^2$

Per studenti a livello:

• Trovare asintoti verticali e limiti unilaterali di funzioni razionali con denominatore scomponibile
• Classificare ogni zero del denominatore come asintoto o buco
• Abbozzare il grafico vicino a ogni asintoto partendo dai limiti unilaterali

Per studenti avanzati:

• Esplorare limiti infiniti di funzioni non razionali, come $\ln x$ per $x \to 0^+$ e $\tan x$ vicino a $\frac{\pi}{2}$
• Dimostrare $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$ con la definizione: per ogni $M > 0$ trovare un $\delta > 0$
• Costruire una funzione razionale con asintoti, buchi e comportamento unilaterale assegnati

Allineamento agli standard

HSF-IF.C.7d (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.D)
Rappresentare funzioni razionali, individuando zeri e asintoti quando è disponibile una scomposizione adatta, e mostrando il comportamento agli estremi
AP Calculus LIM-2.D (AP.CALC.LIM-2.D)
Interpretare il comportamento delle funzioni usando limiti che coinvolgono l'infinito

Risorse della lezione

visualGrafici di 1/(x - 2) e 1/(x - 2)²
Passa da un grafico all'altro e confronta le tabelle dei valori da entrambi i lati dell'asintoto $x = 2$
activityStaffetta dei segni
Le squadre compilano il segno di numeratore, denominatore e quoziente da ogni lato di ogni zero del denominatore, poi abbozzano il grafico
worksheetAsintoto o buco?
Dieci funzioni razionali: classifica ogni zero del denominatore e indica i limiti unilaterali

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Un limite infinito descrive una funzione i cui valori crescono senza limite quando

x

tende a un numero

a

\lim_{x \to a} f(x) = \infty

significa: quando

x

si avvicina ad

a

(da entrambi i lati),

f(x)

diventa più grande di qualsiasi numero tu possa indicare. Allo stesso modo,

\lim_{x \to a} f(x) = -\infty

significa che

f(x)

diventa più piccolo di qualsiasi numero tu possa indicare.

Le versioni unilaterali funzionano allo stesso modo:

\lim_{x \to a^-} f(x) = \infty

guarda solo

x < a

, e

\lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty

guarda solo

x > a

Importante:

\infty

non è un numero. Scrivere

\lim_{x \to a} f(x) = \infty

ti dice *come* il limite non esiste come numero reale: i valori esplodono verso il positivo. Il limite non esiste come numero.

Asintoto verticale: la retta

x = a

è un asintoto verticale di

f

se almeno uno dei limiti unilaterali in

a

\infty

-\infty

. Per una funzione razionale

\frac{p(x)}{q(x)}

questo succede dove

q(a) = 0

p(a) \neq 0

Studio del segno: quando il numeratore tende a un numero diverso da zero e il denominatore tende a

0

, il quoziente cresce senza limite in valore assoluto. Il suo segno dipende dai segni delle due parti:

positivo diviso un piccolo numero positivo: $\infty$
positivo diviso un piccolo numero negativo: $-\infty$
negativo diviso un piccolo numero positivo: $-\infty$
negativo diviso un piccolo numero negativo: $\infty$

Esempi svolti

Calcola $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2}$ .

Prova la sostituzione diretta

$\frac{1}{(2-2)^2} = \frac{1}{0}$ : il numeratore è $1$ , il denominatore è $0$ → Non è un numero: guardiamo più da vicino

Tabella dei valori da sinistra

$x = 1{,}9$ : $\frac{1}{0{,}01} = 100$ ; $x = 1{,}99$ : $\frac{1}{0{,}0001} = 10000$ → I valori crescono senza limite

Tabella dei valori da destra

$x = 2{,}1$ : $100$ ; $x = 2{,}01$ : $10000$ → I valori crescono senza limite

Usa il segno

$(x-2)^2$ è un quadrato, quindi è positivo da entrambi i lati di $2$ → Entrambi i limiti unilaterali sono $\infty$

Risposta: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty$ . Entrambi i lati esplodono nella stessa direzione, quindi scriviamo $\infty$ per il limite, e $x = 2$ è un asintoto verticale.

Errori comuni

Dire «il limite esiste e vale $\infty$ »

Perché è sbagliato: $\infty$ non è un numero reale. Scrivere $= \infty$ descrive solo come cresce la funzione; il limite non esiste come numero.

Corretto: Di' « $f(x)$ cresce senza limite per $x \to a$ » oppure «il limite è $\infty$ », e ricorda che un limite uguale a $\infty$ non è un limite che esiste.

Scrivere $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} = \infty$

Perché è sbagliato: Da sinistra i valori tendono a $-\infty$ , da destra a $\infty$ . Puoi scrivere $\infty$ per il limite solo quando entrambi i lati tendono a $\infty$ .

Corretto: Indica entrambi i limiti unilaterali ( $-\infty$ e $\infty$ ) e di' che il limite in $2$ non esiste.

Pensare che ogni zero del denominatore sia un asintoto verticale

Perché è sbagliato: Se anche il numeratore vale $0$ in quel punto, l'espressione ha la forma $\frac{0}{0}$ e si può semplificare. Allora il limite può essere un numero e il grafico ha solo un buco.

Corretto: Controlla prima il numeratore: denominatore $0$ e numeratore diverso da $0$ significa asintoto verticale; entrambi $0$ significa semplificare e ricontrollare.

Scegliere il segno guardando solo il denominatore

Perché è sbagliato: Un numeratore negativo ribalta il risultato: $\frac{-5}{\text{piccolo positivo}}$ tende a $-\infty$ , non a $\infty$ .

Corretto: Trova il segno del numeratore e quello del denominatore dal lato che stai studiando, poi combinali come in una divisione.

Perché è importante

I limiti infiniti descrivono situazioni in cui una grandezza esplode avvicinandosi a un valore critico:

Fisica: la forza tra due cariche, $F = \frac{k}{r^2}$ , cresce senza limite quando la distanza $r$ tende a $0$
Ottica: quando un oggetto è posto vicino al fuoco di una lente, l'immagine si allontana all'infinito
Ambiente: il costo o il tempo per eliminare l'ultima percentuale di un inquinante spesso cresce senza limite avvicinandosi al 100%
Grafici: i limiti infiniti ti dicono esattamente dove si trovano gli asintoti verticali di una funzione razionale e in che direzione va il grafico da ogni lato

In analisi userai i limiti infiniti per disegnare grafici, descrivere discontinuità e lavorare con gli integrali impropri.

Applicazioni nel mondo reale

La forza elettrica a piccole distanze

La forza tra due particelle cariche è inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza, quindi cresce senza limite quando la distanza si riduce a zero.

Esempio:

Con $F(r) = \frac{100}{r^2}$ (in newton, $r$ in metri), dimezzare la distanza quadruplica la forza, e $\lim_{r \to 0^+} F(r) = \infty$ .

1Provaci tu stesso

Due particelle cariche si respingono con una forza di $F(r) = \frac{100}{r^2}$ newton, dove $r$ è la distanza in metri.

Quanto vale la forza, in newton, a una distanza di $r = 0{,}1$ metri?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $F(0{,}1)$ :

Eliminare le ultime impurità

Depurare l'acqua diventa sempre più difficile man mano che ci si avvicina alla purezza totale. I modelli dello sforzo hanno spesso un asintoto verticale al 100%.

Esempio:

Se filtrare il $p$ per cento delle impurità richiede $T(p) = \frac{50p}{100-p}$ minuti, allora $T(50) = 50$ minuti, ma $T(90) = 450$ minuti.

2Provaci tu stesso

Un filtro impiega $T(p) = \frac{50p}{100-p}$ minuti per eliminare il $p$ per cento delle impurità da un serbatoio d'acqua.

A cosa tende $T(p)$ per $p \to 100^-$ ?

Passo 1: Scegli la risposta giusta

Scegli il valore di $\lim_{p \to 100^-} T(p)$ :

Immagini formate da una lente

Per una lente con distanza focale $f$, la distanza dell'immagine è $d_i = \frac{f \, d_o}{d_o - f}$. Quando l'oggetto si avvicina al fuoco, l'immagine si allontana all'infinito.

Esempio:

Per $f = 10$ cm: un oggetto a $d_o = 20$ cm dà un'immagine a $d_i = \frac{200}{10} = 20$ cm, e $\lim_{d_o \to 10^+} d_i = \infty$ .

3Provaci tu stesso

Una lente d'ingrandimento ha distanza focale $10$ cm, quindi la distanza dell'immagine è $d_i = \frac{10 \, d_o}{d_o - 10}$ cm.

Qual è la distanza dell'immagine, in cm, quando l'oggetto è a $d_o = 11$ cm?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $d_i$ per $d_o = 11$ :

Punti chiave

1 $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ significa che $f(x)$ cresce senza limite quando $x$ tende ad $a$ ; $-\infty$ significa che decresce senza limite
2 $\infty$ non è un numero: un limite uguale a $\infty$ o $-\infty$ non esiste come numero reale
3Se il numeratore tende a un numero diverso da zero e il denominatore a $0$ , il limite è infinito; lo studio del segno decide tra $\infty$ e $-\infty$
4Studia ogni lato separatamente: se sinistra e destra vanno in direzioni diverse, il limite non esiste e non si scrive $\infty$
5 $x = a$ è un asintoto verticale quando almeno un limite unilaterale in $a$ è $\infty$ o $-\infty$
6Uno zero del denominatore in cui anche il numeratore vale $0$ può essere un buco e non un asintoto: semplifica prima

Domande frequenti

Se il limite è $\infty$ , il limite esiste?

No. Un limite esiste solo quando è un numero reale. Scrivere

\lim_{x \to a} f(x) = \infty

è un modo più preciso di dire «il limite non esiste perché i valori crescono senza limite verso il positivo».

Che differenza c'è tra un limite infinito e un limite all'infinito?

In un limite infinito

x

tende a un numero e

f(x)

esplode:

\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty

. In un limite all'infinito è

x

stesso a crescere senza limite:

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

. Il primo dà asintoti verticali, il secondo asintoti orizzontali.

Un grafico può attraversare un asintoto verticale?

No. In un asintoto verticale

x = a

i valori della funzione esplodono vicino ad

a

, e di solito

f(a)

non è nemmeno definita. (Gli asintoti orizzontali sono diversi: un grafico può attraversarli.)

Perché una potenza pari al denominatore dà lo stesso segno da entrambi i lati?

Un quadrato (o qualsiasi potenza pari) non è mai negativo. Vicino ad

a

(x-a)^2

è un piccolo numero positivo da entrambi i lati, quindi il segno del quoziente dipende solo dal numeratore.

Glossario

Limite infinito: Un limite in cui $f(x)$ cresce (o decresce) senza limite per $x \to a$ ; si scrive $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ o $-\infty$
Asintoto verticale: Una retta verticale $x = a$ a cui il grafico si avvicina mentre i suoi valori tendono a $\infty$ o $-\infty$ almeno da un lato
Studio del segno: Stabilire se numeratore e denominatore sono positivi o negativi vicino ad $a$ per decidere tra $\infty$ e $-\infty$
Cresce senza limite: Diventa più grande di qualsiasi numero si possa indicare; è questo il significato di $\to \infty$
Non esiste: Il limite non è un numero reale, per esempio perché i valori esplodono o perché i due lati non sono d'accordo

Scheda formule

Criterio del limite infinito

\lim_{x \to a^{\pm}} \frac{p(x)}{q(x)} = \pm\infty \text{ se } p(a) \neq 0,\ q(a) = 0

Numeratore diverso da zero su un denominatore che tende a $0$: ogni limite unilaterale è $\infty$ o $-\infty$, decidono i segni; il limite bilaterale è $\pm\infty$ solo se i due lati coincidono

Potenza dispari

\lim_{x \to a^-} \frac{1}{x-a} = -\infty, \quad \lim_{x \to a^+} \frac{1}{x-a} = \infty

I due lati vanno in direzioni opposte, quindi il limite in $a$ non esiste

Potenza pari

\lim_{x \to a} \frac{1}{(x-a)^2} = \infty

Un quadrato è positivo da entrambi i lati, quindi entrambi i lati tendono a $\infty$

Asintoto verticale

x = a \text{ se } \lim_{x \to a^-} f(x) \text{ o } \lim_{x \to a^+} f(x) \text{ vale } \pm\infty

Basta un solo limite unilaterale infinito

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Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

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Eliminare le ultime impurità

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Domande frequenti

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Potenza pari

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