Guida per l'insegnante: Distribuzione normale standard

Impara la distribuzione normale standard N(0, 1), come standardizzare qualsiasi variabile normale e come leggere la tavola per le aree a sinistra, a destra e tra due valori.

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10 domande su Distribuzioni di probabilità. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Descrivere la distribuzione normale standard N(0, 1) e la sua variabile Z
Standardizzare un valore di qualsiasi variabile normale con z = (x - μ) / σ
Leggere le aree cumulate a sinistra nella tavola z tramite riga e colonna
Trovare le aree a destra e tra due valori con 1 - Φ(z) e Φ(b) - Φ(a)
Usare la simmetria per gli z negativi e controllare i risultati con la regola 68-95-99,7

Prerequisiti

• Introduzione alla distribuzione normale: curva a campana, media, deviazione standard e regola 68-95-99,7
• Punteggi z: calcolare a quante deviazioni standard un valore si trova dalla media
• Numeri decimali e sottrazione di decimali da 1
• La probabilità come numero tra 0 e 1

Spunti di discussione

1. Perché è utile che ogni distribuzione normale si possa trasformare nella stessa curva?
2. La tavola dà 0,9332 per z = 1,5. Senza calcolare, quanto vale circa l'area a destra, e perché?
3. Perché Φ(0) deve valere esattamente 0,5?
4. Come può la regola 68-95-99,7 dirti che un risultato della tavola è sbagliato?

Idee sbagliate comuni

Il valore della tavola è la probabilità richiesta, qualunque sia la regione

Rimedio: Far disegnare la curva e colorare la regione prima di ogni lettura. Chiedere: la mia regione è a sinistra di z? Se no, quale regola trasforma l'area a sinistra in quello che mi serve?

Un punteggio z negativo dà una probabilità negativa

Rimedio: Mostrare sulla curva interattiva che portando z sotto 0 l'area colorata resta positiva, solo minore della metà. Collegare alla simmetria: la coda sinistra in -z è lo specchio della coda destra in z.

L'area tra a e b è Φ(b - a)

Rimedio: Confrontare P(1 < Z < 2) con Φ(1): una è una striscia sottile (0,1359), l'altra quasi tutta la curva (0,8413). Colorarle entrambe rende chiara la differenza.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Iniziare con z positivi e aree a sinistra, poi aggiungere le aree a destra
• Disegnare e colorare sempre prima di leggere la tavola
• Dare una tavola ridotta con le sole righe da 0,0 a 2,0

Per studenti a livello:

• Mescolare aree a sinistra, a destra, tra due valori e z negativi
• Standardizzare prima valori originali semplici, poi usare la tavola
• Controllare ogni risultato con la regola 68-95-99,7

Per studenti avanzati:

• Lavorare all'indietro: trovare z per un'area a sinistra data (per esempio 0,975 dà 1,96)
• Trovare l'area esterna P(|Z| > z) e confrontarla con la regola 68-95-99,7
• Spiegare perché 1,96 e 2,58 compaiono così spesso in statistica

Allineamento agli standard

HSS-ID.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.4)
Usare media e deviazione standard di un insieme di dati per adattarlo a una distribuzione normale e stimare percentuali della popolazione; usare calcolatrici, fogli di calcolo e tavole per stimare aree sotto la curva normale
HSS-IC.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.B.4)
Usare i dati di un'indagine campionaria per stimare una media o una proporzione della popolazione; sviluppare un margine di errore con simulazioni di campionamento casuale

Risorse della lezione

visualTavola z interattiva
Spostare z sulla curva e vedere illuminarsi la riga e la colonna corrispondenti della tavola
activityColora l'area
Gli studenti disegnano le aree a sinistra, a destra e tra due valori prima di leggere la tavola, poi confrontano con la curva interattiva
worksheetEsercizi con la tavola z
Problemi su aree a sinistra, a destra, tra due valori e con z negativi, ognuno con il controllo 68-95-99,7

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

La distribuzione normale standard è la distribuzione normale con media

\mu = 0

e deviazione standard

\sigma = 1

. Si scrive

N(0, 1)

e la sua variabile si chiama

Z

Standardizzare

Ogni variabile normale

X

con media

\mu

e deviazione standard

\sigma

diventa la normale standard quando la standardizzi:

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

Perciò basta una sola tavola per tutte le distribuzioni normali: prima calcoli

z

, poi leggi l'area.

La tavola z

La tavola della normale standard (tavola z) riporta l'area cumulata a sinistra di

z

\Phi(z) = P(Z \le z)

La riga dà

z

con un decimale (per esempio

1{,}2

), la colonna dà il secondo decimale (per esempio

0{,}03

). Dove si incrociano leggi

\Phi(1{,}23) = 0{,}8907

Tre regole per ogni area

**A sinistra di $z$ **: si legge direttamente, $P(Z < z) = \Phi(z)$
**A destra di $z$ **: l'area totale è 1, quindi $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$
**Tra $a$ e $b$ **: $P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)$

La curva è simmetrica rispetto a 0, quindi

\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

. Per una variabile continua,

P(Z < z)

P(Z \le z)

sono lo stesso numero.

Esempi svolti

Trova

P(Z \le 1{,}23)

per la variabile normale standard

Z

Dividi $z$ in riga e colonna

1{,}23 = 1{,}2 + 0{,}03

→ Riga

1{,}2

, colonna

0{,}03

Leggi il valore dove si incrociano riga e colonna

Riga

1{,}2

, colonna

0{,}03

0{,}8907

→

\Phi(1{,}23) = 0{,}8907

Controlla che abbia senso

z = 1{,}23

è un po' più di 1, e

\Phi(1) = 0{,}8413

→ Un valore poco sopra

0{,}8413

è ragionevole

Risposta: $P(Z \le 1{,}23) = 0{,}8907$ , quindi circa l'89,07% dell'area sta a sinistra di $z = 1{,}23$ .

Errori comuni

Usare il valore della tavola come area a destra: dire $P(Z > 1{,}5) = 0{,}9332$

Perché è sbagliato: La tavola z dà sempre l'area a SINISTRA di $z$ . Un'area di $0{,}9332$ a destra di uno $z$ positivo è impossibile, perché più di metà della curva starebbe alla sua destra.

Corretto: Per un'area a destra sottrai da 1: $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$ .

Pensare che uno $z$ negativo dia un'area negativa o la stessa area: $\Phi(-0{,}75) = -0{,}7734$ oppure $0{,}7734$

Perché è sbagliato: Le aree non sono mai negative. Uno $z$ negativo è a sinistra della media, quindi l'area alla sua sinistra è minore di $0{,}5$ .

Corretto: Usa la simmetria: $\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266$ .

Sottrarre i valori di z invece delle aree: $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2 - (-1)) = \Phi(3)$

Perché è sbagliato: La tavola trasforma valori di z in aree. L'area tra due punti è la differenza delle due aree a sinistra, non l'area della differenza.

Corretto: $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$ .

Cercare il valore originale nella tavola z: leggere $P(X < 60)$ alla riga 60

Perché è sbagliato: La tavola vale solo per $Z$ , con media 0 e deviazione standard 1. Un valore originale va prima standardizzato.

Corretto: Calcola prima $z = \frac{60 - 50}{8} = 1{,}25$ , poi leggi $\Phi(1{,}25) = 0{,}8944$ .

Perché è importante

La normale standard è l'unica curva a cui si riconduce ogni problema sulla distribuzione normale:

Una tavola per tutto: altezze, voti, tempi di reazione ed errori di misura hanno medie e dispersioni diverse, ma dopo la standardizzazione usano tutti la stessa tavola
Valori esatti invece di stime: la regola 68-95-99,7 funziona solo per deviazioni standard intere; la tavola dà l'area per qualsiasi $z$ , come $z = 1{,}23$
Statistica e scienze: intervalli di confidenza, test di ipotesi e limiti di tolleranza (come $\pm 1{,}96$ o $\pm 3$ ) si leggono tutti dalla normale standard
Un controllo incorporato: se un risultato della tavola è lontano da 68%, 95% o 99,7% quando dovrebbe esserne vicino, sai che un passaggio è sbagliato

Appena sai leggere la tavola z e usare le tre regole delle aree, ogni problema sulla normale diventa una breve routine.

Applicazioni nel mondo reale

Controllo qualità

Le fabbriche standardizzano ogni misura e scartano i pezzi troppo lontani dal valore nominale, per esempio a più di 2 deviazioni standard.

Esempio:

Un pezzo con $z = -2{,}3$ è 2,3 deviazioni standard sotto la lunghezza nominale, quindi viene scartato.

1Provaci tu stesso

Gli errori di una macchina, dopo la standardizzazione, seguono la distribuzione normale standard. Un pezzo viene scartato se $Z < -2$ oppure $Z > 2$ . Tavola: $\Phi(2) = 0{,}9772$ .

Quale frazione dei pezzi viene scartata? Dai un numero decimale.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Due code uguali: $2 \times (1 - 0{,}9772)$

Punteggi di test standardizzati

Alcuni esami riportano i risultati direttamente come punteggi z, così ogni studente vede subito quanto è sopra o sotto la media.

Esempio:

Un punteggio di $z = 0$ è esattamente nella media; $z = 1$ è una deviazione standard sopra la media.

2Provaci tu stesso

I risultati di un esame sono riportati come punteggi z e seguono la distribuzione normale standard. Tavola: $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ .

Quale frazione degli studenti ha un punteggio z maggiore di $0{,}5$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Area a destra: $1 - \Phi(0{,}5)$

Errori delle previsioni meteo

I meteorologi controllano di quanto sbagliano le previsioni di temperatura. Per una previsione ben calibrata, l'errore in °C può seguire la distribuzione normale standard: media 0, deviazione standard 1.

Esempio:

Un errore di $-1{,}2$ °C significa che la temperatura reale è stata di 1,2 gradi più bassa del previsto.

3Provaci tu stesso

Gli errori delle previsioni per il giorno dopo (in °C) seguono la distribuzione normale standard. Tavola: $\Phi(1{,}5) = 0{,}9332$ .

Qual è la probabilità che una previsione sbagli di meno di 1,5 °C, cioè $-1{,}5 < Z < 1{,}5$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Tra: $\Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5)$

Punti chiave

1La distribuzione normale standard $N(0, 1)$ ha media 0 e deviazione standard 1; la sua variabile si chiama $Z$
2Standardizza qualsiasi valore normale con $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ e poi usa l'unica tavola z
3La tavola z dà l'area a SINISTRA: $\Phi(z) = P(Z \le z)$ ; riga = primo decimale, colonna = secondo decimale
4Area a destra: $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$ ; tra due valori: $P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)$
5Simmetria: $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ e $\Phi(0) = 0{,}5$
6Controlla ogni risultato con la regola 68-95-99,7: per esempio $\Phi(1) - \Phi(-1) = 0{,}6826 \approx 68\%$

Domande frequenti

Perché una sola tavola funziona per tutte le distribuzioni normali?

Standardizzando, la media si sposta a 0 e la dispersione si riscala a 1. La forma resta la stessa, quindi l'area a sinistra di

x

in una distribuzione normale con media

\mu

e deviazione standard

\sigma

è uguale all'area a sinistra di

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

N(0, 1)

La mia tavola non ha valori di z negativi. Che cosa faccio?

Usa la simmetria:

\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

. Per esempio

\Phi(-1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151

. Molti libri stampano una seconda tavola per gli

z

negativi; entrambe danno gli stessi numeri.

C'è differenza tra $P(Z < z)$ e $P(Z \le z)$ ?

No.

Z

è continua, quindi la probabilità di cadere esattamente su un valore è 0. Entrambe si leggono nella stessa casella della tavola.

E se il mio $z$ è più grande della tavola, come $z = 4$ ?

La maggior parte delle tavole si ferma intorno a

3{,}49

, dove

\Phi

vale già

0{,}9998

. Oltre, l'area a sinistra è praticamente 1 e la coda destra praticamente 0.

Glossario

Distribuzione normale standard: La distribuzione normale con media 0 e deviazione standard 1, scritta $N(0, 1)$
Standardizzare: Trasformare un valore $x$ in $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ , il numero di deviazioni standard dalla media
Tavola z: Tavola della normale standard con le aree cumulate $\Phi(z) = P(Z \le z)$ a sinistra di ogni $z$
Area cumulata $\Phi(z)$: L'area sotto la curva normale standard a sinistra di $z$ ; è uguale alla probabilità $P(Z \le z)$
Coda: L'area a un'estremità della curva, per esempio a destra di $z = 2$

Scheda formule

Standardizzazione

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Trasforma qualsiasi valore normale in un valore di $Z$

Area a sinistra

P(Z < z) = \Phi(z)

Si legge direttamente nella tavola z

Area a destra

P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

L'area totale sotto la curva è 1

Tra due valori

P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)

Area a sinistra maggiore meno area a sinistra minore

Simmetria

\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

Per i valori di z negativi

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Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

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Contenuto della lezione

Definizione

Standardizzare

La tavola z

Tre regole per ogni area

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Controllo qualità

Punteggi di test standardizzati

Errori delle previsioni meteo

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Standardizzazione

Area a sinistra

Area a destra

Tra due valori

Simmetria

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