Distribuzione normale standard

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale media e quale deviazione standard ha la distribuzione normale standard $N(0, 1)$ ?
1. a) $\mu = 1$ , $\sigma = 0$
2. b) $\mu = 0$ , $\sigma = 1$
3. c) $\mu = 1$ , $\sigma = 1$
4. d) $\mu = 0$ , $\sigma = 0$
Risposta: $\mu = 0$ , $\sigma = 1$
La distribuzione normale standard è centrata in $\mu = 0$ e ha dispersione $\sigma = 1$ . Per questo un valore di $Z$ è direttamente un numero di deviazioni standard dalla media.
2.
La tavola z dà $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ . Trova $P(Z > 0{,}5)$ .
Risposta: 0.3085
$P(Z > 0{,}5) = 1 - \Phi(0{,}5) = 1 - 0{,}6915 = 0{,}3085$ .
3.
Leggi $P(Z \le 1{,}28)$ nella tavola z. Estratto: la riga $1{,}2$ ha $0{,}8980$ nella colonna $0{,}07$ , $0{,}8997$ nella colonna $0{,}08$ e $0{,}9015$ nella colonna $0{,}09$ .
Risposta: 0.8997
1. Quale riga usi (z con un decimale)? 1.2
2. Quale colonna usi (il secondo decimale)? 0.08
3. Quale valore leggi? 0.8997
4.
La tavola z riporta $0{,}8413$ per $z = 1$ . Che cosa significa questo numero?
1. a)L'altezza della curva in $z = 1$
2. b)L'area a sinistra di $z = 1$
3. c)L'area tra $-1$ e $1$
4. d)L'area a destra di $z = 1$
Risposta: L'area a sinistra di $z = 1$
La tavola dà l'area cumulata a sinistra: $\Phi(1) = P(Z \le 1) = 0{,}8413$ . L'area a destra di $z = 1$ è $1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$ .
5.
Trova $P(Z < 0)$ per la variabile normale standard $Z$ . Dai un numero decimale.
Risposta: 0.5
La curva è simmetrica rispetto alla media 0, quindi esattamente metà dell'area sta a sinistra: $\Phi(0) = 0{,}5$ .
6.
Trova $P(Z > 2)$ . La tavola z dà $\Phi(2) = 0{,}9772$ .
Risposta: 0.0228
1. Quanto vale l'area a sinistra di $z = 2$ ? 0.9772
2. Quanto fa $1 - 0{,}9772$ ? 0.0228
7.
La tavola dà $\Phi(1{,}2) = 0{,}8849$ . Quale espressione è uguale a $P(Z < -1{,}2)$ ?
1. a) $-0{,}8849$
2. b) $1 - 0{,}8849$
3. c) $0{,}8849 - 0{,}5$
4. d) $0{,}8849$
Risposta: $1 - 0{,}8849$
Per simmetria $\Phi(-1{,}2) = 1 - \Phi(1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151$ . Un'area non può essere negativa, e $0{,}8849$ sarebbe più di metà curva a sinistra di uno $z$ negativo.
8.
Trova $P(Z < -0{,}25)$ usando la simmetria. La tavola dà $\Phi(0{,}25) = 0{,}5987$ .
Risposta: 0.4013
1. Per simmetria $P(Z < -0{,}25) = P(Z > 0{,}25)$ . Quanto vale $\Phi(0{,}25)$ ? 0.5987
2. Quanto fa $1 - 0{,}5987$ ? 0.4013
9.
La tavola dà $\Phi(1{,}75) = 0{,}9599$ . Trova $P(Z < -1{,}75)$ .
Risposta: 0.0401
$\Phi(-1{,}75) = 1 - \Phi(1{,}75) = 1 - 0{,}9599 = 0{,}0401$ .
10.
Trova $P(0{,}5 < Z < 1{,}5)$ . Tavola: $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ , $\Phi(1{,}5) = 0{,}9332$ .
Risposta: 0.2417
1. Quanto vale l'area a sinistra fino al limite superiore, $\Phi(1{,}5)$ ? 0.9332
2. Quanto vale l'area a sinistra fino al limite inferiore, $\Phi(0{,}5)$ ? 0.6915
3. Quanto fa $0{,}9332 - 0{,}6915$ ? 0.2417
11.
Un compagno ha calcolato $P(-2 < Z < 2)$ con la tavola z. Quale risultato supera il controllo 68-95-99,7?
1. a) $0{,}4772$
2. b) $0{,}9974$
3. c) $0{,}9544$
4. d) $0{,}6826$
Risposta: $0{,}9544$
Entro $\pm 2$ deviazioni standard sta circa il 95%. La tavola dà $\Phi(2) - \Phi(-2) = 0{,}9772 - 0{,}0228 = 0{,}9544$ . $0{,}6826$ corrisponde a $\pm 1$ , $0{,}9974$ a $\pm 3$ , e $0{,}4772$ è solo la metà da 0 a 2.
12.
Trova $P(-1 < Z < 1)$ con il valore della tavola $\Phi(1) = 0{,}8413$ , poi confronta con la regola 68-95-99,7.
Risposta: 0.6826
1. Quanto vale $\Phi(-1) = 1 - 0{,}8413$ ? 0.1587
2. Quanto fa $0{,}8413 - 0{,}1587$ ? 0.6826
3. Arrotonda il risultato a una percentuale intera. Quale percentuale è? 68
13.
$X$ è normale con $\mu = 40$ e $\sigma = 4$ . Standardizza $x = 47$ : quanto vale $z$ ?
Risposta: 1.75
$z = \frac{47 - 40}{4} = \frac{7}{4} = 1{,}75$ . Il valore 47 sta 1,75 deviazioni standard sopra la media.
14.
$X$ è normale con $\mu = 100$ e $\sigma = 15$ . Trova $P(X < 118)$ . Tavola: $\Phi(1{,}2) = 0{,}8849$ , $\Phi(1{,}8) = 0{,}9641$ .
Risposta: 0.8849
1. Quanto fa $x - \mu = 118 - 100$ ? 18
2. Quanto vale $z = 18 / 15$ ? 1.2
3. Quanto vale $P(Z < 1{,}2)$ ? 0.8849
15.
$X$ è normale con $\mu = 70$ e $\sigma = 5$ . La tavola dà $\Phi(1{,}6) = 0{,}9452$ . Quale riga è corretta per $P(X > 78)$ ?
1. a) $z = 8$ , area $0$
2. b) $z = -1{,}6$ , area $0{,}0548$
3. c) $z = 1{,}6$ , area $0{,}0548$
4. d) $z = 1{,}6$ , area $0{,}9452$
Risposta: $z = 1{,}6$ , area $0{,}0548$
$z = \frac{78 - 70}{5} = 1{,}6$ . Si chiede un'area a destra: $1 - 0{,}9452 = 0{,}0548$ . $0{,}9452$ è l'area a sinistra, $z = -1{,}6$ ha il segno sbagliato e $z = 8$ dimentica di dividere per $\sigma$ .
16.
$X$ è normale con $\mu = 20$ e $\sigma = 2$ . Trova $P(19 < X < 24)$ . Tavola: $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ , $\Phi(2) = 0{,}9772$ .
Risposta: 0.6687
1. Standardizza il limite inferiore: $z_1 = (19 - 20) / 2$ ? -0.5
2. Standardizza il limite superiore: $z_2 = (24 - 20) / 2$ ? 2
3. Quanto vale $\Phi(-0{,}5) = 1 - 0{,}6915$ ? 0.3085
4. Quanto fa $0{,}9772 - 0{,}3085$ ? 0.6687
17.
La tavola dà $\Phi(1{,}96) = 0{,}975$ . Trova $P(-1{,}96 < Z < 1{,}96)$ .
Risposta: 0.95
$\Phi(-1{,}96) = 1 - 0{,}975 = 0{,}025$ , quindi $P(-1{,}96 < Z < 1{,}96) = 0{,}975 - 0{,}025 = 0{,}95$ . Per questo $\pm 1{,}96$ compare negli intervalli di confidenza al 95%.
18.
Trova l'area fuori da $\pm 1{,}1$ : $P(Z < -1{,}1 \text{ oppure } Z > 1{,}1)$ . Tavola: $\Phi(1{,}1) = 0{,}8643$ .
Risposta: 0.2714
1. Quanto vale la coda destra $P(Z > 1{,}1) = 1 - 0{,}8643$ ? 0.1357
2. Per simmetria, quanto vale la coda sinistra $P(Z < -1{,}1)$ ? 0.1357
3. Quanto vale l'area esterna totale? 0.2714