Guida per l'insegnante: Diagrammi ramo-foglia

Impara a costruire e leggere i diagrammi ramo-foglia, a ricavarne mediana, moda e campo di variazione e a confrontare due gruppi con un diagramma bifronte.

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10 domande su Grafici Statistici. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Costruire da un elenco di dati un diagramma ramo-foglia ordinato con legenda
Leggere singoli valori, il minimo, il massimo e il numero di dati da un diagramma ramo-foglia
Trovare mediana, moda e campo di variazione direttamente da un diagramma ramo-foglia
Confrontare due gruppi con un diagramma bifronte
Decidere quando i rami divisi rendono un diagramma più facile da leggere

Prerequisiti

• Valore posizionale di decine e unità (e decimi per le legende decimali)
• Diagrammi a punti e tabelle di frequenza (lezioni Diagrammi a punti e Tabelle di frequenza)
• Istogrammi e classi (lezione Istogrammi)
• Mediana, moda e campo di variazione di un insieme di dati, e box plot per confrontare gruppi (lezione Diagrammi a scatola (Box plot))

Spunti di discussione

1. Secondo te, perché questa rappresentazione si chiama diagramma ramo-foglia?
2. Quale informazione conserva un diagramma ramo-foglia che un istogramma perde?
3. Perché le foglie devono essere ordinate prima di cercare la mediana?
4. Potresti fare un diagramma ramo-foglia di 500 valori? Sarebbe ancora utile?
5. Un orario degli autobus scrive l'ora una volta e i minuti di partenza accanto. In che cosa assomiglia a un diagramma ramo-foglia?

Idee sbagliate comuni

Il ramo con la riga più lunga contiene i valori più grandi

Rimedio: Fai notare che la lunghezza di una riga è una frequenza (quanti dati), non una grandezza. Ruota il diagramma e confrontalo con un istogramma: una barra alta significa molti dati, non dati grandi.

La mediana è il ramo centrale o la foglia centrale di una riga

Rimedio: Fai contare le foglie una alla volta dall'alto, cancellandole, fino alla posizione $\frac{n + 1}{2}$ . Poi confrontate con il ramo centrale per mostrare che di solito non coincidono.

Le foglie di sinistra di un diagramma bifronte si leggono da sinistra a destra, quindi $3 \mid 7$ diventa 37

Rimedio: Chiedi agli studenti di riscrivere alcune voci del lato sinistro come numeri usando la legenda, partendo sempre dal ramo e andando verso l'esterno.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Dare uno schema con i rami già scritti, così gli studenti inseriscono solo le foglie
• Iniziare con 8-10 valori di due cifre senza ripetizioni
• Lasciare che gli studenti cancellino le foglie mentre contano fino alla mediana

Per studenti a livello:

• Costruire diagrammi da elenchi non ordinati di 15-20 valori e trovare mediana, moda e campo di variazione
• Confrontare due gruppi con un diagramma bifronte e scrivere una frase sul centro e una sulla dispersione
• Usare una legenda decimale come $4 \mid 7 = 4{,}7$

Per studenti avanzati:

• Decidere quando i rami divisi aiutano e ridisegnare un diagramma con essi
• Disegnare un box plot da un diagramma ramo-foglia trovando il riepilogo a cinque numeri
• Raccogliere dati reali (per esempio altezze o risultati sportivi) e argomentare quale rappresentazione li mostra meglio

Allineamento agli standard

6.SP.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.SP.B.4)
Rappresentare dati numerici su una retta numerica, anche con diagrammi a punti, istogrammi e box plot
6.SP.B.5.C (CCSS.MATH.CONTENT.6.SP.B.5.C)
Fornire misure di tendenza centrale (mediana e/o media) e di variabilità, e descrivere l'andamento generale dei dati
7.SP.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.7.SP.B.4)
Usare misure di tendenza centrale e di variabilità di dati da campioni casuali per fare confronti informali tra due popolazioni

Risorse della lezione

visualDiagramma a punti, istogramma e box plot degli stessi dati
Confrontare i voti della lezione in altre tre rappresentazioni e discutere che cosa conserva il diagramma ramo-foglia che le altre perdono
activityTempi di reazione della classe
Gli studenti misurano il proprio tempo di reazione afferrando un righello che cade, poi costruiscono alla lavagna un diagramma ramo-foglia della classe con una legenda decimale
worksheetConfronto bifronte
Due insiemi di dati (per esempio le lunghezze dei salti di due gruppi) da inserire in un diagramma bifronte, con domande su mediane e campi di variazione

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Un diagramma ramo-foglia mostra ogni valore di un insieme di dati e allo stesso tempo la sua forma. Ogni numero viene diviso in due parti:

Il ramo è formato da tutte le cifre tranne l'ultima (per i numeri di due cifre, la cifra delle decine)
La foglia è l'ultima cifra (la cifra delle unità)

I rami si scrivono una sola volta, in una colonna, dal più piccolo al più grande. Le foglie di ogni ramo si scrivono su una riga a destra, in ordine dalla più piccola alla più grande. Una legenda spiega come leggere una voce.

Ecco i voti di 15 studenti in una verifica: 52, 58, 61, 63, 67, 67, 70, 74, 75, 78, 81, 84, 86, 90, 95.

\begin{array}{r|l} \text{Ramo} & \text{Foglie} \\ \hline 5 & 2~8 \\ 6 & 1~3~7~7 \\ 7 & 0~4~5~8 \\ 8 & 1~4~6 \\ 9 & 0~5 \end{array}

Legenda:

5 \mid 2 = 52

Ogni foglia è un dato, quindi il numero di foglie è il numero di dati (qui 15). Ruotato su un lato, il diagramma assomiglia a un istogramma con le classi 50-59, 60-69 e così via, ma a differenza dell'istogramma puoi ancora leggere ogni singolo voto.

Esempi svolti

Costruisci un diagramma ramo-foglia di questi voti: 74, 58, 86, 61, 90, 67, 52, 78, 70, 84, 63, 95, 67, 75, 81.

Scegli i rami

Il voto più basso è 52 e il più alto è 95, quindi le cifre delle decine vanno da 5 a 9 → Rami: 5, 6, 7, 8, 9

Scrivi ogni cifra delle unità come foglia accanto al suo ramo

74 dà la foglia 4 sul ramo 7, 58 dà la foglia 8 sul ramo 5, e così via per tutti i 15 voti → 15 foglie scritte

Ordina le foglie di ogni riga

\begin{array}{r|l} 5 & 2~8 \\ 6 & 1~3~7~7 \\ 7 & 0~4~5~8 \\ 8 & 1~4~6 \\ 9 & 0~5 \end{array}

→ Diagramma ramo-foglia ordinato

Aggiungi una legenda e controlla il conteggio

Legenda:

5 \mid 2 = 52

. Conta le foglie:

2 + 4 + 4 + 3 + 2 = 15

→ 15 foglie per 15 voti

Risposta: Il diagramma ha i rami da 5 a 9 con le foglie ordinate 2 8 / 1 3 7 7 / 0 4 5 8 / 1 4 6 / 0 5 e la legenda $5 \mid 2 = 52$ .

Errori comuni

Scrivere le foglie nell'ordine in cui arrivano i dati (per esempio 6 | 7 1 7 3)

Perché è sbagliato: Il diagramma mostra ancora la forma, ma contare fino alla mediana o trovare i valori ripetuti funziona solo se ogni riga è ordinata.

Corretto: Riscrivi sempre ogni riga con le foglie dalla più piccola alla più grande: 6 | 1 3 7 7.

Dimenticare la legenda o non tenerne conto

Perché è sbagliato: La stessa voce $4 \mid 7$ può voler dire 47, 4,7 o 470. Senza legenda chi legge deve indovinare.

Corretto: Scrivi sempre una legenda come $4 \mid 7 = 4{,}7$ secondi e leggi ogni valore con essa.

Saltare un ramo che non ha foglie

Perché è sbagliato: Se nessun dato è tra 30 e 39 e la riga del ramo 3 viene tolta, il vuoto nei dati sparisce e la forma sembra sbagliata.

Corretto: Scrivi tutti i rami dal più piccolo al più grande, anche se una riga resta vuota.

Leggere il lato sinistro di un diagramma bifronte al contrario (leggere $3 \mid 7$ come 37)

Perché è sbagliato: A sinistra la foglia sta prima del ramo, ma il ramo resta la cifra delle decine.

Corretto: Leggi le foglie di sinistra partendo dal ramo verso l'esterno: la foglia 3 accanto al ramo 7 vale 73. La legenda di un diagramma bifronte lo indica.

Perché è importante

Il diagramma ramo-foglia è un modo rapido per organizzare a mano un insieme di dati piccolo o medio:

Nessun dato perso: a differenza di un istogramma o di un box plot, ogni valore originale si può rileggere dal diagramma
La forma a colpo d'occhio: la lunghezza di ogni riga mostra dove i dati si addensano e dove sono pochi
Dati già ordinati: una volta ordinate le foglie, i dati sono in ordine, quindi mediana, moda e campo di variazione si trovano facilmente
Confrontare gruppi: un diagramma bifronte mette due insiemi di dati sugli stessi rami, per esempio i voti di due classi o le temperature di due paesi

I giornalisti sportivi lo usano per i punti a partita, i medici per le pulsazioni, e molti orari degli autobus scrivono l'ora una volta e i minuti di partenza accanto, che è proprio l'idea del ramo e della foglia.

Applicazioni nel mondo reale

Punti a partita nel basket

Allenatori e giornalisti sportivi usano i diagrammi ramo-foglia per mostrare i punti di un giocatore in una stagione senza perdere nessuna partita.

Esempio:

I punti di un giocatore in 12 partite:

\begin{array}{r|l} 0 & 8~9 \\ 1 & 2~4~4~7 \\ 2 & 0~1~5~6 \\ 3 & 3~8 \end{array}

Legenda:

1 \mid 2 = 12

punti (il ramo 0 contiene i valori di una cifra 8 e 9).

1Provaci tu stesso

Usa il diagramma delle 12 partite del giocatore qui sopra.

Qual è la mediana dei punti a partita?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il calcolo della mediana:

Confrontare le temperature di due paesi

I servizi meteorologici confrontano località con diagrammi bifronte: gli stessi rami al centro e un paese per lato.

Esempio:

Temperature massime giornaliere in °C:

\begin{array}{r|c|l} \text{Paese A} & \text{Ramo} & \text{Paese B} \\ \hline 9~6 & 0 & \\ 8~5~3~1 & 1 & 4~7 \\ 2~0 & 2 & 0~3~5~7~8 \\ & 3 & 1~2~4 \end{array}

Legenda:

6 \mid 0 = 6

°C per il paese A,

1 \mid 4 = 14

°C per il paese B. Il paese A ha 8 giorni, il paese B ne ha 10.

2Provaci tu stesso

Usa il diagramma bifronte dei due paesi qui sopra.

Di quanti gradi la mediana del paese B supera quella del paese A?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi mediana B meno mediana A:

Pulsazioni a riposo

Infermieri scolastici e medici annotano le pulsazioni in diagrammi ramo-foglia per vedere subito quali valori sono tipici e quali insoliti.

Esempio:

Pulsazioni a riposo di 12 studenti in battiti al minuto:

\begin{array}{r|l} 6 & 2~5~8 \\ 7 & 0~1~4~4~9 \\ 8 & 3~6 \\ 9 & 0~7 \end{array}

Legenda:

7 \mid 4 = 74

battiti al minuto.

3Provaci tu stesso

Usa il diagramma delle pulsazioni qui sopra.

Qual è il campo di variazione delle pulsazioni?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il calcolo del campo di variazione:

Punti chiave

1Un diagramma ramo-foglia divide ogni valore in un ramo (tutte le cifre tranne l'ultima) e una foglia (l'ultima cifra)
2I rami stanno in una colonna dal più piccolo al più grande, le foglie di ogni riga sono ordinate, e ogni diagramma ha bisogno di una legenda come $5 \mid 2 = 52$
3Ogni foglia è un dato, quindi il numero di foglie è il numero di dati e ogni valore si può rileggere
4Poiché i dati sono ordinati, la mediana si trova contando le foglie, la moda è una foglia ripetuta in una riga e il campo di variazione è l'ultimo valore meno il primo
5Un diagramma bifronte condivide i rami tra due gruppi: le foglie di sinistra si leggono partendo dal ramo verso l'esterno
6I rami divisi (foglie 0-4 e 5-9 su righe separate) mostrano meglio la forma quando i dati usano pochi rami

Domande frequenti

Qual è il ramo di un numero di una cifra come 7?

Il ramo è 0 e la foglia è 7, quindi 7 si scrive

0 \mid 7

. Così i valori di una cifra stanno nello stesso diagramma di quelli di due cifre.

Come rappresento numeri decimali o di tre cifre?

L'ultima cifra resta la foglia e la legenda dice che cosa significa. Per 4,7 secondi usa

4 \mid 7 = 4{,}7

; per 125 grammi,

12 \mid 5 = 125

Qual è la differenza tra un diagramma ramo-foglia e un istogramma?

Entrambi mostrano quanti dati cadono in ogni classe. Un istogramma mostra solo le frequenze, mentre un diagramma ramo-foglia conserva ogni singolo valore, quindi puoi ancora trovare esattamente mediana, moda e campo di variazione.

Quando conviene dividere i rami?

Quando quasi tutti i dati usano solo due o tre rami, le righe diventano molto lunghe. Dividendo ogni ramo in foglie 0-4 e 5-9 il numero di righe raddoppia e la forma si vede più chiaramente.

Glossario

Diagramma ramo-foglia: Una rappresentazione che divide ogni valore in ramo e foglia, così che ogni valore resta visibile e si vede la forma dei dati
Ramo: Tutte le cifre di un valore tranne l'ultima, scritte una volta nella colonna di sinistra (in 74 il ramo è 7)
Foglia: L'ultima cifra di un valore, scritta nella riga del suo ramo (in 74 la foglia è 4)
Legenda: Un'indicazione che mostra come leggere una voce, per esempio $5 \mid 2 = 52$ oppure $5 \mid 2 = 5{,}2$
Diagramma bifronte: Due diagrammi ramo-foglia che condividono una colonna di rami, con le foglie di un gruppo a sinistra e quelle dell'altro a destra
Rami divisi: Ogni ramo è usato per due righe, la prima con le foglie da 0 a 4 e la seconda con le foglie da 5 a 9

Scheda formule

Leggere una voce (legenda ramo | foglia)

7 \mid 4 = 7 \times 10 + 4 = 74

Con dati di due cifre il valore è il ramo per 10 più la foglia. Controlla sempre la legenda: con $7 \mid 4 = 7{,}4$ la foglia è la cifra dei decimi.

Posizione della mediana

\text{posizione} = \frac{n + 1}{2}

Conta le foglie dall'alto fino a raggiungere questa posizione. Se finisce in ,5, prendi la media dei due valori ai lati.

Campo di variazione

\text{campo di variazione} = \text{ultimo valore} - \text{primo valore}

Il valore più grande è l'ultima foglia dell'ultimo ramo e il più piccolo è la prima foglia del primo ramo.

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Guida per l'insegnante: Diagrammi ramo-foglia

Usa questa lezione in classe

Per gli insegnanti

Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

Per studenti avanzati:

Contenuto della lezione

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Punti a partita nel basket

Confrontare le temperature di due paesi

Pulsazioni a riposo

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Leggere una voce (legenda ramo | foglia)

Posizione della mediana

Campo di variazione

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