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Guida per l'insegnante: Retta di migliore approssimazione

Impara a tracciare a occhio una retta di migliore approssimazione su un diagramma di dispersione, a trovarne l'equazione da due punti e a interpretarne pendenza e intercetta.

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Quiz di classe

10 domande su Regressione. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento
  • Tracciare a occhio una retta di migliore approssimazione con circa metà dei punti sopra e metà sotto
  • Giudicare se una retta data si adatta ai dati e dire come migliorarla
  • Scrivere l'equazione di una retta di migliore approssimazione da due punti sulla retta
  • Interpretare pendenza e intercetta di una retta di migliore approssimazione nel contesto, con le unità
  • Usare il baricentro per controllare e correggere una retta di migliore approssimazione
Prerequisiti
  • • Diagrammi di dispersione: leggere i punti e descrivere un andamento
  • • Pendenza ed equazione della retta y=mx+by = mx + b
  • • Calcolare la media di un elenco di numeri
  • • Introduzione alla regressione e Regressione lineare (utili, non obbligatorie)
Spunti di discussione
  • 1. Due compagni hanno tracciato rette di migliore approssimazione diverse per gli stessi dati. Possono avere ragione entrambi?
  • 2. Perché una retta che passa per il primo e l'ultimo punto è spesso una cattiva scelta?
  • 3. Che cosa ti dice una pendenza negativa sulla situazione?
  • 4. Ti viene in mente una retta di migliore approssimazione la cui intercetta non ha senso nella vita reale?
  • 5. Perché aiuta segnare il baricentro prima di tracciare la retta?
Idee sbagliate comuni

La retta deve passare per il maggior numero possibile di punti dei dati

Rimedio: Mostra una retta che tocca 3 punti ma ne lascia 5 da una sola parte. Poi mostra una retta che non ne tocca nessuno ma bilancia i punti. Chiedi quale descrive meglio l'andamento.

Esiste esattamente una sola retta di migliore approssimazione corretta a occhio

Rimedio: Fai tracciare a dei gruppi le rette per gli stessi dati e confrontare le equazioni. Pendenze come 1,9 e 2,1 vanno bene entrambe; discutete che cosa rende una retta chiaramente sbagliata.

L'intercetta ha sempre un significato reale

Rimedio: Usa altezza e apertura delle braccia, oppure temperatura e vendite di limonata. Mostra che x=0x = 0 può essere molto lontano dai dati, quindi l'intercetta è solo una parte dell'equazione.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

  • • Iniziare con dati che hanno un andamento molto chiaro e pochi punti
  • • Dare due rette possibili e chiedere solo quale si adatta meglio
  • • Proporre rette che tagliano l'asse y in un punto della griglia, così b si legge direttamente

Per studenti a livello:

  • • Tracciare rette a occhio e scriverne le equazioni da due punti della griglia
  • • Interpretare pendenza e intercetta con le unità in diversi contesti
  • • Confrontare le rette della classe con il baricentro dei dati

Per studenti avanzati:

  • • Confrontare una retta tracciata a occhio con la retta dei minimi quadrati di un software
  • • Trovare insiemi di dati in cui l'intercetta non ha senso e spiegare perché
  • • Studiare come un solo valore anomalo sposta la retta di migliore approssimazione
Allineamento agli standard
  • 8.SP.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.2)

    Sapere che le rette sono molto usate per modellare relazioni tra due variabili quantitative; adattare una retta in modo informale e valutare l'adattamento in base a quanto i punti sono vicini alla retta

  • 8.SP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.3)

    Usare l'equazione di un modello lineare per risolvere problemi con dati a due variabili, interpretando pendenza e intercetta

  • HSS.ID.B.6.C (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.C)

    Adattare una funzione lineare a un diagramma di dispersione che suggerisce una relazione lineare

  • HSS.ID.C.7 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.7)

    Interpretare la pendenza (tasso di variazione) e l'intercetta (termine costante) di un modello lineare nel contesto dei dati

Risorse della lezione
  • visualPosiziona la tua retta

    Gli studenti toccano due punti della griglia sul diagramma di dispersione e vedono subito l'equazione della loro retta

  • activityRetta di spaghetto

    Gli studenti appoggiano uno spaghetto crudo su un diagramma di dispersione stampato per trovare la posizione migliore, poi confrontano le equazioni

  • worksheetEsercizi sulla retta di migliore approssimazione

    Giudicare rette date, tracciarne di proprie e scriverne le equazioni

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Una retta di migliore approssimazione (detta anche linea di tendenza) è una retta tracciata su un diagramma di dispersione che mostra l'andamento generale dei dati. Non deve per forza passare per uno dei punti.
Una buona retta di migliore approssimazione tracciata a occhio:
  • ha circa metà dei punti sopra di sé e metà sotto
  • segue la direzione dei punti (sale, scende, quanto è inclinata)
  • ha i punti distribuiti lungo tutta la sua lunghezza, non tutti sopra a un'estremità e tutti sotto all'altra
Dopo aver tracciato la retta, scegli due punti sulla retta (non punti dei dati), lontani tra loro e sugli incroci della griglia, e trova la sua equazione y=mx+by = mx + b:
m=y2−y1x2−x1,b=y1−mx1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad b = y_1 - m x_1
Il baricentro (o punto delle medie) (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y}) è un aiuto prezioso: la retta di regressione trovata con il metodo dei minimi quadrati passa sempre per esso, quindi anche una buona retta tracciata a occhio dovrebbe passarci o passare molto vicino.

Esempi svolti

Mia conta le sue flessioni in un minuto dopo ogni settimana di allenamento. Settimane da 1 a 8: 6,6,9,12,12,16,16,196, 6, 9, 12, 12, 16, 16, 19. Tre studenti tracciano una retta a occhio: - Retta A: y=2x+3y = 2x + 3 - Retta B: y=2x+7y = 2x + 7 - Retta C: y=0,5x+9y = 0{,}5x + 9 Qual è la migliore retta di migliore approssimazione?
1

Controlla la retta B

La retta B dà 9,11,13,15,17,19,21,239, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 per le settimane da 1 a 8. Ogni punto dei dati è più in basso. → Tutti gli 8 punti sono sotto la retta B: è troppo alta
2

Controlla la retta C

La retta C dà 9,5;10;10,5;11;11,5;12;12,5;139{,}5; 10; 10{,}5; 11; 11{,}5; 12; 12{,}5; 13. Le settimane da 1 a 3 sono sotto, le settimane da 4 a 8 sopra. → Punti sotto a sinistra e sopra a destra: la retta C è troppo piatta
3

Controlla la retta A

La retta A dà 5,7,9,11,13,15,17,195, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Sopra: settimane 1, 4, 6. Sotto: settimane 2, 5, 7. Sulla retta: settimane 3, 8. → 3 sopra, 3 sotto, distribuiti lungo tutta la retta
4

Decidi

Solo la retta A ha i punti in equilibrio sui due lati lungo tutta la sua lunghezza e segue l'andamento crescente. → La retta A si adatta meglio

Errori comuni

Tracciare la retta dal primo all'ultimo punto dei dati

Perché è sbagliato: Il primo e l'ultimo punto possono essere insoliti. Una retta che passa per loro lascia spesso la maggior parte dei punti da una sola parte.

Corretto: Non guardare i singoli punti ma tutta la nuvola: circa metà dei punti sopra e metà sotto. La retta può non passare per nessun punto.

Bilanciare il numero di punti senza seguire l'andamento

Perché è sbagliato: Una retta troppo piatta può avere 4 punti sopra e 4 sotto, ma tutti quelli bassi stanno a sinistra e tutti quelli alti a destra.

Corretto: Controlla entrambe le estremità: vicino a ciascuna estremità della retta ci devono essere punti sopra e sotto.

Calcolare la pendenza da due punti dei dati invece che da due punti sulla retta

Perché è sbagliato: I punti dei dati di solito non stanno sulla retta, quindi la loro pendenza non è la pendenza della tua retta.

Corretto: Leggi due punti che stanno sulla retta che hai tracciato, lontani tra loro e sugli incroci della griglia, poi usa m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.

Leggere la pendenza come un valore di y invece che come una variazione

Perché è sbagliato: In y=2x+3y = 2x + 3 per settimane e flessioni, 22 non vuol dire "2 flessioni". È la variazione per settimana.

Corretto: Esprimi la pendenza con entrambe le unità: circa 2 flessioni in più per ogni settimana di allenamento.

Perché è importante

I dati reali non stanno mai esattamente su una retta, ma spesso seguono un andamento chiaro:
  • Sport: un'allenatrice vede di quanto migliora un'atleta per ogni settimana di allenamento
  • Negozi: un bar vede quante bevande calde in meno vende per ogni giorno più caldo
  • Scienze: uno studente ricava da misure sparse quanto cresce una pianta al giorno
  • Denaro: un acquirente vede quanto valore perde ogni anno una bici usata
Una retta di migliore approssimazione trasforma una nuvola di punti in una regola semplice y=mx+by = mx + b. La pendenza dice di quanto cambia yy per ogni unità di xx, l'intercetta dice da dove parte l'andamento. È il primo passo prima di fare previsioni, studiare i residui e misurare quanto bene si adatta una retta.

Applicazioni nel mondo reale

Allenarsi per una gara

Gli allenatori tracciano una linea di tendenza tra i tempi di un'atleta per vedere di quanto diventa più veloce ogni settimana.

Esempio:

I tempi di una podista sui 5 km scendono da circa 30 minuti a circa 22 minuti in poche settimane. La linea di tendenza mostra il miglioramento costante, anche nei giorni storti.

1Provaci tu stesso

La retta di migliore approssimazione del tempo yy (minuti) di una podista sui 5 km dopo xx settimane passa per (2,30)(2, 30) e (6,22)(6, 22).

Qual è la pendenza della retta, in minuti a settimana?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Pendenza = variazione di y divisa per variazione di x:

Banco della limonata

I piccoli venditori rappresentano la temperatura e le vendite per decidere quanto preparare.

Esempio:

Nei giorni caldi un banco vende molti più bicchieri. Una linea di tendenza tra i dati di un'estate mostra quanti bicchieri in più porta, più o meno, ogni grado.

2Provaci tu stesso

La retta di migliore approssimazione di un banco della limonata per la temperatura xx (°C) e i bicchieri venduti yy passa per (20,30)(20, 30) e (30,50)(30, 50).

Qual è l'intercetta bb di questa retta?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Trova la pendenza, poi usa b=y1−mx1b = y_1 - m x_1:

Esperimento sulla crescita di una pianta

Nell'ora di scienze, gli studenti misurano una pianta ogni pochi giorni e descrivono la sua velocità di crescita con una linea di tendenza.

Esempio:

Le misure non sono mai perfette, quindi le altezze sono un po' sparse. La retta di migliore approssimazione dà un'unica velocità di crescita in centimetri al giorno.

3Provaci tu stesso

Una pianta viene misurata nei giorni 2,4,6,82, 4, 6, 8, con altezze 3,6,8,113, 6, 8, 11 cm. La retta di migliore approssimazione ha pendenza 1,31{,}3 e passa per il baricentro.

Qual è l'intercetta bb della retta?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa il baricentro in b=yˉ−mxˉb = \bar{y} - m\bar{x}:

Punti chiave

  • 1Una retta di migliore approssimazione è una retta che mostra l'andamento generale dei punti di un diagramma di dispersione
  • 2Tracciala a occhio in modo che circa metà dei punti stia sopra e metà sotto, lungo tutta la sua lunghezza
  • 3La retta segue la direzione dei dati e può non passare per nessun punto dei dati
  • 4Trova la sua equazione da due punti sulla retta: m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, poi b=y1−mx1b = y_1 - m x_1
  • 5La pendenza è la variazione di yy per ogni unità di xx; l'intercetta è il valore previsto di yy per x=0x = 0, che può non avere un significato reale
  • 6La retta dei minimi quadrati passa sempre per il baricentro (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y}), quindi una buona retta tracciata a occhio passa vicino a esso

Domande frequenti

Esiste una sola retta di migliore approssimazione corretta?

A occhio, no. Due studenti possono tracciare rette un po' diverse ed entrambe buone. Le loro pendenze e intercette saranno vicine. Solo la retta dei minimi quadrati, della lezione Regressione lineare, è un'unica retta esatta.

La retta deve passare per l'origine?

No. La retta va dove la portano i dati. Costringila a passare per (0,0)(0, 0) solo se la situazione parte davvero da zero e i dati lo confermano.

Devo contare i punti che stanno esattamente sulla retta?

I punti sulla retta non contano per nessun lato. Bilancia i punti sopra con i punti sotto.

Quando non dovrei tracciare una retta di migliore approssimazione?

Quando il diagramma di dispersione non mostra alcun andamento, oppure quando i punti seguono una curva evidente. Una retta ha senso solo per un andamento lineare.

Glossario

Retta di migliore approssimazione
Una retta tracciata su un diagramma di dispersione che mostra l'andamento generale dei dati (detta anche linea di tendenza)
Pendenza
La variazione di yy quando xx aumenta di 1; lungo la retta, m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Intercetta
Il valore di yy in cui la retta taglia l'asse y, cioè per x=0x = 0
Baricentro
Il punto (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y}) formato dalla media di tutti i valori di x e dalla media di tutti i valori di y (detto anche punto delle medie)
Retta di regressione
La retta di migliore approssimazione esatta trovata con il metodo dei minimi quadrati; passa sempre per il baricentro

Scheda formule

Pendenza da due punti

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Usa due punti della retta tracciata, non punti dei dati

Intercetta

b=y1−mx1b = y_1 - m x_1

Sostituisci un punto della retta e la pendenza in $y = mx + b$

Retta di migliore approssimazione

y=mx+by = mx + b

L'equazione della linea di tendenza

Baricentro

yˉ=mxˉ+b\bar{y} = m\bar{x} + b

La retta dei minimi quadrati passa per $(\bar{x}, \bar{y})$

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