Retta di migliore approssimazione

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale descrizione corrisponde a una buona retta di migliore approssimazione tracciata a occhio?
1. a)Circa metà dei punti sta sopra e metà sotto, e segue l'andamento
2. b)Collega il primo e l'ultimo punto dei dati
3. c)Passa per il maggior numero possibile di punti
4. d)Tutti i punti stanno sotto
Risposta: Circa metà dei punti sta sopra e metà sotto, e segue l'andamento
Una buona retta di migliore approssimazione ha circa metà dei punti sopra e metà sotto, e segue la direzione dei dati. Non deve passare per forza per un punto.
2.
Una retta di migliore approssimazione passa per i punti $(0, 4)$ e $(5, 14)$ . Qual è la sua pendenza?
Risposta: 2
$m = \frac{14 - 4}{5 - 0} = \frac{10}{5} = 2$ .
3.
Una retta di migliore approssimazione passa per $(0, 2)$ e $(4, 10)$ . Trova la sua equazione $y = mx + b$ .
Risposta: y = 2x + 2
1. Qual è la variazione di y, $10 - 2$ ? 8
2. Qual è la variazione di x, $4 - 0$ ? 4
3. Qual è la pendenza $m$ ? 2
4. Qual è l'intercetta $b$ ? 2
4.
La retta di migliore approssimazione di Mia è $y = 2x + 3$ , dove $x$ è il numero di settimane di allenamento e $y$ il numero di flessioni in un minuto. Che cosa significa la pendenza $2$ ?
1. a)Ogni settimana di allenamento aggiunge circa 2 flessioni
2. b)All'inizio Mia faceva 2 flessioni
3. c)Mia si è allenata per 2 settimane
4. d)Mia fa una flessione in più ogni 2 settimane
Risposta: Ogni settimana di allenamento aggiunge circa 2 flessioni
La pendenza è la variazione di $y$ per ogni unità di $x$ : ogni settimana di allenamento in più aggiunge circa 2 flessioni. Il $3$ è l'intercetta, il valore di partenza.
5.
Una retta di migliore approssimazione tracciata a occhio passa per $(0, 12)$ e $(4, 4)$ . Qual è la sua intercetta $b$ ?
Risposta: 12
L'intercetta è il valore di $y$ quando $x = 0$ . Il punto $(0, 12)$ sta sulla retta, quindi $b = 12$ .
6.
La retta $y = x + 1$ è una buona retta di migliore approssimazione per i punti $(1, 3)$ , $(2, 2)$ , $(3, 5)$ , $(4, 4)$ , $(5, 7)$ , $(6, 6)$ ? Conta i punti sopra e sotto.
Risposta: 1
1. Quanti punti stanno sopra la retta? 3
2. Quanti punti stanno sotto la retta? 3
3. La retta si adatta bene? Scrivi 1 per sì o 0 per no. 1
7.
Uno studente traccia una retta su un diagramma di dispersione di 8 punti. 7 punti stanno sopra la retta e 1 sotto, distribuiti in modo regolare da sinistra a destra. Come deve correggere la retta?
1. a)Rendere la retta più inclinata senza spostarla
2. b)Niente, la retta va bene
3. c)Spostare la retta verso l'alto
4. d)Spostare la retta verso il basso
Risposta: Spostare la retta verso l'alto
Con 7 punti sopra e solo 1 sotto, la retta è troppo bassa. Poiché i punti sono distribuiti in modo regolare, la direzione va bene: sposta la retta verso l'alto finché ci sono circa 4 punti per lato.
8.
Una linea di tendenza passa per $(2, 9)$ e $(6, 21)$ . Qual è la sua pendenza?
Risposta: 3
$m = \frac{21 - 9}{6 - 2} = \frac{12}{4} = 3$ .
9.
Una retta di migliore approssimazione passa per $(10, 80)$ e $(30, 40)$ . Trova la sua equazione $y = mx + b$ .
Risposta: y = -2x + 100
1. Qual è la variazione di y, $40 - 80$ ? -40
2. Qual è la variazione di x, $30 - 10$ ? 20
3. Qual è la pendenza $m$ ? -2
4. Quanto vale $b = 80 - (-2)(10)$ ? 100
10.
Il baricentro di un insieme di dati è $(4, 10)$ . Quale di queste rette passa per esso?
1. a) $y = 2x + 3$
2. b) $y = x + 5$
3. c) $y = 2x + 1$
4. d) $y = 3x - 2$
Risposta: $y = 3x - 2$
Per $x = 4$ : $2(4) + 1 = 9$ , $4 + 5 = 9$ , $2(4) + 3 = 11$ , $3(4) - 2 = 10$ . Solo $y = 3x - 2$ dà $10$ .
11.
Un diagramma di dispersione ha i punti $(2, 5)$ , $(4, 9)$ , $(6, 10)$ , $(8, 16)$ . Quanto vale $\bar{y}$ , la coordinata y del baricentro?
Risposta: 10
$\bar{y} = \frac{5 + 9 + 10 + 16}{4} = \frac{40}{4} = 10$ . (E $\bar{x} = 5$ , quindi il baricentro è $(5, 10)$ .)
12.
Dati: $(1, 3)$ , $(2, 6)$ , $(3, 6)$ , $(4, 9)$ , $(5, 11)$ . Una retta di migliore approssimazione con pendenza $2$ deve passare per il baricentro. Trova la sua intercetta $b$ .
Risposta: 1
1. Quanto vale $\bar{x}$ ? 3
2. Quanto vale $\bar{y}$ ? 7
3. Quanto vale $b = \bar{y} - 2\bar{x}$ ? 1
13.
La retta di migliore approssimazione del livello di batteria $y$ (%) di un telefono dopo $x$ ore di utilizzo è $y = -12x + 100$ . Interpretala.
Risposta: 5
1. Di quanti punti percentuali cambia il livello di batteria ogni ora? (Usa un numero negativo per un calo.) -12
2. Quale livello di batteria dà la retta a 0 ore? 100
3. Dopo quante ore la retta arriva al 40 %? 5
14.
Per studenti alti tra 150 cm e 190 cm, la retta di migliore approssimazione tra altezza $x$ (cm) e apertura delle braccia $y$ (cm) è $y = 1{,}1x - 18$ . Che cosa ti dice l'intercetta $-18$ ?
1. a)Non ha un significato reale: un'altezza di 0 cm è molto lontana dai dati
2. b)L'apertura delle braccia di ognuno è 18 cm minore della sua altezza
3. c)Una persona alta 0 cm ha un'apertura di -18 cm, una vera previsione
4. d)L'apertura delle braccia cresce di 18 cm per ogni cm di altezza
Risposta: Non ha un significato reale: un'altezza di 0 cm è molto lontana dai dati
L'intercetta è l'apertura delle braccia prevista per un'altezza di $0$ cm. Nessuno studente è alto 0 cm e i dati vanno solo da 150 a 190 cm, quindi l'intercetta non ha un significato reale. Serve solo a posizionare la retta.
15.
Una retta di migliore approssimazione ha pendenza $-4$ e passa per il baricentro $(5, 30)$ . Qual è la sua intercetta $b$ ?
Risposta: 50
$b = 30 - (-4)(5) = 30 + 20 = 50$ , quindi la retta è $y = -4x + 50$ . Verifica: $-4 \times 5 + 50 = 30$ .
16.
Su un diagramma di dispersione si traccia una retta di migliore approssimazione per i punti $(1, 7)$ e $(9, 3)$ della retta. Trova pendenza e intercetta, poi il valore della retta in $x = 5$ .
Risposta: 5
1. Qual è la pendenza $m = \frac{3 - 7}{9 - 1}$ ? Scrivila come numero decimale. -0.5
2. Quanto vale $b = 7 - m \times 1$ ? 7.5
3. Quale valore dà la retta in $x = 5$ ? 5
17.
Il baricentro di un insieme di dati è $(6, 20)$ . La retta di migliore approssimazione di uno studente passa per $(0, 5)$ e $(10, 30)$ . Passa per il baricentro?
Risposta: 1
1. Qual è la pendenza della retta? 2.5
2. Qual è l'intercetta $b$ ? 5
3. Quale valore dà la retta in $x = 6$ ? 20
4. La retta passa per il baricentro? Scrivi 1 per sì o 0 per no. 1
18.
La retta di migliore approssimazione di un bar per il prezzo $x$ (in €) e le fette di torta vendute al giorno $y$ passa per il baricentro $(4, 18)$ e per $(8, 10)$ . Trova la sua equazione e il numero di fette che prevede con un prezzo di 6 €.
Risposta: 14
1. Qual è la pendenza $m = \frac{10 - 18}{8 - 4}$ ? -2
2. Quanto vale $b = 18 - m \times 4$ ? 26
3. Quante fette prevede la retta in $x = 6$ ? 14