Fare previsioni dai dati

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Una retta di regressione è $\hat{y} = 4x + 10$ . Qual è il valore previsto per $x = 5$ ?
1. a)14
2. b)40
3. c)30
4. d)20
Risposta: 30
$\hat{y} = 4(5) + 10 = 20 + 10 = 30$ . La risposta 20 dimentica l'intercetta, e 14 somma la pendenza all'intercetta ( $4 + 10$ ) dimenticando la $x$ .
2.
La retta di regressione di un insieme di dati è $\hat{y} = 3x + 12$ . Prevedi $\hat{y}$ per $x = 6$ .
Risposta: 30
$\hat{y} = 3(6) + 12 = 18 + 12 = 30$ .
3.
I dati di un diagramma di dispersione hanno valori di $x$ da $2$ a $10$ . Per quale valore di $x$ una previsione è un'interpolazione?
1. a)12
2. b)7
3. c)15
4. d)0
Risposta: 7
Solo $7$ è dentro l'intervallo: $2 \le 7 \le 10$ . I valori $0$ , $12$ e $15$ sono fuori, quindi le previsioni lì sono estrapolazioni.
4.
L'altezza di una pianta in mm segue $\hat{y} = 2{,}5x + 40$ , dove $x$ è il numero di giorni (dati dal giorno 1 al giorno 10). Prevedi l'altezza al giorno $4$ .
Risposta: 50
$\hat{y} = 2{,}5(4) + 40 = 10 + 40 = 50$ mm. Il giorno 4 è dentro i dati, quindi è un'interpolazione.
5.
Un negozio descrive le vendite giornaliere di ombrelli con $\hat{y} = 6x + 20$ , dove $x$ è la pioggia in mm (dati da 0 a 12 mm). Prevedi le vendite in un giorno con $7$ mm di pioggia.
Risposta: 62
1. Moltiplica la pendenza per x: quanto fa $6 \times 7$ ? 42
2. Aggiungi l'intercetta 20. Qual è il numero di ombrelli previsto? 62
6.
Quattro insiemi di dati hanno ciascuno una retta di regressione. Quale coefficiente di correlazione dà le previsioni più affidabili?
1. a)r = -0,95
2. b)r = 0,1
3. c)r = 0,25
4. d)r = 0,5
Risposta: r = -0,95
$|-0{,}95| = 0{,}95$ è il più vicino a $1$ , quindi i punti stanno molto vicini alla retta. Il segno negativo indica solo che la retta scende.
7.
Un modello prevede un punteggio con $\hat{y} = 4x + 18$ , dove $x$ sono le ore di esercizio (dati da 2 a 15 ore). Per quale $x$ il punteggio previsto è $50$ ?
Risposta: 8
1. Scrivi $50 = 4x + 18$ e sottrai 18 da entrambi i membri. Quanto fa $50 - 18$ ? 32
2. Dividi per la pendenza: quanto fa $32 \div 4$ ? 8
8.
Con $\hat{y} = 5x + 52$ ( $x$ = ore di studio, $\hat{y}$ = punteggio), quante ore di studio prevedono un punteggio di $87$ ?
Risposta: 7
$87 - 52 = 35$ e $35 \div 5 = 7$ , quindi $x = 7$ ore.
9.
Una festa scolastica descrive i visitatori con $\hat{y} = 14{,}6x + 23$ , dove $x$ è il numero di manifesti (dati da 2 a 10 manifesti). Prevedi il numero di visitatori per $6$ manifesti, arrotondato a un numero intero.
Risposta: 111
1. Calcola $14{,}6 \times 6$ 87.6
2. Aggiungi l'intercetta 23. Quanto vale $\hat{y}$ ? 110.6
3. Arrotonda a un numero intero di visitatori 111
10.
La retta $\hat{y} = 5x + 52$ è stata adattata a dati da 1 a 8 ore di studio. Per 12 ore prevede un punteggio di $112$ su $100$ . Qual è il problema?
1. a)L'intercetta dovrebbe essere 0
2. b)12 ore è fuori dai dati, e un punteggio sopra 100 è impossibile
3. c)Niente, la previsione è affidabile
4. d)La pendenza dovrebbe essere negativa
Risposta: 12 ore è fuori dai dati, e un punteggio sopra 100 è impossibile
Il calcolo $5(12) + 52 = 112$ è giusto, ma è un'estrapolazione: l'andamento è stato osservato solo tra 1 e 8 ore, e i punteggi si fermano a 100.
11.
Durante il gioco, il livello della batteria di un telefono segue $\hat{y} = 100 - 12x$ (percentuale), dove $x$ sono le ore di gioco (dati da 0 a 6 ore). Prevedi il livello della batteria dopo $4{,}5$ ore.
Risposta: 46
1. Calcola $12 \times 4{,}5$ 54
2. Sottrai da 100: qual è il livello della batteria previsto in percentuale? 46
12.
Con il modello della batteria $\hat{y} = 100 - 12x$ ( $x$ in ore, $\hat{y}$ in percentuale), dopo quante ore il modello prevede un livello della batteria del $40\%$ ?
Risposta: 5
$40 = 100 - 12x \Rightarrow 12x = 60 \Rightarrow x = 5$ ore, che è dentro i dati da 0 a 6 ore.
13.
Un modello di regressione dice che Tom deve studiare $5{,}6$ ore per raggiungere il punteggio che vuole. Quale piano ha più senso?
1. a)Studiare 5 ore
2. b)Studiare circa 6 ore
3. c)Studiare esattamente 5,6 ore, non un minuto di più
4. d)Studiare 0,6 ore
Risposta: Studiare circa 6 ore
Per raggiungere un obiettivo si arrotonda per eccesso: circa 6 ore. Con 5 ore il punteggio previsto è troppo basso, e 5,6 ore esatte fanno finta che la stima sia perfettamente precisa.
14.
Una retta di regressione ha pendenza $m = 2{,}5$ e passa per il punto delle medie $(\bar{x}, \bar{y}) = (4, 30)$ . Prevedi $\hat{y}$ per $x = 6$ .
Risposta: 35
1. Trova l'intercetta: $b = \bar{y} - m\bar{x} = 30 - 2{,}5 \times 4$ 20
2. Calcola $2{,}5 \times 6$ 15
3. Aggiungi l'intercetta: quanto vale $\hat{y}$ ? 35
15.
Un modello di crescita per bambini da 2 a 10 anni è $\hat{y} = 6x + 77$ (altezza in cm, età $x$ in anni). Uno studente lo usa per prevedere l'altezza di una persona di 40 anni.
Risposta: 317
1. Calcola $6 \times 40$ 240
2. Aggiungi 77. Quale altezza in cm prevede il modello? 317
3. 317 cm è un'altezza realistica per un adulto? no
16.
Una retta di regressione è $\hat{y} = 2{,}4x + 15{,}6$ . Per quale $x$ il valore previsto è $39{,}6$ ?
Risposta: 10
$39{,}6 = 2{,}4x + 15{,}6 \Rightarrow 24 = 2{,}4x \Rightarrow x = 10$ . Verifica: $2{,}4(10) + 15{,}6 = 39{,}6$ .
17.
Una classe ha due modelli per il punteggio: ore di studio, $\hat{y} = 5x + 52$ con $r \approx 0{,}99$ , e ore di sonno, $\hat{y} = 2x + 59$ con $r \approx 0{,}21$ . Entrambi vengono usati per $x = 6$ ore.
Risposta: 82
1. Prevedi con il modello dello studio per $x = 6$ 82
2. Prevedi con il modello del sonno per $x = 6$ 71
3. Quale previsione è più affidabile? il modello dello studio
18.
Con $\hat{y} = 5x + 52$ ( $x$ = ore di studio, dati da 1 a 8 ore), Mia vuole un punteggio di almeno $90$ . Quante ore intere dovrebbe programmare?
Risposta: 8
1. Scrivi $90 = 5x + 52$ . Quanto fa $90 - 52$ ? 38
2. Dividi per la pendenza: quanto fa $38 \div 5$ ? 7.6
3. Di quante ore intere ha bisogno per arrivare ad almeno 90? 8