Guida per l'insegnante: Fare previsioni dai dati

Usa una retta di regressione per prevedere valori, risalire a un obiettivo e giudicare quando puoi fidarti di una previsione.

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10 domande su Regressione. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Sostituire un valore di x in un'equazione di regressione per calcolare un valore previsto
Ricavare x da un'equazione di regressione per trovare l'input che dà un valore obiettivo
Distinguere interpolazione ed estrapolazione e spiegare perché l'estrapolazione è rischiosa
Arrotondare le previsioni con una precisione e una direzione adatte al contesto
Giudicare l'affidabilità di una previsione in base alla forza della correlazione

Prerequisiti

• Introduzione alla regressione: la retta di migliore approssimazione $y = mx + b$
• Regressione lineare: pendenza e intercetta di una retta di regressione
• Coefficiente di correlazione: leggere $r$ come forte, moderata o debole
• Interpretare i dati e fare previsioni: andamenti generali nei dati
• Risolvere equazioni lineari in due passaggi

Spunti di discussione

1. Una retta prevede un punteggio di 112 su 100. Che cosa è andato storto e come avresti potuto accorgertene prima di calcolare?
2. Quando conviene arrotondare una previsione per eccesso invece che all'intero più vicino?
3. Due rette danno previsioni con lo stesso metodo. Perché possiamo fidarci molto di più di una che dell'altra?
4. Le previsioni del tempo sono meno precise per la settimana prossima che per domani. In che cosa assomiglia all'estrapolazione?

Idee sbagliate comuni

Un valore previsto è ciò che succederà di sicuro

Rimedio: Mostra il diagramma di dispersione: i punti reali stanno sopra e sotto la retta. Confronta la previsione per 7 ore con i punteggi reali di 62 e 88 nei dati con correlazione debole.

Se l'equazione dà un numero, quel numero deve avere senso

Rimedio: Fai estrapolare gli studenti di proposito (12 ore di studio, 15 ore di batteria) e confrontare le risposte con la realtà: 112 punti, -20 %.

Per trovare x per un obiettivo, si mette l'obiettivo al posto di x

Rimedio: Chiedi prima: il numero dato è un valore di x o di y? Fai scrivere le unità (ore o punti) prima di impostare l'equazione.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Iniziare con pendenze e intercette intere
• Dare una tabella con l'intervallo dei dati scritto sopra ogni esercizio
• Esercitarsi solo a prevedere y da x prima di ricavare x

Per studenti a livello:

• Mescolare domande di previsione e di ricavare x con pendenze decimali
• Classificare ogni previsione come interpolazione o estrapolazione
• Decidere la direzione dell'arrotondamento in base al contesto

Per studenti avanzati:

• Confrontare previsioni da dati con correlazione forte e debole e spiegare la differenza con r
• Trovare il valore di x da cui un modello dà un risultato impossibile (batteria a 0 %, punteggio a 100)
• Cercare una previsione reale e discutere fino a che punto estrapola

Allineamento agli standard

8.SP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.3)
Usare l'equazione di un modello lineare per risolvere problemi con dati a due variabili, interpretando pendenza e intercetta
HSS.ID.B.6.A (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.A)
Adattare una funzione ai dati e usare le funzioni adattate per risolvere problemi nel contesto dei dati
HSS.ID.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.8)
Calcolare (con la tecnologia) e interpretare il coefficiente di correlazione di un adattamento lineare

Risorse della lezione

visualCursore di previsione
Gli studenti spostano x lungo la retta di regressione e vedono cambiare la previsione e la distanza dall'intervallo dei dati
activityPrevedi, poi verifica
Gli studenti prevedono valori da dati della classe e li confrontano con misure reali per dati con correlazione forte e debole
worksheetInterpolazione o estrapolazione?
Esercizi misti: prevedere, ricavare x, classificare ogni previsione e arrotondare in base al contesto

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Quando hai una retta di regressione

\hat{y} = mx + b

, puoi usarla per fare previsioni. Il simbolo

\hat{y}

(si legge "y cappuccio") è il valore previsto: il valore che la retta si aspetta, non un valore misurato.

Ci sono due tipi di domande:

**Prevedere $y$ da $x$ **: sostituisci il valore di $x$ e calcola $\hat{y} = mx + b$ .
**Trovare $x$ per un obiettivo $y$ **: poni $mx + b$ uguale all'obiettivo e risolvi: $x = \frac{y - b}{m}$ .

Conta dove si trova il valore di

x

Interpolazione: $x$ è dentro l'intervallo dei dati. La previsione di solito è ragionevole.
Estrapolazione: $x$ è fuori dall'intervallo dei dati. L'andamento potrebbe non continuare, quindi la previsione è rischiosa.

Quanto puoi fidarti di una previsione dipende dalla forza della correlazione: quando

r

è vicino a

1

o a

-1

, i punti stanno stretti attorno alla retta e le previsioni sono affidabili; quando

r

è vicino a

0

, sono solo stime approssimative.

Esempi svolti

Una classe ha registrato le ore di studio (

x

, da 1 a 8 ore) e i punteggi di una verifica (

y

, su 100). La retta di regressione è

\hat{y} = 5x + 52

. Prevedi il punteggio di una studentessa che studia

6{,}5

ore.

Controlla dove si trova il valore di x

I dati vanno da

1

8

ore, e

1 \le 6{,}5 \le 8

→ Dentro i dati: interpolazione

Sostituisci x = 6,5 nell'equazione

\hat{y} = 5(6{,}5) + 52

→

\hat{y} = 5 \times 6{,}5 + 52

Moltiplica

5 \times 6{,}5 = 32{,}5

Aggiungi l'intercetta

32{,}5 + 52 = 84{,}5

→

\hat{y} = 84{,}5

Risposta: Il punteggio previsto è $84{,}5$ , quindi circa $85$ punti. Poiché $6{,}5$ ore è dentro i dati, si tratta di un'interpolazione e la previsione è ragionevole.

Errori comuni

Mettere il valore obiettivo di y al posto di x: per un punteggio obiettivo di $80$ , calcolare $5(80) + 52 = 452$

Perché è sbagliato: $80$ è un punteggio, quindi un valore di $y$ . Sostituirlo a $x$ risponde a un'altra domanda (il punteggio dopo 80 ore di studio).

Corretto: Poni l'equazione uguale all'obiettivo e ricava $x$ : $80 = 5x + 52$ , quindi $x = 5{,}6$ .

Fidarsi dell'estrapolazione: prevedere $112$ punti per $12$ ore di studio

Perché è sbagliato: L'andamento è stato osservato solo tra 1 e 8 ore. Fuori da quell'intervallo può cambiare, e qui il punteggio non può nemmeno superare 100.

Corretto: Controlla sempre prima l'intervallo dei dati. Segnala le previsioni fuori da esso come estrapolazioni e trattale con cautela.

Arrotondare senza pensare alla situazione: dare $84{,}5$ punti come valore esatto, o arrotondare $5{,}6$ ore a $5$

Perché è sbagliato: Una previsione è una stima, e i decimali in più fanno pensare a una precisione che non ha. Arrotondare per difetto un obiettivo può non bastare (5 ore prevedono solo 77 punti).

Corretto: Arrotonda alla precisione dei dati, e per eccesso quando devi raggiungere un obiettivo o coprire tutti (tempo, sedie, autobus).

Considerare tutte le previsioni ugualmente affidabili

Perché è sbagliato: Una retta si può sempre calcolare, anche per dati sparsi. Con $r \approx 0{,}21$ i valori reali possono essere lontani da $\hat{y}$ .

Corretto: Guarda prima il diagramma di dispersione o $r$ : $|r|$ vicino a 1 significa una previsione affidabile, $|r|$ vicino a 0 solo una stima approssimativa.

Perché è importante

Le previsioni sono il motivo principale per cui si adatta una retta ai dati:

Organizzazione: una festa scolastica prevede quanti visitatori arriveranno, per sapere quante sedie preparare.
Salute: i medici confrontano l'altezza di un bambino con modelli di crescita per vedere se cresce regolarmente.
App di consegna: stimano quanto ci metterà il tuo ordine in base alla distanza dal ristorante.
Batterie: i telefoni stimano quante ore di batteria restano in base a quanto velocemente si scarica.

Una previsione è utile solo se sai anche quanto fidarti. Distinguere interpolazione ed estrapolazione, arrotondare con criterio e controllare la correlazione ti evita di credere a un voto di 112 su 100.

Applicazioni nel mondo reale

Curve di crescita dei bambini

I medici confrontano l'altezza di un bambino con modelli di crescita. Un modello semplice per le età da 2 a 10 anni è $\hat{y} = 6x + 77$, dove $x$ è l'età in anni e $\hat{y}$ l'altezza in cm. Il modello vale solo per queste età: per un adulto di 40 anni prevedrebbe $317$ cm.

Esempio:

A 5 anni il modello prevede $6(5) + 77 = 107$ cm.

1Provaci tu stesso

Un modello di crescita per le età da 2 a 10 anni è $\hat{y} = 6x + 77$ (altezza in cm, età $x$ in anni).

Quale altezza prevede il modello per un bambino di 8 anni?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Sostituisci $x = 8$ :

Stimare i tempi di consegna

Le app di consegna di cibo adattano rette agli ordini passati per stimare i tempi di consegna. Un'app ha trovato $\hat{y} = 3x + 8$, dove $x$ è la distanza in km (ordini da 1 a 12 km) e $\hat{y}$ il tempo in minuti.

Esempio:

Per un ristorante a 5 km l'app prevede $3(5) + 8 = 23$ minuti.

2Provaci tu stesso

Il modello di consegna è $\hat{y} = 3x + 8$ (minuti, distanza $x$ in km, dati da 1 a 12 km). L'app vuole promettere la consegna in 35 minuti.

Fino a quale distanza in km l'app può fare questa promessa?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Risolvi $35 = 3x + 8$ rispetto a $x$ :

Previsioni della batteria del telefono

I telefoni stimano la batteria rimasta in base a quanto velocemente si scarica. Le misure durante lo streaming di video hanno dato $\hat{y} = 100 - 8x$, dove $x$ sono le ore di video (dati da 0 a 10 ore) e $\hat{y}$ il livello della batteria in percentuale.

Esempio:

Dopo 6 ore di video il modello prevede $100 - 8(6) = 52\%$ .

3Provaci tu stesso

Il modello della batteria è $\hat{y} = 100 - 8x$ (percentuale, $x$ in ore, dati da 0 a 10 ore). Qualcuno chiede che cosa mostrerà la batteria dopo 15 ore di video.

Quale valore prevede il modello per 15 ore?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Sostituisci $x = 15$ :

Punti chiave

1Per prevedere $y$ , sostituisci $x$ in $\hat{y} = mx + b$ ; $\hat{y}$ è un valore previsto, non misurato
2Per trovare la $x$ di un obiettivo $y$ , poni $mx + b$ uguale all'obiettivo e risolvi: $x = \frac{y - b}{m}$
3L'interpolazione prevede dentro l'intervallo dei dati e di solito è ragionevole
4L'estrapolazione prevede fuori dall'intervallo dei dati ed è rischiosa: può dare persino valori impossibili
5Arrotonda le previsioni a una precisione sensata, e per eccesso quando devi raggiungere un obiettivo o coprire tutti
6Le previsioni sono affidabili quando $|r|$ è vicino a 1 e sono solo stime approssimative quando $r$ è vicino a 0

Domande frequenti

Perché scriviamo $\hat{y}$ invece di $y$ ?

Il cappuccio indica che il valore viene dalla retta ed è una previsione. Il valore reale, misurato, è

y

. Tenerli separati ti ricorda che un risultato reale può stare sopra o sotto la previsione.

L'estrapolazione è sempre sbagliata?

Non sempre. Poco fuori dai dati (per esempio

x = 0

x = 9

quando i dati vanno da 1 a 8) la stima può essere ancora accettabile. Più ti allontani, più è probabile che l'andamento cambi, quindi di' chiaramente che stai estrapolando.

Quanto deve essere vicino a 1 $r$ per una buona previsione?

Una regola pratica comune:

|r| \ge 0{,}7

è forte, da

0{,}4

0{,}7

è moderata e sotto

0{,}4

è debole. Anche con una correlazione forte, una singola previsione può sbagliare di qualche punto.

Posso usare la stessa retta per prevedere $x$ da $y$ ?

Ricavare

x

y = mx + b

dà una buona stima per organizzarsi, come nell'esempio delle ore di studio. Uno statistico che volesse prevedere solo

x

calcolerebbe un'altra retta con

x

come variabile risposta, quindi considera il risultato una stima.

Glossario

Valore previsto $\hat{y}$: Il valore di $y$ che la retta di regressione dà per una $x$ scelta
Intervallo dei dati: L'intervallo dal valore di $x$ più piccolo a quello più grande nei dati
Interpolazione: Previsione per un valore di $x$ dentro l'intervallo dei dati
Estrapolazione: Previsione per un valore di $x$ fuori dall'intervallo dei dati; rischiosa perché l'andamento può cambiare
Variabile esplicativa: La variabile $x$ usata per fare la previsione (per esempio le ore di studio)
Variabile risposta: La variabile $y$ che si prevede (per esempio il punteggio)

Scheda formule

Prevedere y da x

\hat{y} = mx + b

Sostituisci il valore di x e calcola

Trovare x per un obiettivo y

x = \frac{y - b}{m}

Sottrai l'intercetta, poi dividi per la pendenza

Controllo di interpolazione

x_{\min} \le x \le x_{\max}

Se x è dentro l'intervallo dei dati, la previsione è un'interpolazione; altrimenti è un'estrapolazione

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Per gli insegnanti

Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

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Contenuto della lezione

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Curve di crescita dei bambini

Stimare i tempi di consegna

Previsioni della batteria del telefono

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Prevedere y da x

Trovare x per un obiettivo y

Controllo di interpolazione

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