Residui

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Un punto dei dati si trova sotto la retta di regressione. Che segno ha il suo residuo?
1. a)negativo
2. b)dipende dalla pendenza
3. c)zero
4. d)positivo
Risposta: negativo
Sotto la retta $y < \hat{y}$ , quindi $e = y - \hat{y}$ è negativo.
2.
Quale formula dà il residuo di un punto dei dati?
1. a) $y \cdot \hat{y}$
2. b) $y + \hat{y}$
3. c) $\hat{y} - y$
4. d) $y - \hat{y}$
Risposta: $y - \hat{y}$
Il residuo è sempre osservato meno previsto: $e = y - \hat{y}$ . L'ordine conta, perché $\hat{y} - y$ ha il segno opposto.
3.
Un grafico dei residui mostra una chiara curva a U. Che cosa ti dice?
1. a)Non c'è alcuna relazione tra x e y
2. b)La somma dei residui non è 0
3. c)Un modello curvo si adatterebbe meglio di una retta
4. d)Il modello lineare si adatta bene
Risposta: Un modello curvo si adatterebbe meglio di una retta
Un andamento curvo nei residui significa che i dati si piegano e una retta non coglie questa curvatura, quindi un modello curvo si adatterebbe meglio. La somma dei residui della retta dei minimi quadrati è comunque $0$ .
4.
Che cosa vale per la somma dei residui della retta di regressione dei minimi quadrati?
1. a)È diversa per ogni insieme di dati
2. b)È sempre 0
3. c)È uguale alla somma dei quadrati dei residui
4. d)È sempre positiva
Risposta: È sempre 0
Per la retta dei minimi quadrati i residui positivi e negativi si compensano sempre esattamente: $\sum e = 0$ , per ogni insieme di dati. Per questo una somma piccola non dice nulla sull'adattamento.
5.
Nello stesso diagramma di dispersione sono state tracciate quattro rette. Qui sotto trovi le loro somme dei quadrati dei residui. Qual è la retta di regressione dei minimi quadrati?
1. a)Retta B (SQR = 34)
2. b)Retta A (SQR = 40)
3. c)Retta D (SQR = 61)
4. d)Retta C (SQR = 53)
Risposta: Retta B (SQR = 34)
La retta dei minimi quadrati è quella con la più piccola somma dei quadrati dei residui. $34$ è il valore più piccolo, quindi la retta B è la retta dei minimi quadrati.
6.
La retta di regressione è $\hat{y} = 5x + 50$ . Un punto dei dati è $(2, 58)$ . Qual è il suo residuo?
Risposta: -2
$\hat{y} = 5(2) + 50 = 60$ , quindi $e = 58 - 60 = -2$ . Il punto è 2 unità sotto la retta.
7.
Il punteggio osservato di una studentessa è $80$ e la retta di regressione prevede $74{,}5$ . Qual è il residuo?
Risposta: 5.5
$e = 80 - 74{,}5 = 5{,}5$ . Il residuo è positivo, quindi la studentessa ha preso $5{,}5$ punti in più del previsto.
8.
Un punto ha residuo $-4$ e il suo valore previsto è $\hat{y} = 30$ . Qual è il valore osservato $y$ ?
Risposta: 26
$y = \hat{y} + e = 30 + (-4) = 26$ . Un residuo negativo significa che il valore osservato è sotto la previsione.
9.
Una retta dei minimi quadrati è stata adattata a $5$ punti. Quattro dei residui sono $3$ , $-1$ , $2$ e $-5$ . Qual è il quinto residuo?
Risposta: 1
$3 + (-1) + 2 + (-5) = -1$ . I cinque devono avere somma $0$ , quindi il quinto residuo è $1$ .
10.
I residui di una retta di regressione sono $1$ , $-3$ , $2$ , $0$ , $-1$ e $1$ . Qual è la somma dei quadrati dei residui?
Risposta: 16
$1^2 + (-3)^2 + 2^2 + 0^2 + (-1)^2 + 1^2 = 1 + 9 + 4 + 0 + 1 + 1 = 16$ .
11.
La retta di regressione è $\hat{y} = 3x + 4$ . Calcola il residuo del punto $(5, 21)$ .
Risposta: 2
1. Quanto fa $3 \times 5$ ? 15
2. Qual è il valore previsto $\hat{y}$ ? 19
3. Qual è il residuo $e = y - \hat{y}$ ? 2
12.
La retta di regressione è $\hat{y} = 2x + 10$ . Calcola il residuo del punto $(6, 19)$ e di' dove si trova il punto.
Risposta: -3
1. Qual è il valore previsto $\hat{y}$ ? 22
2. Qual è il residuo $e = y - \hat{y}$ ? -3
3. Dove si trova il punto? sotto
13.
Un bar descrive le vendite di cioccolata calda con $\hat{y} = 0{,}5x + 20$ , dove $x$ è il numero di clienti. In un giorno con $40$ clienti ha venduto $38$ cioccolate calde. Calcola il residuo.
Risposta: -2
1. Quanto fa $0{,}5 \times 40$ ? 20
2. Qual è il valore previsto $\hat{y}$ ? 40
3. Qual è il residuo $e = y - \hat{y}$ ? -2
14.
La retta dei minimi quadrati per i punti $(1, 6)$ , $(2, 7)$ e $(3, 14)$ è $\hat{y} = 4x + 1$ . Calcola ogni residuo e la loro somma.
Risposta: 0
1. Residuo di $(1, 6)$ ? 1
2. Residuo di $(2, 7)$ ? -2
3. Residuo di $(3, 14)$ ? 1
4. Qual è la somma dei tre residui? 0
15.
Per i punti $(1, 4)$ , $(2, 4)$ e $(3, 8)$ e la retta $\hat{y} = 2x + 1$ , calcola la somma dei quadrati dei residui.
Risposta: 3
1. Residuo di $(1, 4)$ ? 1
2. Residuo di $(2, 4)$ ? -1
3. Residuo di $(3, 8)$ ? 1
4. Qual è la somma dei quadrati dei residui? 3
16.
Per i punti $(1, 3)$ , $(2, 5)$ e $(3, 4)$ , confronta la retta A: $\hat{y} = 0{,}5x + 3$ e la retta B: $\hat{y} = x + 2$ . Quale è la retta dei minimi quadrati?
Risposta: A
1. Retta A: qual è il residuo di $(2, 5)$ ? 1
2. Retta A: qual è la somma dei quadrati dei residui? 1.5
3. Retta B: qual è la somma dei quadrati dei residui? 2
4. Quale retta è la retta dei minimi quadrati? A
17.
La retta dei minimi quadrati per quattro punti è $\hat{y} = 2x + 5$ . I residui dei primi tre punti sono $2$ , $-1$ e $-3$ . Il quarto punto ha $x = 8$ . Qual è il suo valore osservato $y$ ?
Risposta: 23
1. Qual è la somma dei primi tre residui? -2
2. Quanto deve valere il quarto residuo? 2
3. Quanto vale $\hat{y}$ per $x = 8$ ? 21
4. Qual è il valore osservato $y$ ? 23
18.
I download di un'app (in migliaia) nei mesi da $1$ a $6$ sono stati $20, 24, 31, 41, 54, 70$ . La retta dei minimi quadrati è $\hat{y} = 10x + 5$ . Controlla con i residui se una retta va bene.
Risposta: 5, -1, -4, -4, -1, 5
1. Residuo del mese $1$ ? 5
2. Residuo del mese $3$ ? -4
3. Residuo del mese $6$ ? 5
4. I sei residui sono $5, -1, -4, -4, -1, 5$ . Che andamento formano nel grafico dei residui? curva a U