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Guida per l'insegnante: Residui

Impara che cos'è un residuo, come calcolare i residui in una tabella e come un grafico dei residui mostra se una retta si adatta ai dati.

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Quiz di classe

10 domande su Regressione. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento
  • Calcolare un residuo come valore osservato meno valore previsto
  • Interpretare il segno di un residuo come un punto sopra o sotto la retta di regressione
  • Organizzare i residui in una tabella e verificare che la loro somma sia zero per la retta dei minimi quadrati
  • Usare un grafico dei residui per decidere se un modello lineare è adatto
  • Spiegare i minimi quadrati come la minimizzazione della somma dei quadrati dei residui
Prerequisiti
  • • Diagrammi di dispersione e lettura dei punti come coppie (x, y)
  • • Retta di migliore approssimazione e la sua equazione y^=mx+b\hat{y} = mx + b
  • • Fare previsioni sostituendo xx nella retta di regressione
  • • Sommare ed elevare al quadrato numeri negativi
Spunti di discussione
  • 1. Se il tuo residuo in un modello dei punteggi è −5-5, sei andato meglio o peggio di quanto si aspettava il modello?
  • 2. Perché la somma dei residui di una retta sbagliata può comunque essere zero?
  • 3. Come sarebbe un grafico dei residui se tutti i punti fossero esattamente sulla retta?
  • 4. Perché il quadrato penalizza uno scarto grande più di tanti scarti piccoli?
Idee sbagliate comuni

Il residuo è previsto meno osservato

Rimedio: Fissa l'ordine con un disegno: un punto sopra la retta deve essere positivo. Fai controllare il segno sul grafico ogni volta.

Se la somma dei residui è zero, la retta si adatta bene

Rimedio: Mostra i dati dei download: la somma è 00, ma il grafico dei residui forma una U evidente. Poi confronta la SQR di due rette.

Una correlazione forte significa che una retta è sempre il modello giusto

Rimedio: Anche dati curvi possono avere un rr alto. Disegna sempre il grafico dei residui e cerca un andamento prima di fidarti di un modello lineare.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

  • • Iniziare con un residuo alla volta e un grafico per controllare il segno
  • • Dare una tabella con i valori previsti già inseriti
  • • Usare solo residui interi

Per studenti a livello:

  • • Completare tabelle dei residui intere e verificare che la somma sia zero
  • • Disegnare a mano grafici dei residui e descriverne l'andamento
  • • Confrontare due rette con la somma dei quadrati dei residui

Per studenti avanzati:

  • • Dimostrare che spostare la retta dei minimi quadrati in alto di cc aggiunge nc2n c^2 alla SQR
  • • Spiegare perché la retta dei minimi quadrati passa sempre per (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y})
  • • Trovare dati reali con un grafico dei residui curvo e proporre un modello migliore
Allineamento agli standard
  • HSS.ID.B.6.B (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.B)

    Valutare in modo informale l'adattamento di una funzione rappresentando e analizzando i residui

  • HSS.ID.B.6.C (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.C)

    Adattare una funzione lineare a un diagramma di dispersione che suggerisce una relazione lineare

  • HSS.ID.C.7 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.7)

    Interpretare la pendenza e l'intercetta di un modello lineare nel contesto dei dati

Risorse della lezione
  • visualDiagramma di dispersione con residui

    Gli studenti toccano i punti e leggono ogni residuo come un segmento tratteggiato tra il punto e la retta

  • activityGrafico dei residui umano

    Gli studenti misurano altezza e apertura delle braccia, calcolano il residuo rispetto a una retta della classe e si mettono su una retta numerica a terra in corrispondenza del loro residuo

  • worksheetTabelle dei residui

    Completare valori previsti, residui e quadrati dei residui per piccoli insiemi di dati e confrontare due rette

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Un residuo è la distanza verticale tra un punto dei dati e la retta di regressione. Indica di quanto la previsione della retta si è allontanata dal valore reale:
e=y−y^e = y - \hat{y}
  • yy è il valore osservato (ciò che è successo davvero)
  • y^\hat{y} è il valore previsto dalla retta (si legge "y cappello")
  • ee è il residuo, sempre osservato meno previsto
Il segno di un residuo ti dice dove si trova il punto:
  • e>0e > 0: il punto è sopra la retta (la retta ha previsto troppo poco)
  • e<0e < 0: il punto è sotto la retta (la retta ha previsto troppo)
  • e=0e = 0: il punto è esattamente sulla retta
Un residuo ha la stessa unità di misura di yy. Per la retta di regressione dei minimi quadrati, la somma dei residui è sempre zero: ∑e=0\sum e = 0.

Esempi svolti

La retta di regressione tra ore di studio (xx) e punteggio della verifica (yy) è y^=5x+50\hat{y} = 5x + 50. Mia ha studiato 44 ore e ha preso 7272. Calcola il suo residuo.
1

Calcola il punteggio previsto

y^=5(4)+50=20+50\hat{y} = 5(4) + 50 = 20 + 50 → y^=70\hat{y} = 70
2

Sottrai: osservato meno previsto

e=y−y^=72−70e = y - \hat{y} = 72 - 70 → e=2e = 2
3

Interpreta il segno

e>0e > 0, quindi il punto di Mia è sopra la retta → Ha preso 2 punti in più del previsto

Errori comuni

Calcolare previsto meno osservato (y^−y\hat{y} - y)

Perché è sbagliato: Così tutti i segni si invertono: i punti sopra la retta avrebbero residui negativi e quelli sotto residui positivi.

Corretto: Usa sempre osservato meno previsto: e=y−y^e = y - \hat{y}. Positivo significa sopra la retta.

Giudicare una retta dalla semplice somma dei suoi residui

Perché è sbagliato: Per la retta dei minimi quadrati la somma è sempre 00, anche quando la retta si adatta male, perché i residui positivi e negativi si compensano.

Corretto: Prima eleva i residui al quadrato e poi sommali (SQR), oppure guarda il grafico dei residui.

Pensare che un grafico dei residui curvo vada bene perché in media i punti sono vicini a zero

Perché è sbagliato: Una curva netta (a U, a collina) significa che i dati seguono una curvatura che una retta non può seguire.

Corretto: Un modello lineare va bene solo quando il grafico dei residui sembra una dispersione casuale intorno a 00, senza alcun andamento.

Dimenticare l'unità di misura o la grandezza di un residuo

Perché è sbagliato: Un residuo di −3-3 su un punteggio significa 3 punti, non il 3 %. La sua grandezza ha senso solo nell'unità di yy.

Corretto: Dillo nel contesto: "La retta ha sovrastimato il punteggio di Leo di 3 punti."

Perché è importante

Con i residui gli statistici controllano un modello invece di fidarsi ciecamente:
  • La retta è buona? Residui piccoli significano che le previsioni sono vicine alla realtà.
  • Una retta è la forma giusta? Un grafico dei residui (i residui in funzione di x) mostra una nuvola casuale quando una retta va bene e una curva quando non va bene.
  • Qual è la retta migliore? La retta dei minimi quadrati è quella con la più piccola somma dei quadrati dei residui.
  • Casi insoliti: un residuo molto grande segnala un punto che non segue l'andamento, per esempio un errore di battitura nei dati o un caso particolare.
I servizi meteo, le app di consegna, i medici e gli scienziati dello sport confrontano continuamente previsioni con ciò che è successo davvero, e ognuno di questi confronti è un residuo.

Applicazioni nel mondo reale

Stima dei tempi di consegna

Le app di consegna prevedono il tempo di un ordine in base alla distanza. Dopo ogni consegna, il residuo mostra se la stima era troppo corta o troppo lunga.

Esempio:

Con y^=2x+10\hat{y} = 2x + 10 minuti per xx km, per un ordine di 5 km si prevedono 2020 minuti. Se ci sono voluti 1818 minuti, il residuo è 18−20=−218 - 20 = -2.

1Provaci tu stesso

Il modello dell'app è y^=2x+10\hat{y} = 2x + 10 (minuti, xx in km). Un ordine di 66 km ha richiesto 2525 minuti.

Qual è il residuo di questo ordine?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Osservato meno previsto:

Esperimenti sulla crescita delle piante

I biologi adattano una retta all'altezza delle piante nel tempo. A una pianta con un grande residuo negativo forse mancano luce o acqua.

Esempio:

Con y^=1,5x+4\hat{y} = 1{,}5x + 4 cm dopo xx settimane, ci si aspetta che una pianta sia alta 1010 cm dopo 4 settimane.

2Provaci tu stesso

Il modello di crescita è y^=1,5x+4\hat{y} = 1{,}5x + 4 (cm, xx in settimane). Dopo 88 settimane una pianta è alta 14,514{,}5 cm.

Qual è il residuo di questa pianta?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Osservato meno previsto:

Modelli nelle scienze dello sport

Gli allenatori prevedono l'altezza del salto di un atleta dai dati di allenamento e giudicano il modello dalla somma dei quadrati dei residui: più è piccola, meglio è.

Esempio:

Se un modello sbaglia di 33 cm e di −3-3 cm per due atleti, la somma dei residui è 00, ma la somma dei quadrati dei residui è 9+9=189 + 9 = 18.

3Provaci tu stesso

Un modello dei minimi quadrati per l'altezza del salto ha residui di 22, −1-1 e −1-1 cm per tre atleti.

Qual è la somma dei quadrati dei residui?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Eleva ogni residuo al quadrato e somma:

Punti chiave

  • 1Un residuo è osservato meno previsto: e=y−y^e = y - \hat{y}
  • 2Un residuo positivo significa che il punto è sopra la retta, uno negativo che è sotto
  • 3I residui hanno la stessa unità di misura di yy e si organizzano facilmente in una tabella: xx, yy, y^\hat{y}, ee
  • 4La somma dei residui della retta dei minimi quadrati è sempre 00
  • 5Un grafico dei residui con dispersione casuale intorno a 00 significa che una retta va bene; un andamento curvo significa che non va bene
  • 6La retta dei minimi quadrati è la retta con la più piccola somma dei quadrati dei residui

Domande frequenti

Perché si chiama residuo?

"Residuo" significa "ciò che resta". È la parte di yy che la retta non spiega: il valore che rimane quando togli la previsione.

Perché eleviamo i residui al quadrato invece di sommarli e basta?

I residui semplici si compensano (per la retta dei minimi quadrati la loro somma è sempre 00). Elevandoli al quadrato ogni scarto conta come positivo e gli scarti grandi pesano molto di più.

Un residuo grande è un errore?

Non per forza. Significa solo che il punto non segue bene l'andamento. Controlla se c'è un errore di battitura nei dati, ma anche i dati reali possono contenere casi insoliti.

In che cosa un grafico dei residui è diverso da un diagramma di dispersione?

Un diagramma di dispersione mostra yy in funzione di xx. Un grafico dei residui mostra il residuo ee in funzione di xx, quindi la retta di regressione diventa la retta orizzontale e=0e = 0 e qualsiasi andamento sfuggito alla retta si vede subito.

Glossario

Residuo
Valore osservato meno valore previsto: e=y−y^e = y - \hat{y}
Valore osservato
Il vero valore di yy di un punto dei dati, misurato o raccolto
Valore previsto
Il valore y^\hat{y} che la retta di regressione dà per un certo xx
Grafico dei residui
Un grafico dei residui in funzione di xx, con una retta orizzontale a 00
Somma dei quadrati dei residui (SQR)
La somma ∑(y−y^)2\sum (y - \hat{y})^2; la retta dei minimi quadrati la rende la più piccola possibile
Retta dei minimi quadrati
La retta di regressione con la più piccola somma dei quadrati dei residui

Scheda formule

Residuo

e=y−y^e = y - \hat{y}

Osservato meno previsto; positivo sopra la retta, negativo sotto

Somma dei residui

∑e=0\sum e = 0

Vale sempre per la retta di regressione dei minimi quadrati

Somma dei quadrati dei residui

SQR=∑(y−y^)2\text{SQR} = \sum (y - \hat{y})^2

La retta dei minimi quadrati rende questo valore il più piccolo possibile (si scrive anche $SS_{\text{res}}$)

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