Guida per l'insegnante: Diagrammi di dispersione

Impara a costruire un diagramma di dispersione da una tabella e a descriverne l'andamento: forma, direzione, forza, gruppi, vuoti e valori anomali.

Presenta lezioneVisualizza pagina studente

Usa questa lezione in classe

Gratis, senza account per gli studenti.

Condividi con gli studenti

Gli studenti aprono la lezione e si esercitano con correzione immediata.

Scheda da stampare

Tutti gli esercizi su carta, con le soluzioni a parte.

Scheda di esercizi Soluzioni

Quiz di classe

10 domande su Regressione. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Riconoscere la variabile esplicativa e la variabile risposta in un insieme di dati
Scegliere assi adatti e scale con passi uguali per un diagramma di dispersione
Costruire un diagramma di dispersione da una tabella e leggere le coordinate dei punti
Descrivere la forma, la direzione e la forza di un'associazione
Individuare gruppi, vuoti e valori anomali e spiegare che cosa possono significare

Prerequisiti

• Disegnare coppie ordinate nel piano cartesiano
• Introduzione alla correlazione (correlazione positiva, negativa e assente)
• Introduzione alla regressione (a che cosa serve una retta di migliore approssimazione)
• Leggere tabelle di dati e trovare il valore più grande e quello più piccolo

Spunti di discussione

1. Se mettessi le tue ore di sonno contro il tuo umore, quale variabile metteresti sull'asse $x$ , e perché?
2. Perché secondo te non uniamo mai i punti in un diagramma di dispersione?
3. Un andamento può essere forte e avere comunque un valore anomalo? Sai disegnarne uno?
4. Che cosa potrebbe spiegare due gruppi in un diagramma del tempo dei compiti e dei voti?

Idee sbagliate comuni

La variabile scritta per prima nella tabella va sempre sull'asse $x$

Rimedio: Mostra una tabella in cui la variabile risposta è scritta per prima (per esempio il voto, poi le ore). Chiedi quale potrebbe influenzare l'altra prima di decidere gli assi.

Un diagramma di dispersione deve mostrare una retta

Rimedio: Disegnate insieme i dati dello spazio di frenata. Lascia che gli studenti vedano la curva e introduci la parola non lineare per gli andamenti che si piegano.

Un valore anomalo è un errore e va cancellato

Rimedio: Discutete dello studente con 60 minuti di compiti e 2 punti. Raccogliete motivi reali (malattia, dato inserito male) e decidete insieme quando un punto deve restare.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Fornire assi già disegnati con le scale già segnate
• Usare piccoli insiemi di 4 o 5 punti con numeri interi
• Dare frasi guida: 'Quando ___ aumenta, ___ tende a ___'

Per studenti a livello:

• Scegliere assi e scale per dati che non partono vicino a 0
• Descrivere forma, direzione e forza di diversi diagrammi
• Trovare gruppi, vuoti e valori anomali in un vero insieme di dati della classe

Per studenti avanzati:

• Raccogliere dati propri su due variabili e presentare il diagramma di dispersione
• Confrontare un andamento lineare e uno non lineare usando le variazioni di $y$
• Studiare come cambia la descrizione togliendo un valore anomalo

Allineamento agli standard

8.SP.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.1)
Costruire e interpretare diagrammi di dispersione per dati di misura bivariati per studiare l'associazione tra due grandezze. Descrivere andamenti come raggruppamenti, valori anomali, associazione positiva o negativa, lineare o non lineare
HSS.ID.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6)
Rappresentare dati su due variabili quantitative in un diagramma di dispersione e descrivere come sono legate le variabili

Risorse della lezione

visualGriglia da toccare
Gli studenti disegnano punto per punto i dati su persone in famiglia e lavatrici e ricevono un riscontro per ogni punto
activityMisurate la vostra classe
A coppie gli studenti misurano altezza e apertura delle braccia, poi la classe costruisce un diagramma di dispersione comune alla lavagna
worksheetDescrivi l'andamento
Otto diagrammi di dispersione da descrivere per forma, direzione, forza e caratteristiche particolari

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Un diagramma di dispersione è un grafico che mostra la relazione tra due variabili numeriche misurate sugli stessi individui. Ogni individuo diventa un punto

(x, y)

La variabile esplicativa (quella che può spiegare o influenzare l'altra) va sull'**asse orizzontale $x$ **.
La variabile risposta (quella che risponde) va sull'**asse verticale $y$ **.

Per costruire un diagramma di dispersione da una tabella:

1.Decidi quale variabile è $x$ e quale è $y$ .
2.Scegli per ogni asse una scala con passi uguali che copra tutti i valori.
3.Scrivi su ogni asse il nome della variabile e l'unità di misura.
4.Disegna un punto per ogni riga della tabella. Non unire i punti.

Per descrivere un diagramma di dispersione, osserva:

Forma: i punti seguono una retta (lineare) o una curva (non lineare)?
Direzione: salgono da sinistra a destra (positiva) o scendono (negativa)?
Forza: i punti sono vicini all'andamento (forte), un po' sparsi intorno (moderata) o molto dispersi (debole)?
Caratteristiche particolari: gruppi (punti raccolti insieme), vuoti (zone senza punti) e valori anomali (punti lontani dall'andamento).

Esempi svolti

Un allenatore di basket registra quante ore si allenano a settimana sette giocatori e quanti tiri liberi (su 20) segna ciascuno:

Giocatore	A	B	C	D	E	F	G
Ore	1	2	3	4	5	6	7
Tiri liberi	6	8	9	11	12	14	15

Quale variabile va su ciascun asse e quali scale conviene usare?

Trova la variabile esplicativa

L'allenamento può influenzare il numero di tiri liberi, non il contrario →

x

= ore di allenamento,

y

= tiri liberi segnati

Trova il campo di variazione di ogni variabile

Ore: da

1

7

. Tiri liberi: da

6

15

→

x

deve arrivare almeno a

7

y

almeno a

15

Scegli passi uguali

Asse

x

: da

0

8

con passo

1

. Asse

y

: da

0

20

con passo

2

(nessuno può segnare più di 20 tiri liberi, e

20 \div 2 = 10

passi uguali) → Entrambi gli assi hanno spaziature uguali

Etichetta gli assi

x

: allenamento a settimana (ore).

y

: tiri liberi segnati (su 20) → Gli assi sono pronti per i punti

Risposta: Metti le **ore di allenamento sull'asse $x$ (da 0 a 8, passo 1) e i tiri liberi sull'asse $y$ ** (da 0 a 20, passo 2), con etichetta e unità di misura su ogni asse.

Errori comuni

Mettere la variabile risposta sull'asse $x$

Perché è sbagliato: Gli assi hanno compiti diversi. Se metti i tiri liberi sull'asse $x$ e l'allenamento sull'asse $y$ , il grafico fa pensare che i tiri liberi spieghino il tempo di allenamento.

Corretto: Chiediti: quale variabile potrebbe influenzare l'altra? Quella è la variabile esplicativa e va sull'asse $x$ .

Usare passi disuguali su un asse (per esempio 0, 5, 10, 20, 50)

Perché è sbagliato: Le spaziature disuguali stringono alcuni punti e ne allontanano altri, quindi l'andamento che vedi è falso.

Corretto: Usa lo stesso passo lungo tutto l'asse, per esempio 0, 10, 20, 30, 40, 50. I due assi possono avere passi diversi.

Unire i punti con delle linee come in un grafico a linee

Perché è sbagliato: Le righe della tabella sono individui separati, non momenti nel tempo. Unirli inventa un percorso che non esiste.

Corretto: Lascia i punti separati. Descrivi l'andamento generale a parole (nella prossima lezione traccerai una sola retta di migliore approssimazione).

Pensare che un andamento ripido sia un andamento forte

Perché è sbagliato: La pendenza dice quanto velocemente cambia $y$ . La forza dice quanto i punti seguono da vicino l'andamento. Un andamento poco inclinato può essere molto forte, uno ripido può essere debole.

Corretto: Giudica la forza da quanto i punti stanno vicini alla retta o alla curva, non da quanto è ripida.

Perché è importante

Il diagramma di dispersione è la prima cosa che disegnano uno scienziato, un allenatore o un analista quando due misure potrebbero essere collegate:

Sport: un allenatore mette le ore di allenamento contro i punti segnati per vedere se l'allenamento rende
Salute: i medici mettono l'età contro la pressione sanguigna per vedere come cambia nel corso della vita
Meteo: i meteorologi mettono l'altitudine contro la temperatura (scende di circa $6°C$ per ogni chilometro di salita)
Commercio: un negozio mette la temperatura contro le vendite di gelati per programmare gli ordini
Scienze: i fisici mettono la velocità contro lo spazio di frenata e scoprono una curva, non una retta

Un diagramma di dispersione mostra tutto il quadro in una volta: l'andamento generale, i punti che se ne allontanano e i gruppi nascosti nei dati. È il punto di partenza per la correlazione e per la retta di migliore approssimazione delle prossime lezioni.

Applicazioni nel mondo reale

Scienze motorie: altezza e apertura delle braccia

Gli allenatori di nuoto e basket mettono l'altezza contro l'apertura delle braccia, perché un'apertura ampia è un vantaggio in entrambi gli sport.

Esempio:

Nella maggior parte delle persone l'apertura delle braccia è quasi uguale all'altezza, quindi i punti stanno vicini a una retta che sale: un andamento forte, positivo e lineare.

1Provaci tu stesso

Vuoi rappresentare l'apertura delle braccia di una squadra. I valori vanno da $148$ cm a $182$ cm. Il tuo asse $y$ parte da $140$ cm e ha $10$ quadretti.

Quale passo deve rappresentare ogni quadretto (scegli tra i passi tondi 1, 2, 5 o 10)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il passo di un quadretto:

Meteo: altitudine e temperatura

Le guide alpine e i piloti sanno che l'aria diventa più fredda salendo. Un diagramma di dispersione di altitudine e temperatura mostra quanto in fretta.

Esempio:

I palloni sonda misurano la temperatura ogni poche centinaia di metri durante la salita. Messe insieme, le misure stanno quasi su una retta che scende.

2Provaci tu stesso

Un'escursionista registra la temperatura a quattro altitudini: $(0, 20)$ , $(1, 14)$ , $(2, 7)$ , $(3, 1)$ , con l'altitudine in km e la temperatura in °C.

Come descriveresti il diagramma di dispersione?

Passo 1: Scegli la risposta giusta

Scegli la descrizione migliore:

Commercio: trovare un valore anomalo

I negozi mettono il numero di post sui social a settimana contro il numero di nuovi clienti per vedere se la pubblicità funziona e individuare le settimane che non tornano.

Esempio:

Una settimana con molti post ma pochissimi clienti risalta come valore anomalo. Spesso c'è un motivo: un giorno festivo, un guasto del sito o il brutto tempo.

3Provaci tu stesso

Una panetteria registra cinque settimane come (post, nuovi clienti): $(2, 30)$ , $(4, 42)$ , $(6, 54)$ , $(8, 66)$ , $(10, 20)$ .

Quanti post ci sono stati nella settimana che è un valore anomalo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il valore di $x$ del valore anomalo:

Punti chiave

1Un diagramma di dispersione mostra due variabili numeriche: ogni individuo è un punto $(x, y)$
2La variabile esplicativa va sull'asse $x$ , la variabile risposta sull'asse $y$
3Ogni asse ha bisogno di passi uguali, di un'etichetta e di un'unità di misura; i due assi possono avere scale diverse
4Disegna un punto per riga e non unire mai i punti
5Descrivi l'andamento per forma (lineare o non lineare), direzione (positiva o negativa) e forza (forte, moderata, debole)
6Cerca le caratteristiche particolari: gruppi, vuoti e valori anomali

Domande frequenti

Che differenza c'è tra un diagramma di dispersione e un grafico a linee?

Un grafico a linee segue una grandezza nel tempo, quindi ha senso unire i punti. Un diagramma di dispersione confronta due variabili per molti individui separati, quindi i punti restano staccati.

Entrambi gli assi devono partire da 0?

No. Se tutte le altezze sono tra 148 e 182 cm, far partire l'asse da 140 usa meglio lo spazio. Mantieni solo i passi uguali e indica chiaramente il valore di partenza sull'asse.

E se nessuna variabile spiega l'altra?

A volte, come per l'altezza e l'apertura delle braccia, nessuna delle due causa l'altra. Allora puoi scegliere l'una o l'altra per l'asse

x

. Prendi quella che useresti più volentieri per stimare l'altra.

Devo cancellare un valore anomalo?

Non automaticamente. Prima controlla se è un errore nei dati. Se è un valore reale, tienilo e citalo nella tua descrizione: i valori anomali spesso raccontano la storia più interessante.

Glossario

Diagramma di dispersione: Un grafico di punti $(x, y)$ che mostra la relazione tra due variabili numeriche
Variabile esplicativa: La variabile che può spiegare o influenzare l'altra; va sull'asse $x$
Variabile risposta: La variabile che risponde alla variabile esplicativa; va sull'asse $y$
Forma: La figura dell'andamento: lineare (retta) o non lineare (curva)
Gruppo (cluster): Un insieme di punti vicini tra loro e separati dagli altri
Valore anomalo (outlier): Un punto lontano dall'andamento generale degli altri punti

Scheda formule

Un punto per individuo

(x, y) = (\text{esplicativa}, \text{risposta})

Ogni riga della tabella diventa un punto: il primo valore va verso destra, il secondo verso l'alto

Campo di variazione di una variabile

\text{campo} = \text{valore massimo} - \text{valore minimo}

Ti dice quanto spazio sull'asse serve ai valori

Ampiezza di un passo

\text{passo} \geq \frac{\text{valore massimo} - \text{inizio}}{\text{numero di quadretti}}

Arrotonda per eccesso a un passo tondo come 1, 2, 5 o 10

Altro su questo argomento

Guida per l'insegnante: Diagrammi di dispersione

Usa questa lezione in classe

Per gli insegnanti

Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

Per studenti avanzati:

Contenuto della lezione

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Scienze motorie: altezza e apertura delle braccia

Meteo: altitudine e temperatura

Commercio: trovare un valore anomalo

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Un punto per individuo

Campo di variazione di una variabile

Ampiezza di un passo

Altro su questo argomento

Introduzione alla regressione

Regressione lineare

Retta di migliore approssimazione

Fare previsioni dai dati