Samengestelde Ongelijkheden

Leer samengestelde ongelijkheden oplossen en grafisch weergeven met EN en OF connectoren.

Gevorderd25 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

Een samengestelde ongelijkheid combineert twee ongelijkheden met de woorden EN of OF.
EN-ongelijkheden (Conjunctie):
  • Beide voorwaarden moeten tegelijkertijd waar zijn
  • Geschreven als: a<x<ba < x < b of "x>ax > a EN x<bx < b"
  • De oplossing is de doorsnede (overlap) van beide ongelijkheden
OF-ongelijkheden (Disjunctie):
  • Minstens een voorwaarde moet waar zijn
  • Geschreven als: "x<ax < a OF x>bx > b"
  • De oplossing is de vereniging (combinatie) van beide ongelijkheden
EN=∩ (doorsnede)OF=∪ (vereniging)\text{EN} = \cap \text{ (doorsnede)} \qquad \text{OF} = \cup \text{ (vereniging)}

Probeer het meteen

Welke samengestelde ongelijkheid vertegenwoordigt "xx is groter dan −3-3 EN kleiner dan 55"?

Uitgewerkte voorbeelden

Los op: −3<2x+1<7-3 < 2x + 1 < 7
1

Begrijp de samengestelde ongelijkheid

Dit betekent −3<2x+1-3 < 2x + 1 EN 2x+1<72x + 1 < 7 tegelijkertijd → Beide moeten waar zijn
2

Trek 1 af van alle drie de delen

−3−1<2x+1−1<7−1-3 - 1 < 2x + 1 - 1 < 7 - 1 → −4<2x<6-4 < 2x < 6
3

Deel alle drie de delen door 2

−42<2x2<62\frac{-4}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{6}{2} → −2<x<3-2 < x < 3
4

Schrijf in intervalnotatie

Open cirkels bij −2-2 en 33 (niet inbegrepen) → (−2,3)(-2, 3)

Veelgemaakte fouten

EN en OF verwarren bij het grafisch weergeven

Waarom het fout is: EN vereist de overlap (doorsnede), terwijl OF alles van beide verzamelingen omvat (vereniging).

Correct: EN = doorsnede (kleiner gebied, beide voorwaarden). OF = vereniging (groter gebied, een van de voorwaarden).

Vergeten de ongelijkheid om te draaien bij vermenigvuldigen/delen door een negatief getal

Waarom het fout is: Bij het oplossen van elk deel van een samengestelde ongelijkheid gelden dezelfde regels als bij gewone ongelijkheden.

Correct: Als je vermenigvuldigt of deelt door een negatief getal, draai je ALLE ongelijkheidstekens in die stap om.

5<x<25 < x < 2 schrijven en denken dat het oplossingen heeft

Waarom het fout is: Dit zou vereisen dat xx tegelijkertijd groter dan 5 EN kleiner dan 2 is, wat onmogelijk is.

Correct: Controleer altijd of een EN-ongelijkheid logisch klopt. Als a>ba > b in a<x<ba < x < b, is er geen oplossing.

De verkeerde haakjes gebruiken in intervalnotatie

Waarom het fout is: Vierkante haken [[ ]] betekenen dat het eindpunt is inbegrepen (≤\leq of ≥\geq), ronde haakjes (( )) betekenen dat het is uitgesloten (<< of >>).

Correct: x>3x > 3: gebruik (3,∞)(3, \infty). x≥3x \geq 3: gebruik [3,∞)[3, \infty). Oneindig gebruikt altijd ronde haakjes.

Interactieve visualisatie

tot

-2 < x < 3·(-2, 3)

Klik op getallen om ze te selecteren. Pas het bereik aan om verschillende waarden te verkennen.

tot

x < -2 of x > 2·(−∞, -2) ∪ (2, ∞)

Klik op getallen om ze te selecteren. Pas het bereik aan om verschillende waarden te verkennen.

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

16 opgaven
Opgave 1 van 16
Makkelijk
Welke samengestelde ongelijkheid vertegenwoordigt "xx is groter dan −3-3 EN kleiner dan 55"?

Waarom het belangrijk is

Samengestelde ongelijkheden beschrijven situaties uit het dagelijks leven waar meerdere voorwaarden gelden:
  • Temperatuurbereiken: Een comfortabele kamer is tussen 18 en 24 graden Celsius (18≤T≤2418 \leq T \leq 24)
  • Snelheidslimieten: Je moet minimaal 50 km/u maar maximaal 130 km/u rijden op de snelweg (50≤v≤13050 \leq v \leq 130)
  • Leeftijdsbeperkingen: Een film is voor kijkers jonger dan 12 OF ouder dan 18 jaar (l<12l < 12 OF l>18l > 18)
  • Toetsscores: Je slaagt als je minimaal 60 haalt EN alle opdrachten afrondt
Het begrijpen van samengestelde ongelijkheden helpt je bij het analyseren van situaties met meerdere beperkingen!

Toepassingen in de echte wereld

Gezonde hartslagzones

Fitnesstrainers gebruiken samengestelde ongelijkheden om hartslagzones tijdens het sporten te definieren.

Voorbeeld:

De vetverbrandingszone is wanneer je hartslag tussen 60% en 70% van je maximum is. Voor een max van 190 bpm: 114≤h≤133114 \leq h \leq 133

1Probeer het zelf

Je maximale hartslag is 200 bpm. De cardiozone is 70% tot 85% van het maximum.

Schrijf de samengestelde ongelijkheid voor hartslag hh in de cardiozone.

Stap 1: Kies het juiste antwoord

Bereken 70% en 85% van 200. Welke samengestelde ongelijkheid past?

Kwaliteitscontrole in productie

Producten moeten aan specificaties voldoen binnen tolerantiebereiken. Items buiten het bereik worden afgekeurd.

Voorbeeld:

Een bout moet tussen 9,8 mm en 10,2 mm zijn om de inspectie te doorstaan: 9,8≤d≤10,29{,}8 \leq d \leq 10{,}2

2Probeer het zelf

Een fabriek keurt items af die minder dan 95 gram OF meer dan 105 gram wegen.

Schrijf de ongelijkheid voor afgekeurde items (gewicht gg).

Stap 1: Kies het juiste antwoord

Items worden afgekeurd als:

Veilige rijsnelheid

Verkeersregels gebruiken samengestelde ongelijkheden om wettelijke snelheidsbereiken te definieren.

Voorbeeld:

Op de snelweg moet je minimaal 50 km/u maar maximaal 130 km/u rijden: 50≤v≤13050 \leq v \leq 130

3Probeer het zelf

Een boete wordt gegeven als je onder de 50 km/u OF boven de 110 km/u rijdt op een specifieke weg.

Voor welke snelheden vv krijg je een boete?

Stap 1: Kies het juiste antwoord

Boete als snelheid:

Belangrijke punten

  • 1Samengestelde ongelijkheden combineren twee ongelijkheden met EN of OF
  • 2EN-ongelijkheden vereisen dat BEIDE voorwaarden waar zijn (doorsnede) - de oplossing is waar de grafieken overlappen
  • 3OF-ongelijkheden vereisen dat MINSTENS EEN voorwaarde waar is (vereniging) - de oplossing omvat beide gebieden
  • 4Bij het oplossen behandel je elk deel apart en combineer je dan de oplossingen
  • 5EN kan geen oplossing hebben als de voorwaarden tegenstrijdig zijn; OF kan alle reele getallen bevatten als voorwaarden volledig overlappen

Veelgestelde vragen

EN betekent dat beide voorwaarden tegelijkertijd waar moeten zijn (doorsnede). OF betekent dat minstens een voorwaarde waar moet zijn (vereniging). EN geeft meestal een kleinere oplossingsverzameling; OF geeft een grotere.
EN betekent dat beide voorwaarden tegelijkertijd waar moeten zijn (doorsnede). OF betekent dat minstens een voorwaarde waar moet zijn (vereniging). EN geeft meestal een kleinere oplossingsverzameling; OF geeft een grotere.
Gebruik vierkante haken [][ ] wanneer het eindpunt is inbegrepen (≤\leq of ≥\geq). Gebruik ronde haakjes ()( ) wanneer het eindpunt NIET is inbegrepen (<< of >>). Oneindig (∞\infty) gebruikt ALTIJD ronde haakjes omdat je oneindig nooit kunt bereiken.
Ja! Een EN-ongelijkheid heeft geen oplossing wanneer de voorwaarden tegenstrijdig zijn (zoals x>5x > 5 EN x<2x < 2). Een OF-ongelijkheid zal echter altijd een oplossing hebben, tenzij de individuele ongelijkheden zelf geen oplossingen hebben.

Woordenlijst

Samengestelde ongelijkheid
Twee of meer ongelijkheden verbonden door EN of OF
Conjunctie (EN)
Een samengestelde uitspraak die alleen waar is wanneer BEIDE delen waar zijn
Disjunctie (OF)
Een samengestelde uitspraak die waar is wanneer MINSTENS EEN deel waar is
Doorsnede
De overlap van twee verzamelingen; waarden die aan BEIDE voorwaarden voldoen
Vereniging
De combinatie van twee verzamelingen; waarden die aan EEN VAN BEIDE voorwaarden voldoen
Intervalnotatie
Een manier om oplossingsverzamelingen te schrijven met haakjes: (a,b)(a, b), [a,b][a, b], [a,b)[a, b), (a,b](a, b]

Formulekaart

EN-ongelijkheid (Conjunctie)

a<x<ba < x < b betekent x>ax > a EN x<bx < b

Oplossing is de doorsnede - beide voorwaarden moeten waar zijn

OF-ongelijkheid (Disjunctie)

x<ax < a OF x>bx > b

Oplossing is de vereniging - minstens een voorwaarde moet waar zijn

Intervalnotatie

(a,b)=a<x<b(a, b) = a < x < b, [a,b]=a≤x≤b[a, b] = a \leq x \leq b

Ronde haakjes = uitgesloten, Vierkante haken = inbegrepen, oneindig gebruikt altijd ronde haakjes

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Introductie tot ongelijkheden

Gemiddeld20 min

Ongelijkheden oplossen en tekenen

Gemiddeld25 min

Ongelijkheden weergeven op de getallenlijn

Gemiddeld25 min

Eenstaps-ongelijkheden

Gemiddeld25 min