Ongelijkheden met absolute waarde

Leer ongelijkheden met absolute waarde op te lossen door de afstand tot nul te begrijpen.

Gevorderd25 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

Een ongelijkheid met absolute waarde vergelijkt de absolute waarde van een uitdrukking met een getal.
Onthoud dat ∣x∣|x| de afstand van xx tot nul op de getallenlijn voorstelt.

Twee hoofdtypen

Kleiner dan (<< of ≤\leq): De uitdrukking ligt binnen een bepaalde afstand van nul.
∣x∣<a⇒−a<x<a|x| < a \Rightarrow -a < x < a
Groter dan (>> of ≥\geq): De uitdrukking ligt buiten een bepaalde afstand van nul.
∣x∣>a⇒x<−a of x>a|x| > a \Rightarrow x < -a \text{ of } x > a

Kernidee

  • ∣x∣<3|x| < 3 betekent dat xx op minder dan 3 eenheden van nul ligt: −3<x<3-3 < x < 3
  • ∣x∣>3|x| > 3 betekent dat xx op meer dan 3 eenheden van nul ligt: x<−3x < -3 of x>3x > 3

Probeer het meteen

Welke samengestelde ongelijkheid stelt ∣x∣<5|x| < 5 voor?

Uitgewerkte voorbeelden

Los op: ∣x−2∣<5|x - 2| < 5
1

Herken het type

∣x−2∣<5|x - 2| < 5 is een "kleiner dan" ongelijkheid → De uitdrukking ligt binnen 5 eenheden van nul
2

Schrijf als samengestelde ongelijkheid

Voor ∣A∣<a|A| < a, schrijf −a<A<a-a < A < a → −5<x−2<5-5 < x - 2 < 5
3

Los op door 2 bij alle delen op te tellen

−5+2<x−2+2<5+2-5 + 2 < x - 2 + 2 < 5 + 2 → −3<x<7-3 < x < 7
4

Schrijf de oplossingsverzameling

Alle getallen tussen −3-3 en 77 → x∈(−3,7)x \in (-3, 7)

Veelgemaakte fouten

∣x∣<3|x| < 3 schrijven als x<3x < 3 of x<−3x < -3

Waarom het fout is: Leerlingen vergeten dat "kleiner dan" een EN-ongelijkheid creëert (tussen twee waarden), geen OF.

Correct: ∣x∣<3|x| < 3 betekent −3<x<3-3 < x < 3 (waarden tussen −3-3 en 33)

∣x∣>3|x| > 3 schrijven als −3<x<3-3 < x < 3

Waarom het fout is: Verwarring tussen de twee gevallen. "Groter dan" betekent dat de waarde VER van nul is, niet dichtbij.

Correct: ∣x∣>3|x| > 3 betekent x<−3x < -3 OF x>3x > 3 (waarden buiten het interval)

Vergeten de ongelijkheid om te draaien bij vermenigvuldigen met een negatief getal

Waarom het fout is: Bij het oplossen: als je vermenigvuldigt of deelt door een negatief getal, draait de richting van de ongelijkheid om.

Correct: Voorbeeld: ∣3−2x∣<5|3 - 2x| < 5 geeft −5<3−2x<5-5 < 3 - 2x < 5, dus −8<−2x<2-8 < -2x < 2. Bij delen door −2-2 draaien beide tekens om: 4>x>−14 > x > -1, dus −1<x<4-1 < x < 4

Niet controleren of de ongelijkheid geen oplossing of alle reële getallen heeft

Waarom het fout is: De absolute waarde is altijd niet-negatief, dus ∣A∣<negatief|A| < \text{negatief} heeft geen oplossing, en ∣A∣>negatief|A| > \text{negatief} is altijd waar.

Correct: Controleer altijd: Kan deze ongelijkheid daadwerkelijk worden vervuld?

Interactieve visualisatie

tot

-1 ≤ x ≤ 5·[-1, 5]

Klik op getallen om ze te selecteren. Pas het bereik aan om verschillende waarden te verkennen.

tot

x < -4 of x > 3·(−∞, -4) ∪ (3, ∞)

Klik op getallen om ze te selecteren. Pas het bereik aan om verschillende waarden te verkennen.

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

17 opgaven
Opgave 1 van 17
Makkelijk
Welke samengestelde ongelijkheid stelt ∣x∣<5|x| < 5 voor?

Waarom het belangrijk is

Ongelijkheden met absolute waarde zijn essentieel in veel praktische toepassingen:
  • Kwaliteitscontrole: Een machineonderdeel moet binnen ±0,02\pm 0{,}02 mm van de doelmaat liggen: ∣x−50∣≤0,02|x - 50| \leq 0{,}02
  • Temperatuurbereiken: Medicijnen bewaren binnen 3 graden van 20 graden Celsius: ∣T−20∣≤3|T - 20| \leq 3
  • Statistiek: Waarden binnen 2 standaardafwijkingen van het gemiddelde
  • Techniek: Tolerantiebereiken voor metingen en specificaties
Deze ongelijkheden begrijpen helpt je om acceptabele bereiken en foutmarges wiskundig uit te drukken.

Toepassingen in de echte wereld

Productietoleranties

Fabrieksmachines moeten onderdelen produceren binnen specifieke toleranties. Een bout moet 10 mm zijn met een tolerantie van 0,05 mm.

Voorbeeld:

De ongelijkheid ∣d−10∣≤0,05|d - 10| \leq 0{,}05 betekent dat de diameter dd tussen 9,95 mm en 10,05 mm moet liggen.

1Probeer het zelf

Een fabriek produceert staven die 25 cm lang moeten zijn, met een acceptabele fout van 0,2 cm.

Schrijf en los de ongelijkheid op voor acceptabele staaflengtes.

Stap 1: Kies het juiste antwoord

Welke ongelijkheid beschrijft de acceptabele lengtes LL?

Temperatuurbeheersing

Veel producten vereisen opslag binnen specifieke temperatuurbereiken.

Voorbeeld:

Vaccins moeten worden bewaard op 4 graden Celsius met een variatie van maximaal 2 graden: ∣T−4∣≤2|T - 4| \leq 2, dus 2≤T≤62 \leq T \leq 6 graden.

2Probeer het zelf

Een wijnkelder houdt de temperatuur op 13 graden Celsius. De temperatuur mag niet meer dan 1,5 graad variëren.

Wat is het acceptabele temperatuurbereik?

Stap 1: Kies het juiste antwoord

Welke ongelijkheid beschrijft de toegestane temperaturen TT?

Snelheidslimieten en flitsers

Politieflitsers hebben een foutmarge. Een bestuurder kan een boete aanvechten als de gemeten snelheid binnen de foutmarge valt.

Voorbeeld:

Als de flitsernauwkeurigheid 3 km/u is en de limiet 50 km/u, kunnen snelheden tussen 47 en 53 binnen de foutmarge vallen: ∣v−50∣≤3|v - 50| \leq 3.

3Probeer het zelf

Een flitser heeft een foutmarge van 2 km/u. Een bestuurder werd geregistreerd met 62 km/u in een zone van 60 km/u.

Valt de geregistreerde snelheid binnen de foutmarge van de limiet?

Stap 1: Kies het juiste antwoord

Welke uitspraak klopt voor deze bestuurder?

Belangrijke punten

  • 1De absolute waarde meet de afstand tot nul, dus ∣x∣|x| is altijd niet-negatief
  • 2Voor ∣A∣<a|A| < a (kleiner dan): schrijf −a<A<a-a < A < a (EN-ongelijkheid)
  • 3Voor ∣A∣>a|A| > a (groter dan): schrijf A<−aA < -a OF A>aA > a (OF-ongelijkheid)
  • 4Als vergeleken met negatief getal: ∣A∣<negatief|A| < \text{negatief} heeft geen oplossing; ∣A∣>negatief|A| > \text{negatief} geldt voor alle reële getallen
  • 5Isoleer altijd eerst de absolute waarde-uitdrukking voordat je in gevallen splitst

Veelgestelde vragen

Denk aan afstand: "kleiner dan" betekent DICHTBIJ nul (tussen twee waarden = EN). "Groter dan" betekent VER van nul (buiten = OF). Geheugensteuntje: kleiner dan geeft één stuk in het midden, groter dan twee stukken aan de buitenkant.
Denk aan afstand: "kleiner dan" betekent DICHTBIJ nul (tussen twee waarden = EN). "Groter dan" betekent VER van nul (buiten = OF). Geheugensteuntje: kleiner dan geeft één stuk in het midden, groter dan twee stukken aan de buitenkant.
Voor ∣A∣=a|A| = a krijg je precies twee oplossingen: A=aA = a of A=−aA = -a. Dit is een vergelijking, geen ongelijkheid.
Ja, maar controleer zorgvuldig! Aangezien de absolute waarde altijd niet-negatief is: ∣A∣<negatief|A| < \text{negatief} heeft geen oplossing, terwijl ∣A∣>negatief|A| > \text{negatief} waar is voor alle waarden.

Woordenlijst

Absolute waarde
De afstand van een getal tot nul op de getallenlijn, altijd niet-negatief. Geschreven als ∣x∣|x|
Samengestelde ongelijkheid
Twee ongelijkheden verbonden door EN of OF
Intervalnotatie
Een manier om oplossingsverzamelingen te schrijven met haakjes (eindpunt uitsluiten) en rechte haken (eindpunt insluiten)
Oplossingsverzameling
De verzameling van alle waarden die een ongelijkheid waar maken

Formulekaart

Kleiner dan (of gelijk aan) geval

∣A∣<a⇒−a<A<a|A| < a \Rightarrow -a < A < a

De uitdrukking $A$ ligt binnen $a$ eenheden van nul

Groter dan (of gelijk aan) geval

∣A∣>a⇒A<−a of A>a|A| > a \Rightarrow A < -a \text{ of } A > a

De uitdrukking $A$ ligt op meer dan $a$ eenheden van nul

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Introductie tot ongelijkheden

Gemiddeld20 min

Ongelijkheden oplossen en tekenen

Gemiddeld25 min

Ongelijkheden weergeven op de getallenlijn

Gemiddeld25 min

Eenstaps-ongelijkheden

Gemiddeld25 min