De formule van Euler voor veelvlakken

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welke vergelijking is de formule van Euler voor een convex veelvlak?
1. a) $H + R + V = 2$
2. b) $H - R + V = 2$
3. c) $H + R - V = 2$
4. d) $H - R - V = 2$
Antwoord: $H - R + V = 2$
Hoekpunten en vlakken tel je op, ribben trek je af: $H - R + V = 2$ . Bij een kubus: $8 - 12 + 6 = 2$ .
2.
Een kubus heeft $8$ hoekpunten, $12$ ribben en $6$ vlakken. Bereken $H - R + V$ .
Antwoord: 2
$8 - 12 + 6 = -4 + 6 = 2$ , precies zoals de formule van Euler voorspelt.
3.
Een driehoekig prisma heeft $6$ hoekpunten en $5$ vlakken. Gebruik de formule van Euler om het aantal ribben te vinden.
Antwoord: 9
$6 - R + 5 = 2$ geeft $11 - R = 2$ , dus $R = 9$ . Controle: $3$ ribben aan elke driehoek en $3$ ribben ertussen, $3 + 3 + 3 = 9$ .
4.
Welk van deze lichamen is GEEN veelvlak?
1. a)Achtvlak
2. b)Kubus
3. c)Cilinder
4. d)Vierkante piramide
Antwoord: Cilinder
Een cilinder heeft een gebogen oppervlak en cirkelvormige grondvlakken, die geen veelhoeken zijn. Het is dus geen veelvlak en de formule van Euler geldt er niet voor.
5.
Een convex veelvlak heeft $20$ vlakken en $30$ ribben. Hoeveel hoekpunten heeft het?
Antwoord: 12
$H = 2 + R - V = 2 + 30 - 20 = 12$ . Controle: $12 - 30 + 20 = 2$ .
6.
Tel de hoekpunten, ribben en vlakken van een vijfhoekig prisma en controleer de formule van Euler.
Antwoord: 2
1. Hoeveel hoekpunten? (bovenste en onderste vijfhoek) 10
2. Hoeveel ribben? (boven, onder en verticaal) 15
3. Hoeveel vlakken? (2 grondvlakken en de rechthoekige zijvlakken) 7
4. Bereken $H - R + V$ 2
7.
Tel de hoekpunten, ribben en vlakken van een vierkante piramide en controleer de formule van Euler.
Antwoord: 2
1. Hoeveel hoekpunten? (hoeken van het grondvlak en de top) 5
2. Hoeveel ribben? (rond het grondvlak en naar de top) 8
3. Hoeveel vlakken? (het grondvlak en de driehoeken) 5
4. Bereken $H - R + V$ 2
8.
Welke aantallen kunnen bij een convex veelvlak horen?
1. a) $H = 8$ , $R = 12$ , $V = 7$
2. b) $H = 9$ , $R = 14$ , $V = 6$
3. c) $H = 6$ , $R = 10$ , $V = 6$
4. d) $H = 7$ , $R = 12$ , $V = 6$
Antwoord: $H = 6$ , $R = 10$ , $V = 6$
$6 - 10 + 6 = 2$ (een vijfhoekige piramide), terwijl $7 - 12 + 6 = 1$ , $8 - 12 + 7 = 3$ en $9 - 14 + 6 = 1$ niet aan de formule van Euler voldoen.
9.
Een prisma heeft $27$ ribben. Hoeveel vlakken heeft het?
Antwoord: 11
$3n = 27$ geeft $n = 9$ , dus $V = 9 + 2 = 11$ . Controle: $H = 18$ en $18 - 27 + 11 = 2$ .
10.
Een veelvlak heeft $4$ driehoekige en $4$ zeshoekige vlakken. Bepaal het aantal ribben en hoekpunten.
Antwoord: 12
1. Hoeveel zijden van vlakken zijn er in totaal? 36
2. Hoeveel ribben? 18
3. Hoeveel vlakken? 8
4. Hoeveel hoekpunten? ( $H = 2 + R - V$ ) 12
11.
Een piramide heeft een grondvlak met $n$ zijden. Hoeveel ribben heeft ze?
1. a) $n + 1$
2. b) $2n$
3. c) $n + 2$
4. d) $3n$
Antwoord: $2n$
Er zijn $n$ ribben rond het grondvlak en $n$ ribben van de hoeken van het grondvlak naar de top: $n + n = 2n$ . Bij een vierkante piramide $2 \times 4 = 8$ .
12.
Een piramide heeft $9$ vlakken. Bepaal het aantal zijden van het grondvlak, de hoekpunten en de ribben en controleer daarna de formule van Euler.
Antwoord: 2
1. Hoeveel zijden heeft het grondvlak? (vlakken $= n + 1$ ) 8
2. Hoeveel hoekpunten? ( $n + 1$ ) 9
3. Hoeveel ribben? ( $2n$ ) 16
4. Bereken $H - R + V$ 2
13.
Een convex veelvlak heeft alleen driehoekige vlakken en $12$ hoekpunten. Hoeveel vlakken en ribben heeft het?
Antwoord: 20
1. Elk vlak heeft 3 zijden en elke ribbe hoort bij 2 vlakken, dus $R = \frac{3V}{2}$ . Dan vereenvoudigt $12 - \frac{3V}{2} + V = 2$ tot $12 - \frac{V}{2} = 2$ . Hoeveel is $\frac{V}{2}$ ? 10
2. Hoeveel vlakken? 20
3. Hoeveel ribben? ( $\frac{3V}{2}$ ) 30
4. Controle: bereken $H - R + V$ 2
14.
Een driehoekige fotolijst is een lichaam met een driehoekig gat erdoorheen. De boven- en onderkant zijn elk in $3$ trapezia verdeeld, zodat elk vlak een vierhoek is. Bepaal $H - R + V$ .
Antwoord: 0
1. Hoeveel hoekpunten? (buiten en binnen, boven en onder) 12
2. Hoeveel vlakken? (boven, onder, buitenkant, binnenkant) 12
3. Hoeveel ribben? (alle vlakken zijn vierhoeken) 24
4. Bereken $H - R + V$ 0
15.
Kan een veelvlak precies $5$ vlakken hebben die allemaal driehoeken zijn?
1. a)Ja, het heeft 7 ribben
2. b)Nee, 15 zijden van vlakken kun je niet in paren tot ribben samenvoegen
3. c)Ja, het is een vierkante piramide
4. d)Nee, het zou 0 hoekpunten nodig hebben
Antwoord: Nee, 15 zijden van vlakken kun je niet in paren tot ribben samenvoegen
Vijf driehoeken hebben $5 \times 3 = 15$ zijden. Elke ribbe gebruikt precies twee zijden, dus $R = 7{,}5$ , geen geheel getal. Zo'n veelvlak bestaat niet. Een vierkante piramide heeft maar $4$ driehoekige vlakken plus een vierkant.
16.
Een prisma heeft $30$ hoekpunten. Bepaal het aantal zijden van het grondvlak, de ribben en de vlakken en controleer daarna de formule van Euler.
Antwoord: 2
1. Hoeveel zijden heeft het grondvlak? ( $2n = 30$ ) 15
2. Hoeveel ribben? ( $3n$ ) 45
3. Hoeveel vlakken? ( $n + 2$ ) 17
4. Bereken $H - R + V$ 2
17.
Een convex veelvlak heeft $6$ vierkante en $8$ zeshoekige vlakken. Hoeveel hoekpunten heeft het?
Antwoord: 24
Zijden van de vlakken: $6 \times 4 + 8 \times 6 = 72$ , dus $R = 36$ . Met $V = 14$ : $H = 2 + 36 - 14 = 24$ .
18.
Tel de hoekpunten, ribben en vlakken van een driehoekige piramide (viervlak) en controleer de formule van Euler.
Antwoord: 2
1. Hoeveel hoekpunten? 4
2. Hoeveel ribben? 6
3. Hoeveel vlakken? 4
4. Bereken $H - R + V$ 2