Terug naar les

Docentenhandleiding: ZZZ-congruentie

Leer met het congruentiekenmerk ZZZ (Zijde-Zijde-Zijde) bewijzen dat driehoeken congruent zijn, overeenkomstige zijden koppelen en ZZZ controleren in een assenstelsel.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Congruentie & Gelijkvormigheid. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen
  • Het congruentiekenmerk ZZZ formuleren en uitleggen waarom er geen hoeken nodig zijn
  • Overeenkomstige zijden koppelen en een congruentie-uitspraak met de hoekpunten in de juiste volgorde schrijven
  • Met de afstandsformule ZZZ controleren voor driehoeken in een assenstelsel
  • Een bewijs in twee kolommen met ZZZ schrijven, ook met een gemeenschappelijke zijde en reflexiviteit
  • Na ZZZ overeenkomstige delen gebruiken en uitleggen waarom ZZZ niet werkt voor vierhoeken
Vereisten
  • • Introductie tot congruentie: wat congruente figuren zijn en het symbool ≅\cong
  • • Congruente driehoeken: overeenkomstige delen en de vijf congruentiekenmerken
  • • HZH- en HHZ-congruentie: hoe je een kenmerk in een bewijs gebruikt
  • • De stelling van Pythagoras of de afstandsformule in een assenstelsel
Discussiestarters
  • 1. Waarom gebruiken bruggen en kranen driehoeken in plaats van vierkanten?
  • 2. Als twee driehoeken dezelfde omtrek hebben, zijn ze dan altijd congruent? Zoek een voorbeeld.
  • 3. Hoe weet je zeker welk hoekpunt van de ene driehoek bij welk hoekpunt van de andere hoort?
  • 4. Waarom denk je dat ZZZ geen hoeken nodig heeft, terwijl HZH en HHZ er twee nodig hebben?
Veelvoorkomende misvattingen

In de congruentie-uitspraak mogen de hoekpunten in elke volgorde staan

Herstel: Laat △PQR\triangle PQR en △XYZ\triangle XYZ zien waarbij PP bij YY hoort. Laat leerlingen uit de foute uitspraak △PQR≅△XYZ\triangle PQR \cong \triangle XYZ de overeenkomstige zijden aflezen en controleren: PQ=8PQ = 8 maar XY=9XY = 9, dus de uitspraak is onwaar.

Gelijke zijden betekenen bij elke veelhoek een gelijke vorm

Herstel: Laat leerlingen een vierkant van vier rietjes bouwen en ertegen duwen. Het wordt een ruit met dezelfde zijden. Voeg daarna een rietje als diagonaal toe: de figuur beweegt niet meer.

Een gemeenschappelijke zijde telt niet mee, omdat die bij beide driehoeken hoort

Herstel: Kleur de twee driehoeken van een vlieger verschillend en trek de diagonaal in beide kleuren over. Het is een zijde van elke driehoek, dus geeft ze het paar AC‾≅AC‾\overline{AC} \cong \overline{AC}.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

  • • Geef eerst zijdelengtes in de bijpassende volgorde en meng daarna de volgorde
  • • Gebruik gekleurde streepjes om de zijden te koppelen voordat de uitspraak wordt geschreven
  • • Begin met driehoeken op ruitjespapier met horizontale of verticale zijden

Voor leerlingen op niveau:

  • • ZZZ controleren met de afstandsformule voor schuine zijden
  • • Bewijzen in twee kolommen schrijven met een gemeenschappelijke zijde
  • • Onbekenden in congruente driehoeken berekenen met algebra

Voor gevorderde leerlingen:

  • • Met een passerconstructie uitleggen waarom drie zijden maar één driehoek geven
  • • Met ZZZ en overeenkomstige delen bewijzen dat de diagonaal van een ruit de hoeken halveert
  • • Uitzoeken hoeveel diagonalen een vijfhoekig frame stijf maken
Standaarduitlijning
  • HSG-CO.B.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.B.8)

    Uitleggen hoe de congruentiekenmerken voor driehoeken (HZH, ZHZ en ZZZ) volgen uit de definitie van congruentie met starre bewegingen

  • HSG-SRT.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.B.5)

    Congruentie- en gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken gebruiken om problemen op te lossen en verbanden in meetkundige figuren te bewijzen

  • 8.G.B.8 (CCSS.MATH.CONTENT.8.G.B.8)

    De stelling van Pythagoras toepassen om de afstand tussen twee punten in een assenstelsel te vinden

Lesbronnen
  • visualZZZ-driehoekspaar

    Twee congruente driehoeken, een gedraaid en gespiegeld, met alle drie de zijden gemarkeerd

  • activityRietjes en spelden

    Leerlingen bouwen een driehoek en een vierhoek van rietjes en testen welke van vorm kan veranderen

  • worksheetZZZ-bewijzen met coördinaten

    Zijdelengtes berekenen met de afstandsformule en beslissen of er congruentie is

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Het congruentiekenmerk ZZZ (Zijde-Zijde-Zijde) zegt: als de drie zijden van een driehoek congruent zijn met de drie zijden van een andere driehoek, dan zijn de twee driehoeken congruent.
Als AB‾≅DE‾,BC‾≅EF‾,CA‾≅FD‾\text{Als } \overline{AB} \cong \overline{DE}, \quad \overline{BC} \cong \overline{EF}, \quad \overline{CA} \cong \overline{FD}
Dan △ABC≅△DEF\text{Dan } \triangle ABC \cong \triangle DEF
Je hoeft geen enkele hoek te meten. Drie zijdelengtes leggen een driehoek volledig vast: dat heet de stijfheid van de driehoek. Zodra de drie zijden gekozen zijn, liggen de hoeken vast, dus elke driehoek met die zijden is dezelfde driehoek, alleen verschoven, gedraaid of gespiegeld.
Zijden koppelen: de volgorde van de letters in △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF vertelt welke delen bij elkaar horen: A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F. Koppel de kortste zijde aan de kortste, de middelste aan de middelste en de langste aan de langste, en schrijf dan de hoekpunten in de bijpassende volgorde.
In een assenstelsel bereken je elke zijde met de afstandsformule:
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Uitgewerkte voorbeelden

In △ABC\triangle ABC: AB=5AB = 5 cm, BC=7BC = 7 cm, CA=6CA = 6 cm. In △DEF\triangle DEF: DE=5DE = 5 cm, EF=7EF = 7 cm, FD=6FD = 6 cm. Zijn de driehoeken congruent?
1

Vergelijk het eerste paar zijden

AB=DE=5AB = DE = 5 cm → AB‾≅DE‾\overline{AB} \cong \overline{DE}
2

Vergelijk het tweede paar

BC=EF=7BC = EF = 7 cm → BC‾≅EF‾\overline{BC} \cong \overline{EF}
3

Vergelijk het derde paar

CA=FD=6CA = FD = 6 cm → CA‾≅FD‾\overline{CA} \cong \overline{FD}
4

Pas ZZZ toe

Alle drie de paren zijden zijn congruent → △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF volgens ZZZ

Veelgemaakte fouten

De hoekpunten in de verkeerde volgorde schrijven, zoals △PQR≅△XYZ\triangle PQR \cong \triangle XYZ terwijl PP bij YY hoort

Waarom het fout is: Een congruentie-uitspraak belooft dat de eerste letters bij elkaar horen, net als de tweede en de derde. Alfabetische volgorde is niet hetzelfde als bijpassende volgorde.

Correct: Koppel eerst de zijden op lengte en zoek dan in welke hoekpunten de bijpassende zijden samenkomen. Schrijf de hoekpunten in die volgorde: △PQR≅△YZX\triangle PQR \cong \triangle YZX.

Denken dat ZZZ ook voor vierhoeken werkt

Waarom het fout is: Een vierkant met zijde 4 en een smalle ruit met zijde 4 hebben vier gelijke paren zijden, maar ze zijn niet congruent. Vier zijden leggen de hoeken niet vast.

Correct: Zijdelengtes alleen leggen alleen de vorm van een driehoek vast. Bij vierhoeken heb je ook hoeken of een diagonaal nodig.

De gemeenschappelijke zijde in een bewijs vergeten

Waarom het fout is: Als twee driehoeken een zijde delen, vinden veel leerlingen maar twee paren gelijke zijden en stoppen, of ze gebruiken die zijde zonder reden.

Correct: Schrijf de gemeenschappelijke zijde als aparte bewering, AC‾≅AC‾\overline{AC} \cong \overline{AC}, met als reden reflexiviteit. Ze telt als derde paar.

Congruentie afleiden uit een gelijke omtrek

Waarom het fout is: Driehoeken met zijden 3, 4, 5 en 4, 4, 4 hebben allebei omtrek 12, maar een andere vorm.

Correct: ZZZ vraagt drie aparte paren gelijke zijden, niet alleen dezelfde som.

Waarom het belangrijk is

ZZZ is het kenmerk dat je met alleen een liniaal kunt controleren, en het verklaart waarom driehoeken overal in de bouw voorkomen:
  • Bruggen en daken: een driehoek van drie vaste balken kan niet van vorm veranderen, daarom bestaan vakwerkconstructies uit driehoeken. Een vierkant frame met scharnierende hoeken zakt in tot een ruit, een driehoek nooit
  • Productie: om te controleren of een driehoekig onderdeel bij de mal past, meten werknemers alleen de drie zijden
  • Kaarten en landmeten: met coördinaten kun je alleen door afstanden te berekenen bewijzen dat twee driehoekige percelen gelijk zijn
  • Bewijzen: ZZZ is vaak de eerste stap van een bewijs, en daarna geeft de eigenschap overeenkomstige delen van congruente driehoeken zijn congruent je de gelijke hoeken gratis
In de lessen over congruente driehoeken en over HZH en HHZ heb je de andere kenmerken gezien. ZZZ is het enige dat helemaal geen hoek nodig heeft.

Toepassingen in de echte wereld

Dakspanten

Timmerlieden bouwen daken uit gelijke driehoeken, omdat een driehoek met vaste zijden niet uit vorm te duwen is.

Voorbeeld:

Elk spant van een tuinhuis bestaat uit balken van 3 m, 4 m en 5 m. Volgens ZZZ zijn alle spanten congruent, dus het dak is over de hele lengte gelijk.

1Probeer het zelf

Een timmerman bouwt 12 gelijke dakspanten. Elk spant is een driehoek van balken van 3 m, 4 m en 5 m.

Hoeveel meter balk heeft de timmerman in totaal nodig?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Totale lengte balk in meter:

Velden op een kaartrooster

Planners vergelijken percelen met coördinaten en de afstandsformule zonder ter plaatse te gaan.

Voorbeeld:

Veld 1 heeft hoekpunten (0,0)(0, 0), (6,0)(6, 0) en (0,8)(0, 8), veld 2 heeft hoekpunten (10,2)(10, 2), (10,8)(10, 8) en (18,2)(18, 2). Beide hebben zijden van 6, 8 en 10 roostereenheden, dus ze zijn congruent volgens ZZZ.

2Probeer het zelf

Op een kaart is één roostereenheid 10 m. Veld 2 heeft hoekpunten (10,2)(10, 2), (10,8)(10, 8) en (18,2)(18, 2).

Hoe lang is de schuine grens van veld 2, van (10,8)(10, 8) tot (18,2)(18, 2), in meter?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Lengte in meter:

Kwaliteitscontrole van tegels

Een tegelfabriek controleert driehoekige tegels met een mal door de drie zijden te meten.

Voorbeeld:

De mal heeft zijden van 12 cm, 15 cm en 20 cm. Een tegel van 20 cm, 12 cm en 15 cm wordt goedgekeurd: de volgorde van meten maakt niet uit, alleen de drie paren tellen.

3Probeer het zelf

De mal heeft zijden van 12 cm, 15 cm en 20 cm. Een testtegel heeft zijden van 15 cm, 20 cm en xx cm.

Hoe groot moet xx zijn zodat de tegel congruent is met de mal?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Waarde van x:

Belangrijke punten

  • 1ZZZ: als drie zijden van een driehoek congruent zijn met drie zijden van een andere, dan zijn de driehoeken congruent
  • 2Er zijn geen hoeken nodig: drie zijdelengtes leggen een driehoek volledig vast (stijfheid van de driehoek)
  • 3Koppel de kortste aan de kortste, de middelste aan de middelste en de langste aan de langste, en schrijf dan de hoekpunten in de bijpassende volgorde
  • 4In een assenstelsel bereken je elke zijde met de afstandsformule d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
  • 5Een zijde die twee driehoeken delen, is congruent met zichzelf (reflexiviteit) en telt als één paar
  • 6Na ZZZ geven de overeenkomstige delen de gelijke hoeken; ZZZ werkt niet voor vierhoeken

Veelgestelde vragen

Waarom werkt ZZZ zonder hoeken?

Probeer een driehoek te bouwen uit drie stokjes met een vaste lengte. Zodra de uiteinden verbonden zijn, is er maar één vorm, je kunt de hoeken niet openen of sluiten. Elke driehoek met die drie zijden is dezelfde driehoek, hoogstens gedraaid of gespiegeld. Daarom zijn drie zijden genoeg.

Waarom werkt ZZZ niet voor vierhoeken?

Vier stokjes die in de hoeken verbonden zijn, kunnen nog bewegen: een vierkant met zijde 4 kun je tot een ruit met zijde 4 duwen. De zijden blijven gelijk, de hoeken veranderen. Eén diagonaal verdeelt de figuur in twee driehoeken en maakt haar stijf.

Maakt de volgorde van de zijden uit?

Niet om te beslissen of er congruentie is: zijden 5, 6, 8 en 8, 5, 6 geven congruente driehoeken. Wel voor de congruentie-uitspraak: de letters van de hoekpunten moeten in de bijpassende volgorde staan.

Wat is het verschil tussen ZZZ-congruentie en ZZZ-gelijkvormigheid?

Voor ZZZ-congruentie heb je drie paren gelijke zijden nodig, de driehoeken zijn dus even groot. Voor ZZZ-gelijkvormigheid moeten alleen de drie verhoudingen van overeenkomstige zijden gelijk zijn, de ene driehoek kan dus een vergrote kopie van de andere zijn.

Woordenlijst

Kenmerk ZZZ
Twee driehoeken zijn congruent als hun drie paren overeenkomstige zijden congruent zijn
Overeenkomstige zijden
Zijden die bij een congruentie bij elkaar horen; ze staan op dezelfde plaatsen in de congruentie-uitspraak
Stijfheid van de driehoek
Een driehoek met vaste zijdelengtes kan zijn vorm en hoeken niet veranderen
Reflexiviteit
Elk lijnstuk is congruent met zichzelf; dat gebruik je voor een zijde die twee driehoeken delen
Overeenkomstige delen van congruente driehoeken
Als twee driehoeken congruent zijn, dan zijn alle overeenkomstige zijden en hoeken gelijk
Afstandsformule
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}, de lengte van het lijnstuk tussen twee punten

Formulekaart

Kenmerk ZZZ

AB=DE, BC=EF, CA=FD⇒△ABC≅△DEFAB = DE,\ BC = EF,\ CA = FD \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle DEF

Drie paren congruente zijden bewijzen dat de driehoeken congruent zijn

Afstandsformule

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Lengte van een zijde uit de coördinaten van de eindpunten

Reflexiviteit

AC‾≅AC‾\overline{AC} \cong \overline{AC}

Een gemeenschappelijke zijde is congruent met zichzelf

Overeenkomstige delen

△ABC≅△DEF⇒∠A≅∠D\triangle ABC \cong \triangle DEF \Rightarrow \angle A \cong \angle D

Overeenkomstige delen van congruente driehoeken zijn congruent

Meer over dit onderwerp

Introductie tot congruentie

Gemiddeld25 min

Inleiding tot gelijkvormigheid

Gemiddeld25 min

Congruente Driehoeken

Gemiddeld25 min

AA-Gelijkvormigheid

Gemiddeld25 min