ZZZ-congruentie

Leer met het congruentiekenmerk ZZZ (Zijde-Zijde-Zijde) bewijzen dat driehoeken congruent zijn, overeenkomstige zijden koppelen en ZZZ controleren in een assenstelsel.

Gemiddeld25 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

Het congruentiekenmerk ZZZ (Zijde-Zijde-Zijde) zegt: als de drie zijden van een driehoek congruent zijn met de drie zijden van een andere driehoek, dan zijn de twee driehoeken congruent.
Als AB‾≅DE‾,BC‾≅EF‾,CA‾≅FD‾\text{Als } \overline{AB} \cong \overline{DE}, \quad \overline{BC} \cong \overline{EF}, \quad \overline{CA} \cong \overline{FD}
Dan △ABC≅△DEF\text{Dan } \triangle ABC \cong \triangle DEF
Je hoeft geen enkele hoek te meten. Drie zijdelengtes leggen een driehoek volledig vast: dat heet de stijfheid van de driehoek. Zodra de drie zijden gekozen zijn, liggen de hoeken vast, dus elke driehoek met die zijden is dezelfde driehoek, alleen verschoven, gedraaid of gespiegeld.
Zijden koppelen: de volgorde van de letters in △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF vertelt welke delen bij elkaar horen: A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F. Koppel de kortste zijde aan de kortste, de middelste aan de middelste en de langste aan de langste, en schrijf dan de hoekpunten in de bijpassende volgorde.
In een assenstelsel bereken je elke zijde met de afstandsformule:
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Probeer het meteen

Welke gegevens zijn genoeg om met ZZZ te bewijzen dat twee driehoeken congruent zijn?

Uitgewerkte voorbeelden

In △ABC\triangle ABC: AB=5AB = 5 cm, BC=7BC = 7 cm, CA=6CA = 6 cm. In △DEF\triangle DEF: DE=5DE = 5 cm, EF=7EF = 7 cm, FD=6FD = 6 cm. Zijn de driehoeken congruent?
1

Vergelijk het eerste paar zijden

AB=DE=5AB = DE = 5 cm → AB‾≅DE‾\overline{AB} \cong \overline{DE}
2

Vergelijk het tweede paar

BC=EF=7BC = EF = 7 cm → BC‾≅EF‾\overline{BC} \cong \overline{EF}
3

Vergelijk het derde paar

CA=FD=6CA = FD = 6 cm → CA‾≅FD‾\overline{CA} \cong \overline{FD}
4

Pas ZZZ toe

Alle drie de paren zijden zijn congruent → △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF volgens ZZZ

Veelgemaakte fouten

De hoekpunten in de verkeerde volgorde schrijven, zoals △PQR≅△XYZ\triangle PQR \cong \triangle XYZ terwijl PP bij YY hoort

Waarom het fout is: Een congruentie-uitspraak belooft dat de eerste letters bij elkaar horen, net als de tweede en de derde. Alfabetische volgorde is niet hetzelfde als bijpassende volgorde.

Correct: Koppel eerst de zijden op lengte en zoek dan in welke hoekpunten de bijpassende zijden samenkomen. Schrijf de hoekpunten in die volgorde: △PQR≅△YZX\triangle PQR \cong \triangle YZX.

Denken dat ZZZ ook voor vierhoeken werkt

Waarom het fout is: Een vierkant met zijde 4 en een smalle ruit met zijde 4 hebben vier gelijke paren zijden, maar ze zijn niet congruent. Vier zijden leggen de hoeken niet vast.

Correct: Zijdelengtes alleen leggen alleen de vorm van een driehoek vast. Bij vierhoeken heb je ook hoeken of een diagonaal nodig.

De gemeenschappelijke zijde in een bewijs vergeten

Waarom het fout is: Als twee driehoeken een zijde delen, vinden veel leerlingen maar twee paren gelijke zijden en stoppen, of ze gebruiken die zijde zonder reden.

Correct: Schrijf de gemeenschappelijke zijde als aparte bewering, AC‾≅AC‾\overline{AC} \cong \overline{AC}, met als reden reflexiviteit. Ze telt als derde paar.

Congruentie afleiden uit een gelijke omtrek

Waarom het fout is: Driehoeken met zijden 3, 4, 5 en 4, 4, 4 hebben allebei omtrek 12, maar een andere vorm.

Correct: ZZZ vraagt drie aparte paren gelijke zijden, niet alleen dezelfde som.

Interactieve visualisatie

Congruente driehoeken

576ABC576DEF△ABC ≅ △DEF

ZZZAlle drie de paren zijden zijn gelijk.

  • AB = DE = 5
  • BC = EF = 7
  • CA = FD = 6

Tik op een kenmerk om te zien welke delen moeten overeenkomen. Delen met dezelfde tekens zijn gelijk.

Grafiek van de functie

-8-7-6-5-4-3-2-112345678-6-5-4-3-2-112345670xyA2√5B3√2C√26D2√5E3√2F√26

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven
Opgave 1 van 18
Makkelijk
Welke gegevens zijn genoeg om met ZZZ te bewijzen dat twee driehoeken congruent zijn?

Waarom het belangrijk is

ZZZ is het kenmerk dat je met alleen een liniaal kunt controleren, en het verklaart waarom driehoeken overal in de bouw voorkomen:
  • Bruggen en daken: een driehoek van drie vaste balken kan niet van vorm veranderen, daarom bestaan vakwerkconstructies uit driehoeken. Een vierkant frame met scharnierende hoeken zakt in tot een ruit, een driehoek nooit
  • Productie: om te controleren of een driehoekig onderdeel bij de mal past, meten werknemers alleen de drie zijden
  • Kaarten en landmeten: met coördinaten kun je alleen door afstanden te berekenen bewijzen dat twee driehoekige percelen gelijk zijn
  • Bewijzen: ZZZ is vaak de eerste stap van een bewijs, en daarna geeft de eigenschap overeenkomstige delen van congruente driehoeken zijn congruent je de gelijke hoeken gratis
In de lessen over congruente driehoeken en over HZH en HHZ heb je de andere kenmerken gezien. ZZZ is het enige dat helemaal geen hoek nodig heeft.

Toepassingen in de echte wereld

Dakspanten

Timmerlieden bouwen daken uit gelijke driehoeken, omdat een driehoek met vaste zijden niet uit vorm te duwen is.

Voorbeeld:

Elk spant van een tuinhuis bestaat uit balken van 3 m, 4 m en 5 m. Volgens ZZZ zijn alle spanten congruent, dus het dak is over de hele lengte gelijk.

1Probeer het zelf

Een timmerman bouwt 12 gelijke dakspanten. Elk spant is een driehoek van balken van 3 m, 4 m en 5 m.

Hoeveel meter balk heeft de timmerman in totaal nodig?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Totale lengte balk in meter:

Velden op een kaartrooster

Planners vergelijken percelen met coördinaten en de afstandsformule zonder ter plaatse te gaan.

Voorbeeld:

Veld 1 heeft hoekpunten (0,0)(0, 0), (6,0)(6, 0) en (0,8)(0, 8), veld 2 heeft hoekpunten (10,2)(10, 2), (10,8)(10, 8) en (18,2)(18, 2). Beide hebben zijden van 6, 8 en 10 roostereenheden, dus ze zijn congruent volgens ZZZ.

2Probeer het zelf

Op een kaart is één roostereenheid 10 m. Veld 2 heeft hoekpunten (10,2)(10, 2), (10,8)(10, 8) en (18,2)(18, 2).

Hoe lang is de schuine grens van veld 2, van (10,8)(10, 8) tot (18,2)(18, 2), in meter?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Lengte in meter:

Kwaliteitscontrole van tegels

Een tegelfabriek controleert driehoekige tegels met een mal door de drie zijden te meten.

Voorbeeld:

De mal heeft zijden van 12 cm, 15 cm en 20 cm. Een tegel van 20 cm, 12 cm en 15 cm wordt goedgekeurd: de volgorde van meten maakt niet uit, alleen de drie paren tellen.

3Probeer het zelf

De mal heeft zijden van 12 cm, 15 cm en 20 cm. Een testtegel heeft zijden van 15 cm, 20 cm en xx cm.

Hoe groot moet xx zijn zodat de tegel congruent is met de mal?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Waarde van x:

Belangrijke punten

  • 1ZZZ: als drie zijden van een driehoek congruent zijn met drie zijden van een andere, dan zijn de driehoeken congruent
  • 2Er zijn geen hoeken nodig: drie zijdelengtes leggen een driehoek volledig vast (stijfheid van de driehoek)
  • 3Koppel de kortste aan de kortste, de middelste aan de middelste en de langste aan de langste, en schrijf dan de hoekpunten in de bijpassende volgorde
  • 4In een assenstelsel bereken je elke zijde met de afstandsformule d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
  • 5Een zijde die twee driehoeken delen, is congruent met zichzelf (reflexiviteit) en telt als één paar
  • 6Na ZZZ geven de overeenkomstige delen de gelijke hoeken; ZZZ werkt niet voor vierhoeken

Veelgestelde vragen

Probeer een driehoek te bouwen uit drie stokjes met een vaste lengte. Zodra de uiteinden verbonden zijn, is er maar één vorm, je kunt de hoeken niet openen of sluiten. Elke driehoek met die drie zijden is dezelfde driehoek, hoogstens gedraaid of gespiegeld. Daarom zijn drie zijden genoeg.
Probeer een driehoek te bouwen uit drie stokjes met een vaste lengte. Zodra de uiteinden verbonden zijn, is er maar één vorm, je kunt de hoeken niet openen of sluiten. Elke driehoek met die drie zijden is dezelfde driehoek, hoogstens gedraaid of gespiegeld. Daarom zijn drie zijden genoeg.
Vier stokjes die in de hoeken verbonden zijn, kunnen nog bewegen: een vierkant met zijde 4 kun je tot een ruit met zijde 4 duwen. De zijden blijven gelijk, de hoeken veranderen. Eén diagonaal verdeelt de figuur in twee driehoeken en maakt haar stijf.
Niet om te beslissen of er congruentie is: zijden 5, 6, 8 en 8, 5, 6 geven congruente driehoeken. Wel voor de congruentie-uitspraak: de letters van de hoekpunten moeten in de bijpassende volgorde staan.
Voor ZZZ-congruentie heb je drie paren gelijke zijden nodig, de driehoeken zijn dus even groot. Voor ZZZ-gelijkvormigheid moeten alleen de drie verhoudingen van overeenkomstige zijden gelijk zijn, de ene driehoek kan dus een vergrote kopie van de andere zijn.

Woordenlijst

Kenmerk ZZZ
Twee driehoeken zijn congruent als hun drie paren overeenkomstige zijden congruent zijn
Overeenkomstige zijden
Zijden die bij een congruentie bij elkaar horen; ze staan op dezelfde plaatsen in de congruentie-uitspraak
Stijfheid van de driehoek
Een driehoek met vaste zijdelengtes kan zijn vorm en hoeken niet veranderen
Reflexiviteit
Elk lijnstuk is congruent met zichzelf; dat gebruik je voor een zijde die twee driehoeken delen
Overeenkomstige delen van congruente driehoeken
Als twee driehoeken congruent zijn, dan zijn alle overeenkomstige zijden en hoeken gelijk
Afstandsformule
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}, de lengte van het lijnstuk tussen twee punten

Formulekaart

Kenmerk ZZZ

AB=DE, BC=EF, CA=FD⇒△ABC≅△DEFAB = DE,\ BC = EF,\ CA = FD \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle DEF

Drie paren congruente zijden bewijzen dat de driehoeken congruent zijn

Afstandsformule

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Lengte van een zijde uit de coördinaten van de eindpunten

Reflexiviteit

AC‾≅AC‾\overline{AC} \cong \overline{AC}

Een gemeenschappelijke zijde is congruent met zichzelf

Overeenkomstige delen

△ABC≅△DEF⇒∠A≅∠D\triangle ABC \cong \triangle DEF \Rightarrow \angle A \cong \angle D

Overeenkomstige delen van congruente driehoeken zijn congruent

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Introductie tot congruentie

Gemiddeld25 min

Inleiding tot gelijkvormigheid

Gemiddeld25 min

Congruente Driehoeken

Gemiddeld25 min

AA-Gelijkvormigheid

Gemiddeld25 min