ZZZ-congruentie

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welke gegevens zijn genoeg om met ZZZ te bewijzen dat twee driehoeken congruent zijn?
1. a)Twee paren gelijke zijden
2. b)Drie paren gelijke hoeken
3. c)Drie paren gelijke zijden
4. d)Een gelijke omtrek
Antwoord: Drie paren gelijke zijden
ZZZ vraagt drie paren congruente zijden. Een gelijke omtrek of twee paren zijden zijn niet genoeg, en drie gelijke hoeken bewijzen alleen gelijkvormigheid.
2.
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ volgens ZZZ. $AB = 7$ , $BC = 9$ en $CA = 4$ . Hoe lang is $EF$ ?
Antwoord: 9
Letters op dezelfde plaats horen bij elkaar: $B \leftrightarrow E$ en $C \leftrightarrow F$ . Dus $EF = BC = 9$ .
3.
Een driehoek heeft zijden van 5 cm, 6 cm en 8 cm. Een andere heeft zijden van 6 cm, 8 cm en 5 cm. Zijn ze congruent?
1. a)Alleen als ze allebei rechthoekig zijn
2. b)Nee, de zijden staan in een andere volgorde
3. c)Nee, er is ook een hoek nodig
4. d)Ja, volgens ZZZ
Antwoord: Ja, volgens ZZZ
Beide driehoeken hebben zijden 5, 6 en 8, alleen in een andere volgorde genoemd. Drie paren gelijke zijden, dus ze zijn congruent volgens ZZZ.
4.
Bereken de lengte van de zijde van $A(1, 2)$ tot $B(4, 6)$ .
Antwoord: 5
$AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
5.
In $\triangle ABC$ : $AB = 6$ , $BC = 10$ , $CA = 8$ . In $\triangle PQR$ : $PQ = 8$ , $QR = 10$ , $RP = 6$ . Controleer of de driehoeken congruent zijn volgens ZZZ.
Antwoord: 3
1. Hoe lang is de kortste zijde van $\triangle ABC$ ? 6
2. Hoe lang is de kortste zijde van $\triangle PQR$ ? 6
3. Hoe lang is de langste zijde in beide driehoeken? 10
4. Hoeveel paren gelijke zijden zijn er? 3
6.
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ volgens ZZZ. $DE = 12$ , $EF = 15$ en $FD = 9$ . Wat is de omtrek van $\triangle ABC$ ?
Antwoord: 36
$AB = 12$ , $BC = 15$ , $CA = 9$ , dus de omtrek is $12 + 15 + 9 = 36$ .
7.
In $\triangle KLM$ : $KL = 6$ , $LM = 10$ , $MK = 7$ . In $\triangle STU$ : $ST = 10$ , $TU = 7$ , $US = 6$ . Welke congruentie-uitspraak is juist?
1. a) $\triangle KLM \cong \triangle STU$
2. b) $\triangle KLM \cong \triangle SUT$
3. c) $\triangle KLM \cong \triangle UST$
4. d) $\triangle KLM \cong \triangle TUS$
Antwoord: $\triangle KLM \cong \triangle UST$
Paren: $KL = US = 6$ , $MK = TU = 7$ , $LM = ST = 10$ . $K$ (zijden 6 en 7) hoort bij $U$ , $L$ (zijden 6 en 10) bij $S$ , $M$ (zijden 7 en 10) bij $T$ . Dus $\triangle KLM \cong \triangle UST$ .
8.
Een zijde van een driehoek loopt van $C(-2, 3)$ naar $D(4, -5)$ . Hoe lang is die?
Antwoord: 10
$CD = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ .
9.
$\triangle ABC$ heeft $A(0, 0)$ , $B(3, 0)$ , $C(0, 4)$ . $\triangle DEF$ heeft $D(5, 1)$ , $E(5, 4)$ , $F(1, 1)$ . Controleer ZZZ met de afstandsformule.
Antwoord: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$
1. Hoe lang is $BC$ , van $(3, 0)$ tot $(0, 4)$ ? 5
2. Hoe lang is $DE$ , van $(5, 1)$ tot $(5, 4)$ ? 3
3. Hoe lang is $DF$ , van $(5, 1)$ tot $(1, 1)$ ? 4
4. Hoe lang is $EF$ , van $(5, 4)$ tot $(1, 1)$ ? 5
10.
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ volgens ZZZ. $AB = 3x - 4$ , $DE = x + 6$ , $BC = 2y + 1$ en $EF = 15$ . Bereken $x$ , $AB$ en $y$ .
Antwoord: $x = 5$ , $AB = 11$ , $y = 7$
1. Los $3x - 4 = x + 6$ op. Wat is $x$ ? 5
2. Hoe lang is $AB$ ? 11
3. Los $2y + 1 = 15$ op. Wat is $y$ ? 7
11.
Een vierkant en een ruit hebben allebei vier zijden met lengte 4, maar ze zijn niet congruent. Waarom is dat niet in strijd met ZZZ?
1. a)Vierhoeken zijn niet stijf: gelijke zijden leggen de hoeken niet vast
2. b)Hun zijden zijn niet echt gelijk
3. c)ZZZ werkt alleen voor rechthoekige driehoeken
4. d)Een ruit heeft vijf zijden
Antwoord: Vierhoeken zijn niet stijf: gelijke zijden leggen de hoeken niet vast
ZZZ is een kenmerk alleen voor driehoeken. Een vierhoek is niet stijf: met dezelfde vier zijden kunnen de hoeken nog veranderen, dus een vierkant kun je tot een ruit duwen.
12.
In parallellogram $ABCD$ geldt $AB = CD = 7$ , $BC = DA = 8$ en voor de diagonaal $AC = 13$ . $\angle ABC = 120°$ . Laat zien dat $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ en bereken $\angle CDA$ .
Antwoord: $\angle CDA = 120°$
1. Hoe lang is de zijde die beide driehoeken delen? 13
2. Hoeveel paren gelijke zijden hebben $\triangle ABC$ en $\triangle CDA$ ? 3
3. Hoeveel graden is $\angle CDA$ ? 120
13.
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ volgens ZZZ, met $D(1, 2)$ en $E(7, 10)$ . Hoe lang is $AB$ ?
Antwoord: 10
$DE = \sqrt{(7 - 1)^2 + (10 - 2)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ . Omdat $AB$ en $DE$ overeenkomstige zijden zijn, is $AB = 10$ .
14.
$\triangle ABC$ heeft $A(1, 1)$ , $B(4, 2)$ , $C(2, 5)$ en $\triangle PQR$ heeft $P(6, -1)$ , $Q(5, -4)$ , $R(2, -2)$ . Vergelijk de kwadraten van de zijdelengtes om te beslissen of $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ .
Antwoord: $\triangle ABC \cong \triangle PQR$
1. Wat is $AB^2$ ? 10
2. Wat is $BC^2$ ? 13
3. Wat is $CA^2$ ? 17
4. Wat is $PQ^2$ ? 10
5. Wat is $QR^2$ ? 13
6. Wat is $RP^2$ ? 17
15.
Welke driehoek is congruent met de driehoek met hoekpunten $(0, 0)$ , $(4, 0)$ en $(0, 3)$ ?
1. a) $(0, 0)$ , $(5, 0)$ , $(0, 3)$
2. b) $(0, 0)$ , $(6, 0)$ , $(0, 8)$
3. c) $(1, 1)$ , $(5, 1)$ , $(1, 5)$
4. d) $(2, 2)$ , $(2, 6)$ , $(5, 2)$
Antwoord: $(2, 2)$ , $(2, 6)$ , $(5, 2)$
De gegeven driehoek heeft zijden 4, 3 en $\sqrt{16 + 9} = 5$ . De driehoek $(2, 2)$ , $(2, 6)$ , $(5, 2)$ heeft zijden 4, 3 en $\sqrt{9 + 16} = 5$ , dus die is congruent volgens ZZZ. De andere hebben zijden 6, 8, 10 (te groot), 4, 4, $\sqrt{32}$ en 5, 3, $\sqrt{34}$ .
16.
$\triangle PQR \cong \triangle STU$ volgens ZZZ. $PQ = 2x + 3$ , $ST = 4x - 7$ , $QR = x + y$ , $TU = 12$ en $RP = SU = 10$ . Bereken de omtrek van $\triangle PQR$ .
Antwoord: 35
1. Los $2x + 3 = 4x - 7$ op. Wat is $x$ ? 5
2. Hoe lang is $PQ$ ? 13
3. Gebruik $QR = TU$ : $5 + y = 12$ . Wat is $y$ ? 7
4. Wat is de omtrek $PQ + QR + RP$ ? 35
17.
In vlieger $ABCD$ geldt $AB = AD$ en $CB = CD$ . $\angle BAD = 76°$ en $\angle ABC = 110°$ . Gebruik ZZZ voor $\triangle ABC$ en $\triangle ADC$ om $\angle BAC$ en $\angle ADC$ te berekenen.
Antwoord: $\angle BAC = 38°$ , $\angle ADC = 110°$
1. Hoeveel paren congruente zijden hebben $\triangle ABC$ en $\triangle ADC$ , de gemeenschappelijke zijde meegeteld? 3
2. $\angle BAC + \angle DAC$ is de hele hoek $\angle BAD$ . Hoeveel graden is dat? 76
3. De twee hoeken zijn gelijk (overeenkomstige delen). Hoeveel graden is $\angle BAC$ ? 38
4. Hoeveel graden is $\angle ADC$ ? 110
18.
Een vierkant frame met zijden van 5 cm heeft scharnieren in de hoeken. Het wordt tot een ruit met een hoek van $60°$ geduwd. Leg met getallen uit waarom ZZZ niet werkt voor vierhoeken en hoe een schoor dat oplost.
Antwoord: $20$ cm, $5$ cm, $2$
1. Wat is de omtrek van het vierkant in cm? 20
2. Wat is de omtrek van de ruit in cm? 20
3. Hoe lang is de korte diagonaal van de ruit in cm? 5
4. In hoeveel driehoeken verdeelt een schoor langs één diagonaal het frame? 2